Bài tập tính thể tích lăng trụ có lời giải năm 2024

33 bài tập - Thể tích khối lăng trụ [Phần 2] - File word có lời giải chi tiết Câu 1. Cho lăng trụ 1 1 1 ABC A B C. có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của điểm 1 A lên

 ABC

trùng với trọng tâm tam giác ABC,

2 3 3 a AA  . Thể tích khối lăng trụ 1 1 1 ABC A B C. là: A.

####### 1 1 1

6 12

ABC A B C

a V  B.

####### 1 1 1

6 6

ABC A B C

a V  C.

####### 1 1 1

3 12

ABC A B C

a V  D.

####### 1 1 1

3 4

ABC A B C

a V  Câu 2. Cho lăng trụ 1 1 1 ABC A B C. có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a 3 , cạnh bên có độ dài bằng 2 a. Hình chiếu của điểm 1 A lên

 ABC 

trùng với trung điểm của BC. Thể tích khối lăng trụ 1 1 1 ABC A B C. là: A.

####### 1 1 1

3 21 8

ABC A B C

a V  B.

####### 1 1 1

21 24

ABC A B C

a V  C.

####### 1 1 1

14 12

ABC A B C

a V  D.

####### 1 1 1

14 8

ABC A B C

a V  Câu 3. Cho lăng trụ 1 1 1 ABC A B C. có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a 3. Hình chiếu của điểm 1 A lên

 ABC 

trùng với trung điểm của BC, cạnh bên hợp với đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ ABC A B C. 1 1 1 là: A.

####### 1 1 1

3 12

ABC A B C

a V  B.

####### 1 1 1

3 3 8

ABC A B C

a V  C.

1 1 1

9 8

ABC A B C

a V  D.

1 1 1

27 8

ABC A B C

a V  Câu 4. Cho lăng trụ 1 1 1 ABC A B C. có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a 3. Hình chiếu của điểm 1 A lên

 ABC 

trùng với trung điểm của BC, mặt

 A AB 1 

hợp với mặt đáy một góc  thỏa mãn 2 tan 3   . Thể tích khối lăng trụ 1 1 1 ABC A B C. là: A.

####### 1 1 1

3 24

ABC A B C

a V  B.

####### 1 1 1

3 3 8

ABC A B C

a V  C.

####### 1 1 1

6 12

ABC A B C

a V  D.

####### 1 1 1

6 9

ABC A B C

a V  Câu 5. Cho lăng trụ 1 1 1 ABC A B C. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA BC a . Hình chiếu của điểm 1 A lên

 ABC 

trùng với trung điểm của 1 1 , 2 2 AC S AA C Ca . Thể tích khối lăng trụ ABC A B C. 1 1 1 là: A.

1 1 1

ABC A B C

a V  B.

1 1 1

ABC A B C

a V  C.

####### 1 1 1

2 3

ABC A B C

a V  D.

####### 1 1 1

2 6

ABC A B C

a V  Câu 6. Cho lăng trụ 1 1 1 ABC A B C. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA BC a . Hình chiếu của điểm 1 A lên

 ABC 

trùng với trung điểm của AC, cạnh 1 A B hợp với đáy một góc 45°. Thể tích khối lăng trụ 1 1 1 ABC A B C. là: A.

####### 1 1 1

3 2

ABC A B C

a V  B.

####### 1 1 1

3 6

ABC A B C

a V  C.

####### 1 1 1

2 6

ABC A B C

a V  D.

####### 1 1 1

2 4

ABC A B C

a V  Câu 7. Cho lăng trụ 1 1 1 ABC A B C. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA BC a . Hình chiếu của điểm 1 A lên

 ABC 

trùng với trung điểm của AC, mặt

 A AB 1 

hợp với đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ 1 1 1 ABC A B C. là: A.

####### 1 1 1

3 4

ABC A B C

a V  B.

####### 1 1 1

3 6

ABC A B C

a V  C.

####### 1 1 1

6 6

ABC A B C

a V  D.

####### 1 1 1

6 9

ABC A B C

a V  Câu 8. Cho lăng trụ 1 1 1 1 ABCD A B C D. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Chân đường vuông góc kẻ từ

A 1 lên  ABCD  trùng với giao điểm của 2 đường chéo đáy, mặt  AA B B 1 1  hợp với đáy một góc 60°. Thể

tích khối lăng trụ 1 1 1 1 ABCD A B C D. là: A.

####### 1 1 1 1

3 3

ABCD A B C D

a V  B.

####### 1 1 1 1

3 2

ABCD A B C D

a V  C.

