Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân và cùng với biến đổi Fourier là hai biến đổi rất hữu ích và thường được sử dụng trong giải các bài toán vật lý. Qua biến đổi Laplace, các phép toán giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành các phép tính đại số [giống như cách mà hàm logarit chuyển một phép toán nhân các số thành phép cộng các logarit của chúng]. Vì vậy nó đặc biệt hữu ích trong giải các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, những phương trình thường xuất hiện trong các bài toán vật lý, trong phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hòa, các hệ cơ học. Bởi vì qua biến đổi Laplace các phương trình này có thể chuyển thành các phương trình đại số đơn giản hơn. Giải ra nghiệm là các hàm ảnh trong không gian p, chúng ta dùng biến đổi Laplace ngược để có lại hàm gốc trong không gian thực t.
[sửa]Lịch sử
Từ năm 1744, Leonhard Euler đã đưa ra các tích phân
để giải các phương trình vi phân.
Joseph Louis Lagrange, người rất ngưỡng mộ Euler, khi nghiên cứu cách tính tích phân của hàm mật độ xác suất, ông đã đưa ra biểu thức tích phân
Những dạng tích phân này đã thu hút sự chú ý của Laplace vào năm 1782 khi ông tiếp tục công trình của Euler là sử dụng phép tính tích phân để giải các phương trình. Năm 1785, vượt ra khỏi giới hạn giải quyết các phương trình bằng phương pháp tích phân, ông đã bắt đưa ra các biến đổi mà sau này đã trở nên rất phổ biến. Ông sử dụng tích phân
- tương tự với biến đổi Mellin, để biến đổi phương trình sai phân để tìm ra lời giải cho phương trình biến đổi. Với cách tương tự như vậy, ông đã suy ra các tính chất của biến đổi Laplace.
Laplace cũng nhận ra rằng phương pháp của Joseph Fourier trong chuỗi Fourier để giải phương trình khuếch tán chỉ có thể áp dụng trong một vùng không gian giới hạn.
[sửa]Định nghĩa
Giả sử f là một hàm [có thể là hàm phức] của biến số thực t [t ≥ 0] sao cho tích phân
Một số trường hợp để đảm bảo cho cả những trường hợp hàm gốc f[t] không xác định tại t=0, ta có thể định nghĩa một cách chính xác hơn.
[sửa]Biến đổi Laplace hai phía
Một khi nói "biến đổi Laplace" mà không chú ý thêm gì, thường là ta nói đến biến đổi một phía. Biến đổi Laplace có thể được định nghĩa là biến đổi Laplace hai phía bằng cách mở rộng giới hạn của tích phân đến âm vô cực.
Nếu như vậy, biến đổi Laplace một phía đơn giản trở thành một trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace hai phía, xác định bằng cách lấy hàm đã chuyển đổi nhân với hàm bước nhảy Heaviside. than
[sửa]Biến đổi Laplace ngược
Biến đổi Laplace ngược giúp chúng ta tìm lại hàm gốc f[t] từ hàm ảnh F[p]. Biến đổi Laplace ngược được định nghĩa bởi tích phân sau.
Nhưng thông thường chúng ta ít dùng đến tích phân này để tính hàm gốc mà dùng bảng "các hàm gốc – hàm ảnh tương ứng" đã có sẵn để tìm lại hàm gốc f[t].
[sửa]Tính chất hàm gốc
Tập hợp các hàm f của biến số thực t sao cho tích phân hội tụ ít nhất với một số phức p gọi là lớp hàm gốc. Trong khi đó tập hợp các giá trị của p sao cho tích phân tồn tại thì được gọi là miền hội tụ [hay miền qui tụ].
Ta có thể chứng minh được lớp các hàm gốc phải thỏa mãn các tính chất sau.
