Bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số lớp 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số nằm trong những bài đầu của chương trình toán lớp 12. Đây là kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình toán THPT nói chung và chương trình toán lớp 12 nói riêng. Học sinh cần phải nắm chắc cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số để có thể học tốt chương trình toán 12, vì các chương sau của chương trình toán 12 sẽ áp dụng kiến thức về khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Hôm nay itoan sẽ cùng bạn tìm hiểu cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đồng thời nắm chắc kiến thức hơn. Show
Mục tiêu bài học Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sốSau khi học xong những bài học này, các bạn nhỏ cần nắm được các kiến thức, kĩ năng sau:
Lý thuyết cần nắm bài Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sốSau đây là những lý thuyết trọng tâm nhất được itoan biên soạn, giúp các bạn nắm vững bài học và tạo nền tảng giúp bé áp dụng giải các bài tập: I. Sơ đồ khảo sát hàm số1. Tập xác địnhTìm tập xác định của hàm số. 2. Sự biến thiên
+ Tính đạo hàm; + Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định; + Xét dấu đạo hàm và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
3. Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.Chú ý:
II. Khảo sát một số hàm đơn thức và phân thức1. Hàm số bậc ba y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y=x3+3x2−4 Giải (1) Tập xác định: D=R (2) Sự biến thiên Trên các khoảng (−∞;−2) và (0;+∞) , y′ dương nên hàm số đồng biến. Trên khoảng (−2;0) âm nên hàm số nghịch biến. Hàm số đạt cực đại tại x=−2; yCD=y(−2)=0 Hàm số đạt cực tiểu tại x=0; yCT=y(0)=−4 (3) Đồ thị Ta có: x3+3x2−4=0⇔ x=−2; x=1 Vậy (−2;0) và (1;0) là các giao điểm của đồ thị với trục Ox. Vì y(0)=−4 nên (−4;0) là giao điểm của đồ thị với trục Oy. Điểm đó cũng là điểm cực tiểu của đồ thị. Chú ý: Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng là điểm I(−1;−2) . Hoành độ của điểm I là nghiệm của phương trình y′′=0 III. Sự tương giao giữa các đồ thị1. Giao điểm của hai đồ thị
2. Sự tiếp xúc của hai đường cong
có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó. Các bạn có thể tham khảo video hướng dẫn bài học dưới đây! Hướng dẫn giải bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sốPhần bài tập trong sách giáo khoa rất sát với lý thuyết nên các bạn cố gắng hoàn thành hết nhé! Bài 1 trang 43 sách giáo khoa giải tích 12Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau: a) Tập xác định: RSự biến thiên: Chiều biến thiên: y’ = 3 – ; y’=0 <=> 3 – = 0 <=> x =-1 ( y=4) hoặc x =1 (y =0). Trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞), y’ âm nên hàm số nghịch biến. Trên khoảng (-1; 1), y’ dương nên hàm số đồng biến. Cực trị: Hàm đạt cực đại tại x =1 ; yCĐ = y (1) = 4. Hàm số đạt cực tiểu tại x= 1-; yCT = y(-1) = 0. Các giới hạn tại vô cực: Bảng biến thiên: Vậy (-1; 0) và (2; 0) là các giao điểm của đồ thị với trục Ox. y(0) = 2 nên (0; 2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy. b) Tập xác định: R.Sự biến thiên: Chiều biến thiên: y’ = + 8x+4 Cực trị Bảng biến thiên: Đồ thị: Vậy, (0; 0) và (-2; 0) là các giao điểm của đồ thị với trục Ox. y(0) = 0 nên (0; 0) là giao điểm của đồ thị với trục Oy. Toạ độ một số điểm: (-3; -3); (-1; -1). c) TXĐ : RSự biến thiên: Chiều biến thiên: Vậy, hàm số đồng biến trên R Cực trị: Hàm số không có cực trị. Các giới hạn tại vô cực: Bảng biến thiên: Đồ thị: Vậy, (0; 0) là giao điểm của đồ thị với trục Ox. y(0) = 0 nên (0; 0) là giao điểm của đồ thị với trục Oy. Đồ thị có tâm đối xứng là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: y” = 0 Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau: Lời giải: a) Hàm số y = -x4 + 8x2 – 1.1) Tập xác định: D = R 2) Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: y’ = -4x3 + 16x = -4x(x2 – 4) y’ = 0 ⇔ -4x(x2 – 4) = 0 ⇔ x = 0 ; x = ±2 Trên khoảng (-∞; -2) và (0; 2), y’ > 0 nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng (-2; 0) và (2; +∞), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến. + Cực trị : Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và