Đồ thị hàm số y = 2x3+mx2-12x-13có hai điểm cực trị cách đều trục tung khi và chỉ khi:
A.m=-1
B.m=0
C.m=-1;m=-2
D.m=-2
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 65 Dạng 3 : Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước. Phương pháp: • Trước hết ta tìm điều kiện để hàm số có cực trị, • Biểu diễn điều kiện của bài toán thông qua tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số từ đó ta tìm được điều kiện của tham số. Chú ý: * Nếu ta gặp biểu thức đối xứng của hoành độ các điểm cực trị và hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của một tam thức bậc hai thì ta sử dụng định lí Viét. * Khi tính giá trị cực trị của hàm số qua điểm cực trị ta thường dùng các kết quả sau: Định lí 1: Cho hàm đa thức[ ]=y P x, giả sử [ ] [ ] [ ]= + +’y ax b P x h x khi đó nếu 0x là điểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số là: [ ] [ ]0 0y x h x= và [ ]y h x= gọi là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị. Chứng minh: Giả sử 0x là điểm cực trị của hàm số, vì [ ]P x là hàm đa thức nên [ ]0' 0P x= [ ] [ ] [ ] [ ]0 0 0 0 0[ ] 'y x ax b P x h x h x⇒ = + + = [đpcm] . Định lí 2: Cho hàm phân thức hữu tỉ [ ][ ]u xyv x= khi đó nếu 0x là điểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số: [ ][ ]000'[ ]'u xy xv x=. Và [ ][ ]''u xyv x= là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị. Chứng minh: Ta có [ ] [ ] [ ] [ ][ ]2' ''u x v x v x u xyv x−= [ ] [ ] [ ] [ ]' 0 ' ' 0y u x v x v x u x⇒= ⇔ − = [*]. Giả sử 0xlà điểm cực trị của hàm số thì 0x là nghiệm của phương trình [*] [ ][ ][ ][ ][ ]0 000 0''u x u xy xv x v x⇒ = =. Ví dụ 1 : Tìm mđể đồ thị của hàm số [ ]3 212 1 23y x mx m x= − + − + có 2 điểm cực trị dương. Giải : * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ». Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 66 * Ta có 2' 2 2 1y x mx m= − + − 2' 0 2 2 1 0 [*]y x mx m= ⇔ − + − = * Hàm số có hai điểm cực trị dương ⇔ [*] có hai nghiệm dương phân biệt ∆ = − + >> ⇔ = > ⇔ ≠= − >2' 2 1 012 0212 1 0m mmS mmP m. Vậy >≠121mm là những giá trị cần tìm. Bài tập tương tự : 1. Tìm mđể đồ thị của hàm số [ ]3 26 5y x mx m x= − + + + có 2 điểm cực trị dương. 2. Tìm mđể đồ thị của hàm số 22 21x mx mymx− + −=+ có 2 điểm cực trị âm. Ví dụ 2 : Tìm mđể đồ thị của hàm số 23 2 11mx mx myx+ + +=− có cực đại, cực tiểu và 2 điểm đó nằm về hai phía với trục Ox. Giải : * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên { }\ 1». * Ta có 222 5 1'[ 1]mx mx myx− − −=− [ ] [ ]2' 0 2 5 1 0 1 *y mx mx m x= ⇔ − − − = ≠ Hàm số có hai điểm cực trị ⇔[ ]* có 2 nghiệm phân biệt 1 2, 1x x ≠ 01[6 1] 0606 1 0mmm mmm≠< −⇔ + > ⇔>− − ≠. Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía trục Ox [ ] [ ]1 2. 0y x y x⇔ < . Áp dụng kết quả định lí 2 ta có: [ ] [ ]1 12 1y x m x= −, [ ] [ ]2 22 1y x m x= − [ ] [ ] [ ] [ ]21 2 1 2 1 2. 4 1 4 2 1y x y x m x x x x m m ⇒ = − + + = − − . Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 67 [ ] [ ]1 21. 0 4 [ 2 1] 020my x y x m mm< −< ⇔ − − < ⇔>. Vậy < −>120mm là những giá trị cần tìm. Bài tập tương tự : 1. Tìm mđể đồ thị của hàm số [ ]3 211 33 2my x x m x= − + − + có cực đại, cực tiểu và 2 điểm đó nằm về hai phía với trục Ox. 2. Tìm mđể đồ thị của hàm số [ ]3 213 13my x mx m+= − − + − có cực đại, cực tiểu và 2 điểm đó nằm về hai phía với trục Oy. 3. Cho hàm số 23 2 1 1,1 6mx mx my mx+ + += ≠−. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực trị đó nằm về hai phía của trục hoành. Ví dụ 3 : Tìm mđể đồ thị của hàm số 3 2[ ] : 2 12 13mC y x mx x= + − − có điểm cực đại, cực tiểu và các điểm này cách đều trục Oy. Giải: * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên » * Ta có 2 2' 2[3 6] ' 0 3 6 0 [2]y x mx y x mx= + − ⇒ = ⇔ + − = Vì [2] luôn có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số luôn có hai cực trị. Gọi 1 2,x x là hoành độ hai cực trị, hai điểm cực trị cách đều trục tung 1 2 1 2 1 20x x x x x x⇔ = ⇔ = − ⇔ + =[vì 1 2x x≠] − −⇔ = = = ⇔ =0 03b mS ma. Vậy = 0m là giá trị cần tìm. Bài tập tương tự : 1. Tìm m để đồ thị của hàm số [ ] :mC [ ] [ ]3 212 3 2 33y x m x m x= − + − − − có điểm cực đại, cực tiểu và các điểm này cách đều trục Oy. 2. Tìm m để đồ thị của hàm số [ ] :mC [ ]21 11x m x myx− − + +=− có điểm cực đại, cực tiểu và các điểm này cách đều trục Ox. Ví dụ 4 : Tìm mđể đồ thị của hàm số Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 68 [ ][ ]3 2 22 1 3 2 4y x m x m m x= − + + − + + có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía trục tung . Giải : * Hàm số cho xác định và liên tục trên * Ta có : [ ]2 2' 3 2 2 1 3 2y x m x m m= − + + − + Hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía trục tung khi và chỉ khi phương trình ' 0y= có hai nghiệm phân biệt 1 2,x xthoả mãn 1 20x x< < [ ]3. ' 0 0y⇔ ∀ ∈ ⇒ hàm số luôn tăng x∀ ∈, do đó hàm số không có cực trị. iNếu 16m = thì [ ]221 3 1' 3 0,6 2 6y x x x x= + + = + ≥ ∀ ∈ ⇒ hàm số luôn tăng x∀ ∈, do đó hàm số không có cực trị. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 70 iVới 0m , khi đó tam thức 'ycó hai nghiệm phân biệt [ ]1,2 1 2'3x x xm ∆= − ± ⇔