####### 1 1 1 1

6 2

ABCD A B C D

a V  D.

####### 1 1 1 1

6 6

ABCD A B C D

a V  Câu 9. Cho lăng trụ 1 1 1 1 ABCD A B C D. có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD  120  . Biết 1 A ABC. là hình chóp đều và 1 A D hợp với đáy một góc 45°. Thể tích khối lăng trụ 1 1 1 1 ABCD A B C D. là: A.

3 3 8 a B. Đáp án khác C.

2 9 a D.

5 3 8 a Câu 17. Đáy của một hình hộp đứng là một hình thoi có đường chéo nhỏ bằng d và góc nhọn bằng  . Diện tích của một mặt bên bằng S. Thể tích hình hộp đã cho là: A. sin 2 dS



B. dSsin  C. 1 sin 2 dS  D. cos 2 dS



Câu 18. Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C. &

039; &

039; có thể tích là V. Gọi I, J lần lượt là trung điểm cạnh

AA &

039;và BB &

039;. Khi đó thể tích của khối đa diện ABCIJC &

039;bằng:

A. 3 5 V B. 4 5 V C. 3 4 V D. 2 3 V Câu 19. Cho hình hộp ABCD A B C D. &

039; &

039; có đáy là hình chữ nhật với AB  3, AD 7. Hai mặt bên

 ABB A&

039; &

039;

và

 ADD A&

039; &

039;

lần lượt tạo với đáy những góc 45° và 60°. Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1. A. 3 B. 6 C. 9 D. Đáp án khác Câu 20. Khối lăng trụ ABC A B C. &

039; &

039; có đáy là một tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng

đáy bằng 30°. Hình chiếu của đỉnh A &

039;trên mặt phẳng đáy

 ABC 

trùng với trung điểm của cạnh BC. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là: A.

3 4 a B.

3 3 a C.

3 12 a D.

3 8 a Câu 21. Cho hình hộp ABCD A B C D. &

039; &

039;. Tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB D&

039; &

039; và khối hộp

ABCD A B C D. &

039; &

039;bằng:

A. 1 6 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 4 Câu 22. Cho hình lăng trụ tam giác 1 1 1 ABC A B C. mà mặt bên 1 1 ABB A có diện tích bằng 4. Khoảng cách giữa cạnh 1 CC và mặt phẳng

 ABB A 1 1 

bằng 7. Khi đó thể tích khối lăng trụ 1 1 1 ABC A B C. là: A. 28 B. 14 3 C. 28 3 D. 14 Câu 23. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC A B C. &

039; &

039;, M là trung điểm của AA &

039;. Mặt phẳng

 MBC&

039;

chia khối lăng trụ thành hai phần. Tỷ số của hai phần đó bằng: A. 5 6 B. 1 3 C. 1 D. 2 5 Câu 24. Cho hình lăng trụ ABC A B C. &

039; &

039; có thể tích là V. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

Khi đó thể tích của khối chóp C AMN&

039; là:

A. 3 V B. 12 V C. 6 V D. 4 V Câu 25. Cho hình lăng trụ ABC A B C. &

039; &

039;. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh BB &

039; và CC &

039;. Mặt

phẳng

 AMN 

chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số

039; &

039;..A B C NMAA BCNM

V V . A. 1 3 B. 1 2 C. 2 D. 1 Câu 26. Cho lăng trụ ABC A B C. &

039; &

039; có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của A &

039; lên

 ABC 

trùng với trung điểm của BC. Thể tích của khối lăng trụ là

3 8 a , độ dài cạnh bên của khối lăng trụ là: A. a B. 2 a C. 6 2 a D. a 6 Câu 27. Đáy của khối lăng trụ ABC A B C. &

039; &

039; có đáy tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên với mặt đáy

của lăng trụ là 30°. Hình chiếu vuông góc của A &

039; xuống đáy

 ABC 

trùng với trung điểm H của cạnh BC. Thể tích của khối lăng trụ là: A.

2 3 a B.

3 8 a C.

039;. Mặt phẳng

 DIC &

039;

chia khối lập phương thành 2 phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng: A. 1 3 B. 7 17 C. 4 14 D. 1 2 Câu 30. Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C. &

039; &

039; có thể tích bằng V. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

BB &

039;và CC &

039;. Thể tích của khối ABCMN bằng:

A. 2 V B. 3 V C. 2 3 V D. 4 V Câu 31. Cho hình lập phương ABCD A B C D. &

039; &

039;. Mặt phẳng

 BDC &

039;

chia khối lập phương thành 2 phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng:

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. Chọn đáp án D

Gọi H là trọng tâm tam giác đều ABC

Ta có:

2 3 3

.