x = -2 ; yCĐ = 15 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; yCT = -1. + Giới hạn: + Bảng biến thiên: 3) Đồ thị: + Hàm số đã cho là hàm số chẵn, vì: y(-x) = -(-x)4 + 8(-x)2 – 1 = -x4 + 8x2 – 1 = y(x) ⇒ Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng. + Giao với Oy tại điểm (0; -1) (vì y(0) = -1). + Đồ thị hàm số đi qua (-3; -10) và (3; 10). b) Hàm số y = x4 – 2x2 + 2.1) Tập xác định: D = R 2) Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: y’ = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1) y’ = 0 ⇔ 4x(x2 – 1) = 0 ⇔ x = 0 ; x = ±1. + Giới hạn: + Bảng biến thiên: Kết luận : Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) và (1; +∞). Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1). Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu là: (-1; 1) và (1; 1). Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 2) 3) Đồ thị: + Hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy là trục đối xứng. + Đồ thị hàm số cắt trục tung tại (0; 2). + Đồ thị hàm số đi qua (-1; 1) và (1; 1). + Đồ thị hàm số: c) Hàm số1) Tập xác định: D = R 2) Sự biến thiên: + y’ = 2x3 + 2x = 2x(x2 + 1) y’ = 0 ⇔ 2x(x2 + 1) = 0 ⇔ x = 0 + Giới hạn: + Bảng biến thiên: Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞). Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0). Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; -3/2). 3) Đồ thị: + Hàm số chẵn nên nhận trục Oy là trục đối xứng. + Hàm số cắt trục hoành tại điểm (-1; 0) và (1; 0). + Hàm số cắt trục tung tại điểm d) Hàm số y = -2x2 – x4 + 3.1) Tập xác định: D = R 2) Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: y’ = -4x – 4x3 = -4x(1 + x2) y’ = 0 ⇔ -4x(1 + x2) = 0 ⇔ x = 0 + Giới hạn: + Bảng biến thiên: Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0). Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; +∞). Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 3). 3) Đồ thị: + Hàm số là hàm số chẵn nên nhận trục Oy là trục đối xứng. + Hàm số cắt trục Ox tại (-1; 0) và (1; 0). + Hàm số cắt trục Oy tại (0; 3). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số phân thức: Lời giải: a) Hàm số1) Tập xác định: D = R \ {1} 2) Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: ⇒ Hàm số nghịch biến trên (-∞; 1) và (1; +∞). + Cực trị: Hàm số không có cực trị. + Tiệm cận: ⇒ x = 1 là tiệm cận đứng. ⇒ y = 1 là tiệm cận ngang. + Bảng biến thiên: 3) Đồ thị: + Giao với Oy: (0; -3) + Giao với Ox: (-3; 0) + Đồ thị nhận (1; 1) là tâm đối xứng. b) Hàm số1) Tập xác định: D = R \ {2} 2) Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: ⇒ Hàm số đồng biến trên (-∞; 2) và (2; +∞). + Cực trị: Hàm số không có cực trị. + Tiệm cận: ⇒ x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. ⇒ y = -1 là tiệm cận ngang. + Bảng biến thiên: 3) Đồ thị: + Giao với Oy: (0; -1/4) + Giao với Ox: (1/2; 0) + Đồ thị hàm số nhận (2; -1) là tâm đối xứng. số Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau: a) x3 – 3x2 + 5 = 0 ; b) -2x3 + 3x2 – 2 = 0 ; c) 2x2 – x4 = -1 Lời giải: a) Xét y = f(x) = x3 – 3x2 + 5 = 0 (1)– TXĐ: D = R – Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: f'(x) = 3x2 – 6x = 3x(x – 2) f'(x) = 0 ⇔ x = 0 ; x = 2 + Giới hạn: + Bảng biến thiên: – Đồ thị: Đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất. ⇒ phương trình x3 – 3x2 + 5 = 0 chỉ có 1 nghiệm duy nhất. b) Xét hàm số y = f(x) = -2x3 + 3x2 – 2.– TXĐ: D = R – Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: y’ = -6x2 + 6x = -6x(x – 1) y’ = 0 ⇔ x = 0 ; x = 1 + Giới hạn: + Bảng biến thiên: – Đồ thị: Đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất ⇒ phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất. Vậy phương trình -2x3 + 3x2 – 2 = 0 chỉ có một nghiệm. Lời kếtBài học khảo sát sự biến thiên và đồ thị hàm số đã khép lại tại đây. Hy vọng với bài giảng chi tiết, dễ hiểu trên, các bạn đã nắm vững được kiến thức và áp dụng được linh hoạt trong tình huống thực tế. Ngoài ra, các bạn có thể truy cập vào trang web Toppy. Với đội ngũ giảng viên tâm huyết, nhiệt tình, Toppy luôn sẵn sàng giúp đỡ khi con gặp bất kì khó khăn nào trong học tập. Chúc các bạn luôn học tập tốt! Xem thêm một số bài giảng liên quan khác tại đây: |