Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số năm 2024

Câu hỏi 1 :

Giá trị của \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( 3{{x}^{2}}-2x+1 \right)\) bằng:

  • A \(+\infty .\)
  • B \(2.\)
  • C \(1.\)
  • D \(3.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Với \(f\left( x \right)\) là hàm đa thức ta có: \(\underset{x\to {{x}_{o}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{o}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

\(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( 3{{x}{2}}-2x+1 \right)={{3.1}{2}}-2.1+1=2.\)

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Tài liệu gồm 154 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Trọng, tóm tắt lý thuyết, hướng dẫn giải các dạng toán và tuyển chọn các bài tập chuyên đề giới hạn và liên tục, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học sinh trình Đại số và Giải tích 11 chương 4.

BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ.

  1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
  2. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP. Dạng 1. Tính giới hạn L = lim P(n)/Q(n) với P(n), Q(n) là các đa thức. Dạng 2. Tính giới hạn dạng L = lim P(n)/Q(n) với P(n), Q(n) là các hàm mũ an. Dạng 3. Tính giới hạn của dãy số chứa căn thức.
  3. BÀI TẬP RÈN LUYỆN.

BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ.

  1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
  2. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP. Dạng 1. Tính giới hạn vô định dạng 0/0, trong đó tử thức và mẫu thức là các đa thức. Dạng 2. Tính giới hạn vô định dạng 0/0, trong đó tử thức và mẫu thức có chứa căn thức. Dạng 3. Giới hạn của hàm số khi x tiến đến vô cực. Dạng 4. Giới hạn một bên x tiến đến x0+ hoặc x tiến đến x0-. Dạng 5. Giới hạn của hàm số lượng giác.
  3. BÀI TẬP RÈN LUYỆN.

BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC.

  1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
  2. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP. Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm. Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định. Dạng 3. Chứng minh phương trình có nghiệm.
  3. BÀI TẬP RÈN LUYỆN.

BÀI 4. ÔN TẬP CHƯƠNG IV.

  • Giới Hạn - Hàm Số Liên Tục

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

Ta có: \(\lim \left( {{n^3} - {n^2} + n - 1} \right) = \lim {n^3}\left( {1 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}} - \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right) = + \infty \)

Dạng 2: Tính giới hạn dãy số hữu tỉ

Phương pháp:

- Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu.

- Bước 2: Tính các giới hạn của tử và mẫu rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn của thương để tính giới hạn.

Ví dụ: Tính giới hạn \(\lim \dfrac{{2n - 1}}{{n + 1}}\).

Ta có: \(\lim \dfrac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \lim \dfrac{{2 - \dfrac{1}{n}}}{{1 + \dfrac{1}{n}}} = \dfrac{2}{1} = 2\)

Dạng 3: Giới hạn của dãy số chứa căn thức

Phương pháp:

- Bước 1: Xét xem sử dụng phương pháp ở dạng 1 có dùng được không.

+) Nếu được thì ta dùng phương pháp ở dạng 1.

+) Nếu không ta sẽ chuyển qua bước dưới đây:

- Bước 2: Nhân, chia với biểu thức liên hợp thích hợp và đưa về dạng 1.

Ví dụ: Tính giới hạn \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right)\).

Ta có:

$\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right)=$ $ \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} + 2n} + n} \right)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} + 2n} + n} \right)}} $ $= \lim \dfrac{{{n^2} + 2n - {n^2}}}{{\left( {\sqrt {{n^2} + 2n} + n} \right)}}$ $= \lim \dfrac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n}}$ $= \lim \dfrac{2}{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{n}} + 1}} = \dfrac{2}{{1 + 1}} = 1$

Dạng 4: Dãy số chứa lũy thừa, mũ

Phương pháp:

- Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa với cơ số lớn nhất.

- Bước 2: Sử dụng nhận xét \(\lim {q^n} = 0\) với \(\left| q \right| < 1\).

Ví dụ: \(\lim \dfrac{{{2^n} + {5^n}}}{{{{2.3}^n} + {{3.5}^n}}} = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^n} + 1}}{{2.{{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^n} + 3.1}} = \dfrac{{0 + 1}}{{2.0 + 3}} = \dfrac{1}{3}\)

Dạng 5: Tính giới hạn bằng chứng minh hoặc dùng định nghĩa

Phương pháp:

Sử dụng định lý kẹp: Cho ba dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right),\left( {{w_n}} \right)\).

Nếu \({u_n} < {v_n} < {w_n},\forall n\) và \(\lim {u_n} = \lim {w_n} = L \Rightarrow \lim {v_n} = L\).

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số năm 2024

Ta thường sử dụng phương pháp này cho việc tính giới hạn các dãy số có chứa \(\sin ,\cos \).

Ví dụ: Tính \(\lim \dfrac{{\sin 3n}}{n}\).

Ta có: \( - 1 \le \sin 3n \le 1 \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{n} \le \dfrac{{\sin 3n}}{n} \le \dfrac{1}{n}\)

Mà \(\lim \left( { - \dfrac{1}{n}} \right) = 0;\lim \left( {\dfrac{1}{n}} \right) = 0\) nên \(\lim \dfrac{{\sin 3n}}{n} = 0\).

  • Bài 8 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Tính các giới hạn:
  • Bài 7 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Tính các giới hạn sau:
  • Bài 6 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Giải bài 6 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1, 020 020 ... (chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng một phân số.
  • Bài 5 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Giải bài 5 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11. Tính tổng S Bài 4 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11

Giải bài 4 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11. Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1.