[sửa]Tính chất của biến đổi Laplace
- Cho các hàm f[t] và g[t], và các hàm ảnh tương ứng F[s] và G[s]:
- Sau đây là bảng các tính chất của biến đổi Laplace: Tính chấtMiền thời gianMiền tần số Tuyến tínhĐạo hàm trong miền tần sốĐạo hàm bậc n trong miền tần sốĐạo hàm trong miền thời gianĐạo hàm bậc 2Tổng quátTích phân trong miền tần sốTích phân trong miền thời gianĐồng dạngBiến đổi trong miền tần sốBiến đổi trong miền thời gianTích chậpHàm tuần hoàn
- Định lý giá trị ban đầu: [Định lý giới hạn]
- Định lý giá trị cuối: [Định lý giới hạn]
[sửa]Biến đổi Laplace của phép đạo hàm của một hàm
Thường dùng phép tính vi phân của biến đổi Laplace để tìm dạng đạo hàm của một hàm. Ta có thể thu được từ biểu thức cơ bản đối với biến đổi Laplace như sau:
Trong trường hợp 2 bên, ta có
![ \mathcal{L}\left{ { df \over dt } \right} = s \int_{-\infty}{+\infty} e{-st} f[t]\,dt = s \cdot \mathcal{L} { f[t] }. ][////i0.wp.com/upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/math/9/4/2/94291ec18ae9aeea680245200a94da09.png]
[sửa]Liên hệ với các biến đổi khác
[sửa]Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier liên tục tương đương với giá trị của biến đổi Laplace hai bên với argument là số phức s = iω hay
![ \begin{array}{rcl} F[\omega] & = & \mathcal{F}\left{f[t]\right} \[1em] & = & \mathcal{L}\left{f[t]\right}|{s = i \omega} = F[s]|{s = i \omega}\[1em] & = & \int_{-\infty}{+\infty} e{-\imath \omega t} f[t]\,\mathrm{d}t.\ \end{array} ][////i0.wp.com/upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/math/b/7/2/b72b8a44048c87f6a3c88cdc1bb5ea9e.png]
Chú ý biểu thức này không tính đến hệ số tỉ lệ
Mối quan hệ này giữa biến đổi Laplace và biến đổi Fourier thường được dùng để xác định quang phổ tần số của một tín hiệu hay hệ thống động lực học [dynamic system].
[sửa]Biến đổi Mellin
Biến đổi Mellin và phép nghịch đảo của nó liên hệ với biến đổi Laplace hai bên bằng cách thay đổi biến. Trong biến đổi Mellin
Ta đặt θ = e-t, ta sẽ thu được biến đổi Laplace hai bên.
[sửa]Biến đổi Z
Biến đổi Z là biến đổi Laplace của một tín hiệu thử lý tưởng bằng cách thay thế
đặt
và
là sự biểu diễn liên tục thời gian [continuous-time] của x[t] còn
Biến đổi Laplace đối với tín hiệu thử xq[t] là
Đây là định nghĩa chính xác của biến đổi Z đối với hàm x[n].
So sánh 2 phương trình cuối ta thấy mối liên hệ giữa biến đổi Z và biến đổi Laplace của tín hiệu thử
[sửa]Biến đổi Borel
Dạng tích phân của biến đổi Borel có liên hệ với biến đổi Laplace; thật sự, có một số nhầm lẫn khi cho rằng chúng tương tự như nhau. Biến đổi Borel tổng quát tạo ra biến đổi Laplace cho những hàm không phải hàm mũ.
[sửa]Mối quan hệ cơ bản
Từ biến đổi Laplace ban đầu có thể xem như là trường hợp đặc biệt của biến đổi hai bên, và từ biến đổi hai bên có thể xem như là tổng của hai biến đổi một bên, điểm khác biệt riêng của các biến đổi Laplace, Fourier, Mellin, Z ở trên là sự liên quan của từng biến đổi đối với biến đổi tích phân.
[sửa]Bảng các biến đổi Laplace
Vì biến đổi Laplace là một toán tử tuyến tính nên
- Biến đổi Laplace của tổng bằng tổng các biến đổi Laplace của các số hạng
- Biến đổi Laplace của một bội số của hàm bằng bội số nhân cho biến đổi Laplace của hàm đó
Tính đơn ánh của biến đổi Laplace chỉ đúng khi t là số không âm, vì thế các hàm trong miền thời gian ở bảng dưới là bội của hàm bậc thang Heaviside u[t].
