Tài liệu tham khảo chính:
1. Bùi Đắc Tắc, Nguyễn Thanh Hà. Bài tập tô pô đại cương, độ đo, tích phân, NXB ĐHQGHN, 1998.
2. Cung Thế Anh, Nguyễn Thành Anh. Giáo trình tôpô đại cương [bản thảo].
3. J. R. Munkres. Topology, 2n Edition, Prentice Hall, 1999
Tuần 1
Tuần 2 + 3
Tuần 4
Tuần 5
Gợi ý giải bài tập tuần 5
Bài tập tuần 6
Chú ý: Các bạn sinh viên chuẩn bị bài tập tuần 7 và 8 để lên bảng lấy điểm điều kiện!
Bài tập tuần 7+8
Bài tập tuần 9
Bài tập tuần 10 sẽ được upload lên sau. Dưới đây là bài tập tuần 11. Bài tập tuần 11 sẽ được bổ xung thêm.
Bài tập tuần 11
Bài này đã được đăng trong Topology K59. Đánh dấu đường dẫn tĩnh.
7 129 KB 3 318
Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu
Để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên
GIẢI TÍCH [CƠ SỞ]
Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán Phần 1. Không gian metric
§3. Ánh xạ liên tục
[Phiên bản đã chỉnh sửa] PGS TS Nguyễn Bích Huy
Ngày 20 tháng 12 năm 2004 Tóm tắt lý thuyết
1 Định nghĩa Cho các không gian metric [X, d], [Y, ρ] và ánh xạ f : X → Y
• Ta nói ánh xạ f liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu
∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ X, d[x, x0 ] < δ =⇒ ρ[f [x], f [x0 ]] < ε
• Ta nói f liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi x ∈ X 2 Các tính chất Cho các không gian metric [X, d], [Y, ρ] và ánh xạ f : X → Y .
Định lí 1. Các mệnh đề sau tương đương
1. f liên tục tại x0 ∈ X
2. ∀{xn } ⊂ X [lim xn = x0 ] =⇒ lim f [xn ] = f [x0 ]
1 Hệ quả. Nếu ánh xạ f : X → Y liên tục tại x0 và ánh xạ g : Y → Z liên tục tại y0 = f [x0 ]
thì ánh xạ hợp g ◦ f : X → Z liên tục tại x0 .
Định lí 2. Các mệnh đề sau tương đương
1. f liên tục trên X
2. Với mọi tập mở G ⊂ Y thì tập nghịch ảnh f −1 [G] là tập mở trong X.
3. Với mọi tập đóng F ⊂ Y thì tập f −1 [F ] là tập mở trong X. 3 Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, ánh xạ đồng phôi Cho các không gian metric X, Y và ánh xạ f : X → Y .
• Ánh xạ f gọi là ánh xạ mở [đóng] nếu với mọi tập mở [đóng] A ⊂ X thì ảnh f [A] là
tập mở [đóng].
• Ánh xạ f gọi là ánh xạ đồng phôi nếu f là song ánh liên tục và ánh xạ ngược f −1 : Y → X
liên tục. 4 Một số các hệ thức về ảnh và ảnh ngược Cho các tập X, Y khác trống và ánh xạ f : X → Y . Với các tập A, Ai ⊂ X và B, Bi ⊂ Y , ta
có
[
[
1. f [ Ai ] =
f [Ai ],
i∈I \
\
f [ Ai ] ⊂
f [Ai ] i∈I i∈I [
\
f −1 [Bi ]
f −1 [ Bi ] = [
[
f −1 [Bi ],
2. f −1 [ Bi ] =
i∈I f −1 i∈I i∈I [B1 \ B2 ] = f i∈I −1 [B1 ] \ f −1 i∈I [B2 ] 3. f [f −1 [B]] ⊂ B ["=" nếu f là toàn ánh]
f −1 [f [A]] ⊃ A ["=" nếu f là đơn ánh] Bài tập
Bài 1. Trong không gian C[a,b] , ta xét metric d[x, y] = sup |x[t] − y[t]| và trong R ta xét
a≤t≤b metric thông thường. Chứng minh các ánh xạ sau đây liên tục từ C[a,b] vào R.
