TH1: Hai mặt phẳng \[\left[ P \right],\left[ Q \right]\] song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng \[{0^0}\].
TH2: Hai mặt phẳng \[\left[ P \right],\left[ Q \right]\] không song song hoặc trùng nhau.
Cách 1:
+] Dựng hai đường thẳng \[n,p\] lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng \[\left[ P \right]\] và \[\left[ Q \right]\].
+] Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng \[\left[ P \right]\] và \[\left[ Q \right]\] là góc giữa hai đường thẳng \[n,p\].
Cách 2:
+] Xác định giao tuyến \[\Delta \] của hai mặt phẳng \[\left[ P \right],\left[ Q \right]\].
+] Tìm một mặt phẳng \[\left[ R \right]\] vuông góc \[\Delta \] và cắt và hai mặt phẳng theo các giao tuyến \[a,b\].
+] Góc giữa hai mặt phẳng \[\left[ P \right],\left[ Q \right]\] là góc giữa \[a\] và \[b\].
- Diện tích hình chiếu của đa giác
Gọi \[S\] là diện tích của đa giác \[\left[ H \right]\] trong \[\left[ P \right],S'\] là diện tích hình chiếu \[\left[ {H'} \right]\] của \[\left[ H \right]\] trên mặt phẳng \[\left[ Q \right]\] và \[\alpha = \left[ {\left[ P \right],\left[ Q \right]} \right]\]. Khi đó:
Ví dụ: Cho tứ diện \[ABCD\] có \[\Delta BCD\] vuông cân tại \[B\], \[AB \bot \left[ {BCD} \right],BC = BD = a\], góc giữa \[\left[ {ACD} \right]\] và \[\left[ {BCD} \right]\] là \[{30^0}\]. Tính diện tích toàn phần của tứ diện \[ABCD\].
Giải:
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng \[\left[ {ACD} \right]\] và \[\left[ {BCD} \right]\]:
Ta có: \[\Delta ABC = \Delta ABC\left[ {c.g.c} \right] \Rightarrow AC = AD\] [cạnh tương ứng]
Gọi \[E\] là trung điểm của \[CD \Rightarrow AE \bot CD,BE \bot CD\].
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\left[ {ACD} \right] \cap \left[ {BCD} \right] = CD\\AE \bot CD\\BE \bot CD\end{array} \right.\] nên góc giữa hai mặt phẳng \[\left[ {ACD} \right]\] và \[\left[ {BCD} \right]\] là góc giữa hai đường thẳng \[AE,BE\].
Do đó \[\widehat {AEB} = {30^0}\].
- Tính diện tích toàn phần của tứ diện:
Tam giác vuông cân \[BCE\] có:
\[CD = \sqrt {B{C^2} + B{D^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow BE = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{1}{2}.a\sqrt 2 = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\]
Tam giác vuông \[ABE\] có \[AB = BE.\tan {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\]
Do đó:
\[{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}BA.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}.a = \dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{{12}}\]
\[{S_{ABD}} = \dfrac{1}{2}BA.BD = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}.a = \dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{{12}}\]
\[{S_{BCD}} = \dfrac{1}{2}BC.BD = \dfrac{{{a^2}}}{2}\]
\[{S_{ACD}} = \dfrac{{{S_{BCD}}}}{{\cos {{30}^0}}} = \dfrac{1}{2}{a^2}:\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}\]
Vậy diện tích toàn phần của tứ diện là:
\[S = {S_{ABC}} + {S_{ABD}} + {S_{BCD}} + {S_{ACD}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{{12}} + \dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{{12}} + \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3} + \dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^2}\left[ {\sqrt 6 + 2\sqrt 3 + 3} \right]}}{6}\] .
- Bài 11 trang 114 SGK Hình học 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi tâm I cạnh a...
- Bài 10 trang 114 SGK Hình học 11 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a...
- Bài 9 trang 114 SGK Hình học 11 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC...
- Bài 8 trang 114 SGK Hình học 11 Giải bài 8 trang 114 SGK Hình học 11. Tính độ dài đường chéo của một hình lập phương cạnh a. Bài 7 trang 114 SGK Hình học 11
Giải bài 7 trang 114 SGK Hình học 11. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, CC' = c...