3 2 3

a a

AH  

Khi đó

2 2

1 1

4 3 3

a a

A H  A A  AH   a

Do đó

1 1 1

2 3

. 1

3 3

..

4 4

ABC A B C ABC

a a

V S A H  a

.

Câu 2. Chọn đáp án A

Gọi H là trung điểm của BC khi đó

 3 . 3

2 2

a a

AH  

Mặt khác

2 2 2 2

1 1

9 7

4 4 2

a a

A H  AA  AH  a  

Suy ra

 

1 1 1

2

3 . 1

3 3 7 3

..

4 2 8

ABC A B C ABC

a a a

V S A H 

.

Câu 3. Chọn đáp án D

Gọi H là trung điểm của BC khi đó

 3 . 3

2 2

a a

AH  

Lại có:

  

 

1 1 1

3 3

, 60 tan 60

2 a

AA ABC  A AH    A H  AH  

Suy ra

 

1 1 1

2

3 . 1

3 3 3 3

..

4 2 8

ABC A B C ABC

a a a

V S A H 

.

Câu 4. Chọn đáp án B

Gọi H trung điểm của BC khi đó

 3 . 3

2 2

a a

AH  

Dựng HK  ABlại có 1

A H  AB

do đó

 A KH 1 AB

Suy ra



A KH 1   . Lại có

sin  3 .sin 60 3

2 4

a a

HK HB HBK  

Do đó

1 3 2

tan.

4 3 2

a a

A H HK  

Suy ra

 

1 1 1

2

3 . 1

3 3 3

..

4 2 8

ABC A B C ABC

a a a

V S A H 

.

Câu 5. Chọn đáp án A

Gọi H là trung điểm của AC, ta có

A H 1   ABC ; AC a 2

Khi đó 1 1

2 A H 1  AC  S ACC A A H AC 1. a 2  A H 1 a

Do vậy

1 1 1

2 3

.. 1.

2 2

ABC A B C ABC

a a

V S A H  a

.

Câu 6. Chọn đáp án D

Gọi H là trung điểm của AC, ta có

A H 1   ABC ; AC a 2

Khi đó

  

 



A BH 1  A B 1 , ABC  45 

Mặt khác

1 2 2

2 2 2

AC a a

BH    A H

Do vậy

1 1 1

2 3

. 1

2 2

..

2 2 4

ABC A B C ABC

a a a

V S A H 

.

3 2 33 2.. 4 3 a a  a . Câu 10. Chọn đáp án B Gọi M là trung điểm của BC suy ra &

039;

AM BC A M BC AA BC        Do đó

039;

1 &

039;. 8 &

039; 4

2 S A BC A M BC   A M  Lại có: 3 2 2 3 &

039; &

039; 2

2 a AM    A A  A M  AM  Suy ra

2. &

039; &

039;

4 3 . &

039; .2 8 3

4 V ABC A B C S ABC A A  . Câu 11. Chọn đáp án C Dựng BH  AC lại có BB &

039; AC suy ra

 B AB&

039; AC

Do đó

    

  AB C&

039; , ABC  B AB&

039;  45 

Lại có BAH  180   120   60   BH AB sin 60  a 3 Suy ra 12 &

039; 3;. 3

2 BB a S ABC BH AC a Do đó

2 3

VABC A B C . &

039; &

039; S ABC. BB &

039; a 3 3  3 a.

Câu 12. Chọn đáp án A Gọi H là trung điểm của BC suy ra AH BC Lại có AA &

039; BC suy ra

 A AH&

039; BC

Dựng

AF  A H&

039;  AF   A BC&

039; 

khi đó 6 ; 3 2 a AF  AH a Mặt khác

2 2 2

1 1 1 &

039; 3

039;

AA a AA AH AF     . Suy ra

 

23. &

039; &

039;

2 3 . &

039;. 3 3

ABC A B C ABC

a V S A A  a  a . Tam giác A AH&

039; vuông tại H, có

sin  &

039; &

039; sin 60. 3 3

039; 2

A H a A AH A H a AA      . Thể tích khối lăng trụ là

2 3. &

039; &

039;

3 3 3 3 &

039;..

2 4 8

ABC A B C ABC

a a a V  A H S   . Câu 17. Chọn đáp án D Gọi hình hộp đứng là ABCD A B C D. &

039; &

039;với ABCD là hình thoi,

ABC   ,AC d . Diện tích một mặt bên là AA B B&

039; &

039; có diện tích S và AA &

039;h .