2 1. f1 [x] = inf x[t]
a≤t≤b 2. f2 [x] = Rb x2 [t]dt a 1. Ta sẽ chứng minh |f1 [x] − f1 [y]| ≤ d[x, y] Giải. [*] Thật vậy
f1 [x] ≤ x[t] = y[t] + [x[t] − y[t]] ≤ y[t] + d[x, y]
=⇒ f1 [x] − d[x, y] ≤ y[t], ∀t ∈ [a, b] ∀t ∈ [a, b] =⇒ f1 [x] − d[x, y] ≤ f1 [y] hay f1 [x] − f1 [y] ≤ d[x, y] Tương tự, ta có f1 [y] − f1 [x] ≤ d[x, y] nên [*] đúng. Từ đây, ta thấy
∀{xn }, lim xn = x =⇒ lim f1 [xn ] = f1 [x]
n→∞ n→∞ 2. Xét tùy ý x ∈ C[a,b] , {xn } ⊂ C[a,b] mà lim xn = x, ta cần chứng minh lim f2 [xn ] = f2 [x]
Ta có
|x2n [t] − x2 [t]| = |xn [t] − x[t]|.|xn [t] − x[t] + 2x[t]|
≤ d[xn , x].[d[xn , x] + M ] [M = sup 2|x[t]|]
a≤t≤b Zb
=⇒ |f2 [xn ] − f2 [x]| ≤ |x2n [t] − x2 [t]|dt a ≤ d[xn , x][d[xn , x] + M ][b − a]
Do lim d[xn , x] = 0 nên từ đây ta có lim f2 [xn ] = f2 [x] [đpcm] Ghi chú. Ta có thể dùng các kết quả về ánh xạ liên tục để giải bài tập 3 [§2]. Ví dụ, để chứng
minh tập
M = {x ∈ C[a,b] : x[t] > x0 [t], ∀t ∈ [a, b]} [x0 ∈ C[a,b] cho trước ] là tập mở, ta có thể làm như sau. Xét ánh xạ
f : C[a,b] → R, f [x] = inf [x[t] − x0 [t]]
a≤t≤b Ta có:
• f liên tục [lý luận như khi chứng minh f1 liên tục]
3 • M = {x ∈ C[a,b] : f [x] > 0} = f −1 [[0, +∞]], [0, ∞] là tập mở trong R
Bài 2. Cho các không gian metric X, Y và ánh xạ f : X → Y . Các mệnh đề sau là tương
đương
1. f liên tục trên X
2. f −1 [B] ⊃ f −1 [B] ∀B ⊂ Y 3. f [A] ⊂ f [A] ∀A ⊂ X Giải. 1] ⇒ 2] Ta có
[
f −1 [B] là tập đóng [do f liên tục và B ⊂ Y là tập đóng]
f −1 [B] ⊃ f −1 [B]
=⇒ f −1 [B] ⊃ f −1 [B] [do tính chất "nhỏ nhất" của bao đóng] 2] ⇒ 3] Đặt B = f [A] trong 2], ta có f −1 [f [A] ] ⊃ f −1 [f [A]] ⊃ A
Do đó f [f −1 [f [A] ]] ⊃ f [A] =⇒ f [A] ⊃ f [A]
3] ⇒ 1] Xét tùy ý tập đóng F ⊂ Y , ta cần chứng minh f −1 [F ] là tập đóng.
Đặt A = f −1 [F ], ta có
f [A] ⊂ f [A] = f [f −1 [F ]] ⊂ F = F [do F đóng] =⇒ f −1 [f [A]] ⊂ f −1 [F ]
=⇒ A ⊂ A
Vậy A = A nên A là tập đóng.
Bài 3. Trong C[a,b] ta xét metric d[x, y] = sup{|x[t] − y[t]|, a ≤ t ≤ b}. Cho ϕ : [a, b] × R → R
là hàm liên tục. Chứng minh ánh xạ sau đây liên tục
F : C[a,b] → C[a,b] , F [x][t] = ϕ[t, x[t]] Giải. Cố định x0 ∈ C[a,b] , ta sẽ chứng minh F liên tục tại x0 .
Đặt M = 1 + sup |x0 [t]|. Cho ε > 0 tùy ý.
a≤t≤b Hàm ϕ liên tục trên tập compact D := [a, b] × [−M, M ] nên liên tục đều trên D. Do đó,
tồn tại số δ1 > 0 sao cho
∀[t, s], [t0 , s0 ] ∈ D, |t − t0 | < δ1 , |s − s0 | < δ1 =⇒ |ϕ[t, s] − ϕ[t0 , s0 ]| < ε
4 Đặt δ = min[δ1 , 1]. Với mỗi x ∈ C[a,b] , d[x, x0 ] < δ, ta có
|x[t] − x0 [t]| < δ
x[t] ∈ [−M, M ] ∀t ∈ [a, b]
[do |x[t] − x0 [t]| < 1, ∀t ∈ [a, b]] Do đó, |ϕ[t, x[t]] − ϕ[t, x0 [t]]| < ε,
=⇒ |F [x][t] − F [x0 ][t]| < ε, ∀t ∈ [a, b]
∀t ∈ [a, b] =⇒ d[F [x], F [x0 ]] < ε
Như vậy, ta đã chứng minh
∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ C[a,b] , d[x, x0 ] < δ ⇒ d[F [x], F [x0 ]] < ε
hay F liên tục tại x0 .
Bài 4. Cho các không gian metric X, Y và song ánh f : X → Y . Chứng minh các mệnh đề
sau tương đương
1. f −1 : Y → X liên tục
2. f là ánh xạ đóng
Giải. Ta có [f −1 : Y → X liên tục]
−1 ⇐⇒ [∀A ⊂ X, A đóng ⇒ [f −1 ] [A] đóng trong Y ]
⇐⇒ [∀A ⊂ X, A đóng ⇒ f [A] đóng]
⇐⇒ [f : X → Y là ánh xạ đóng]
Bài 5. Cho không gian metric [X, d]. Với x ∈ X, ∅ 6= A ⊂ X, ta định nghĩa
d[x, A] = inf d[x, y]
y∈A Chứng minh các khẳng định sau đây
1. Ánh xạ f : X → R, f [x] = d[x, A] liên tục
2. x ∈ A ⇔ d[x, A] = 0
3. Nếu F1 , F2 là các tập đóng, khác ∅ và F1 ∩ F2 = ∅ thì tồn tại các tập mở G1 , G2 sao cho
F1 ⊂ G1 ,
Giải. F2 ⊂ G2 , G1 ∩ G2 = ∅ 1. Ta sẽ chứng minh |f [x] − f [x0 ]| ≤ d[x, x0 ]
Thật vậy, ta có d[x, y] ≤ d[x, x0 ] + d[x0 , y] ∀y ∈ A
=⇒ inf d[x, y] ≤ d[x, x0 ] + inf d[x0 , y]
y∈A y∈A =⇒ d[x, A] − d[x0 , A] ≤ d[x, x0 ]
5 [*] 2. Ta có
d[x, A] = 0 ⇐⇒ [∃{xn } ⊂ A : lim d[x, xn ] = 0] [do tính chất của inf và d[x, A] ≥ 0]
n→∞ ⇐⇒ [∃{xn } ⊂ A : lim xn = x]
⇐⇒ x ∈ A 3. Ta xét ánh xạ g : X → R, g[x] = d[x, F1 ] − d[x, F2 ] Ta có g liên tục theo câu 1]
Đặt G1 = {x ∈ X : g[x] < 0}, G2 = {x ∈ X : g[x] > 0}, ta có
• G1 ∩ G2 = ∅
• G1 , G2 là các tập mở [do G1 = g −1 [[−∞, 0]], G2 = g −1 [[0, +∞]], [0, +∞],[−∞, 0]
là các tập mở và g liên tục].