Gọi cạnh của hình thoi là . S x S x h h x     . Diện tích hình thoi là

S ABCDx  Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, có AC 2 AB 2  BC 2  2. AB BC. .cos ABC .

 

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 .cos 2 1 cos 4 .sin 2 2sin 2 d x x d x d x d x

   

          . Câu 18. Chọn đáp án D Gọi K là trung điểm của

.. &

    

   ABB A&

039; &

039; , ABCD  A MH&

039;  45 

Và

    

  ADD A&

039; &

039; , ABCD  A NH&

039;  60 

. Đặt A H&

039; x . Khi đó

2 3 4 &

039;

3 3 x x A N AN HM      . Mà

3 4 3 3 7 x HM x x x        .

. &

039; &

039;

3 .. &

039; 3. 7. 3

7  V ABCD A B C D  AB AD A H  . Câu 20. Chọn đáp án D Gọi H là trung điểm của

BC  A H&

039;   ABC

 AH là hình chiếu của A A&

039; trên mặt phẳng  ABC .

  



 

   AA &

039;, ABC  A A AH&

039; ,  A AH&

039;  30 

. Tam giác A AH&

039; vuông, có

 &

039; &

039;

2 A H a A AH A H AH    . Thể tích lăng trụ là

2 3

3 3 &

039;..

2 4 8

ABC

a a a V A H S    . Câu 21. Chọn đáp án C Ta có

. &

039; &

039;. &

039; &

039;. &

039; &

039;. &

039; &

039;. &

039; &

039;

4 6 V ABCD A B C D V A A B D  VC B C D  VB ABC V D ADC  VACB D  VABCD A B C D VACB D

039; &

039;. &

039; &

039;. &

039; &

039;. &

039; &

039;. &

039; &

039;

2 1 1 3 3 3

ACB DABCD A B C D ABCD A B C D ACB D ACB D ABCD A B C DABCD A B C D

V V V V V V V        . Câu 22. Chọn đáp án D Ta có

CC 1 / / ABB A 1 1 

 d CC 1 ,  ABB A 1 1  d C  ,  ABB A 1 1  7

Bài ra 1 1 1 S ABB A  4  SA AB 2  VABC A B C . &

039; &

039;  3 V A 1. ABC  3 VC A AB. 1

  1 1  1

1 3. ,. 7 14 3  d C ABB A SA AB  . Câu 23. Chọn đáp án C Lăng trụ tam giác đều ABC A B C. &

039; &

039;

 A A&

039;   ABC

và ABC đều. Đặt AB BC CA  xvà A A&

039; h .

Kẻ

BP  AC  P  AC

. Câu 26. Chọn đáp án C Gọi H là trung điểm của cạnh

BC  A H&

039;  ABC

32. &

039; &

039;

1 3 &

039;. &

039;. sin 60

2 8

ABC A B C ABC

a  V  A H S  A H a   3 &

039;

2 a  A H mà 3 3 6 &

039;

2 2 2 AB a a AH    A A . Câu 27. Chọn đáp án B Cạnh 3 3 2 2 AB a AH   . Ta có

  

  &

039; 1

039; , &

039; 30 tan 30

3 A H A A ABC A AH AH       

32. &

039; &

039;

1 3 &

039; &

039;.. sin 60

2 2 2 8

ABC A B C ABC

a a a  A H   V A H S  a   . Câu 28. Chọn đáp án C Ta có

  

. &

039; &

039; . &

039; &

039;. &

039; &

039;. &

039; &

039;

1 , &

039; &

039;. 1

3 3 , &

039; &

039;.

O A B C D A B C D O A B C DABCD A B C DABCD A B C D A B C D

V d O A B C D S V V V d O A B C D S          . Câu 29. Chọn đáp án B Mặt phẳng

 IDC &

039;

3 3 V V C DAB IN V C ADN  VC ANIB  CC S ADN  C B SANID . Mà

1 . 2 2 4

ADN

a a S  a  và

1 .. 2 2 2 8

IBN

a a a S  

2 2 32&

039; &

039;

1 3 5 2 8 8 24

ANIB C DAB IN

a a a  S  a    V 

3 331

1 5 7 2 24 24 a a  V  a    Phần còn lại

3 3322

7 17 7 24 24 17 a a V V a V      .

32. &

039; &

039;

1 3 &

039;.. sin 60

2 4

ABC A B C ABC

a  V  A P S a a   .