[
d[x, F1 ] = 0
• F1 ⊂ G1 vì x ∈ F1 ⇒
d[x, F2 ] > 0
⇒ g[x] < 0 [do x ∈
/ F2 và kết quả câu 2]] Tương tự, F2 ⊂ G2 Bài tập tự giải có hướng dẫn
Bài 6. Cho các không gian metric X, [Y1 , d1 ], [Y2 , d2 ]. Trên Y1 × Y2 , ta xét metric
d[[y1 , y2 ], [y10 , y20 ]] = d1 [y1 , y10 ] + d2 [y2 , y20 ]
Giả sử rằng f1 : X → Y1 , f2 : X → Y2 là các ánh xạ liên tục. Chứng minh rằng ánh xạ
f : X → Y1 × Y2 , f [x] = [f1 [x], f2 [x]] liên tục.
Hướng dẫn
Sử dụng định lý 1 và điều kiện hội tụ trong không gian metric tích trong bài tập ở §1.
Bài 7. Cho các không gian metric X, Y và ánh xạ f : X → Y . Chứng minh các mệnh đề sau
tương đương:
1. f liên tục trên X
2. f −1 [Int B] ⊂ Int f −1 [B] ∀B ⊂ Y
6 Hướng dẫn
• 1] ⇒ 2] Áp dụng định lý 2 và tính chất "lớn nhất" của phần trong.
• 2] ⇒ 1] Áp dụng định lý 2 và tính chất G = Int G nếu G mở.
Bài 8. Cho các không gian metric [X, d], [Y, ρ] và các ánh xạ liên tục f, g : X → Y . Ta định
nghĩa ánh xạ
h : X → R, h[x] = ρ[f [x], g[x]], x ∈ X 1. Chứng minh h liên tục
2. Suy ra rằng tập A := {x ∈ X : f [x] = g[x]} là tập đóng.
Hướng dẫn
ρ d 1. Chứng minh rằng nếu dn −→ x thì h[xn ] → h[x] trong R, sử dụng tính chất yn −→ y,
ρ zn −→ z thì ρ[yn , zn ] → ρ[y, z]
2. A = h−1 [{0}], {0} là tập đóng trong R
Bài 9. Cho không gian metric [X, d] và A, B là các tập đóng khác ∅, không giao nhau. Chứng
minh rằng tồn tại ánh xạ liên tục f : X → R sao cho
0 ≤ f [x] ≤ 1, ∀x ∈ X, f [x] = 0, ∀x ∈ A, f [x] = 1, ∀x ∈ B Hướng dẫn
Chứng minh hàm f [x] = d[x, A]
cần tìm.
d[x, A] + d[x, B] 7 This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,75,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,39,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,128,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,101,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,267,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,16,Đề cương ôn tập,38,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,952,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,159,Đề thi giữa kì,16,Đề thi học kì,130,Đề thi học sinh giỏi,123,Đề thi THỬ Đại học,385,Đề thi thử môn Toán,51,Đề thi Tốt nghiệp,43,Đề tuyển sinh lớp 10,98,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,216,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,9,File word Toán,33,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,190,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,17,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,355,Giáo trình - Sách,81,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,200,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,106,Hình học phẳng,88,Học bổng - du học,12,IMO,12,Khái niệm Toán học,64,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,55,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,26,Mũ và Logarit,38,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,49,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,290,Ôn thi vào lớp 10,3,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,7,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,12,Sách Giấy,11,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,9,Số học,56,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,38,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,77,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,132,Toán 11,173,Toán 12,373,Toán 9,66,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,16,Toán Tiểu học,5,Tổ hợp,36,Trắc nghiệm Toán,220,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,271,Tuyển sinh lớp 6,8,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28,
Video liên quan