- Bảng cung cấp những biến đổi Laplace đối với những hàm chung một biến. STTHàmHàm gốc [miền t] Hàm ảnh [miền s] Miền hội tụ 1 trễ lý tưởng 1a xung đơn vị mọi s 2 trễ mũ n với dịch chuyển tần số 2a mũ n [cho số nguyên n] 2a.1 mũ q [cho số thực q] 2a.2 bậc thang đơn vị 2b bậc thang đơn vị có trễ 2c dốc 2d mũ n với dịch chuyển tần số 2d.1 suy giảm hàm mũ 3 tiệm cận hàm mũ 4 sine 5 cosine 6 hyperbolic sine 7 hyperbolic cosine 8 hàm sine suy giảm theo hàm mũ 9 hàm cosine suy giảm theo hàm mũ 10 căn bậc n 11 logarith tự nhiên 12 hàm Bessel of the first kind, of order n 13 hàm Bessel biến đổi loại 1, bậc n 14 hàm Bessel loại hai, bậc 0 15 hàm Bessel biến đổi loại hai, bậc 016 hàm sai số chú thích:
- là hàm bậc thang Heaviside.
- là hàm delta Dirac].
- là hàm Gamma.
- là hằng số Euler-Mascheroni.
- , đặc trưng cho thời gian [số thực].
- là tần số góc [số phức angular frequency và Re[s] là phần thực của s].
- ,,, vàlà các số thực.
- , là số mũ nguyên.
[sửa]Trở kháng và sơ đồ mạch điện tương đương trong mạch miền s
Biến đổi Laplace được sử dụng để biến đổi các yếu tố mạch điện từ miền thời gian t sang mạch miền s
Bảng so sánh giữa mạch miền t và mạch miền s
Mối quan hệ dòng áp trong miền s của các yếu tố mạch điện RLC
Chú ý: đối với điện trở R, mạch miền t và mạch miền s giống nhau. Riêng đối với cuộn cảm L và tụ điện C cần phải kể đến nguồn điều kiện ban đầu [dòng ban đầu đối với cuộn cảm và áp ban đầu đối với tụ điện]
[sửa]Ứng dụng các tính chất và định lý của biến đổi Laplace
Biến đổi Laplace được sử dụng nhiều trong kỹ thuật và vật lý học. Việc tính toán được chuyển sang không gian Laplace nhằm chuyển phép nhân chập về phép nhân thông thường, khi đó ta có thể giải quyết vấn đề bằng phương pháp đại số.
Biến đổi Laplace còn được sử dụng để giải phương trình vi phân và được ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật điện [electrical engineering]. Phương pháp sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân được phát triển bởi kỹ sư người Anh Oliver Heaviside.
Những ví dụ dưới đây được sử dụng trong hệ đơn vị SI
[sửa]Giải phương trình vi phân
Bài toán trong vật lý hạt nhân nguyên tử
Phương trình biểu diễn sự phân rã phóng xạ của một chất đồng vị phóng xạ
Ta sẽ sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình này
Từ [1] ta có
Thực hiện biến đổi Laplace cho cả 2 vế của phương trình
Với
Giải phương trình ta có
Cuối cùng ta thực hiện biến đổi ngược để chuyển về miền t
![N[t] \ = \mathcal{L}{-1} {\tilde{N}[s]} = \mathcal{L}{-1} \left{ \frac{N_o}{s + \lambda} \right} ][////i0.wp.com/upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/math/9/d/4/9d4b44b5a6f2dcc25e28de70565d869a.png]
[sửa]Tổng trở Z[s] của tụ điện và cuộn cảm
Ví dụ này dựa vào lí thuyết giải tích mạch điện [electrical circuit]
Quan hệ dòng áp của các phần tử RLC trong miền thời gian t
Với i[t] là lượng điện tích chạy qua các thành phần RLC trong một đơn vị thời gian và V[t] là điện áp giữa 2 đầu từng thành phần RLC, cũng là hàm theo thời gian t
Dùng biến đổi Laplace để chuyển sang miền s
Với
Tổng trở Z[s] được định nghĩa là tỷ số giữa áp V và dòng i khi điều kiện ban đầu bằng 0
Từ đây ta suy ra tổng trở của các thành phần RLC
![Z_C [s]=\frac{1}{sC} ][////i0.wp.com/upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/math/3/c/6/3c695fae88636822c0a37e7ff4126128.png]
[sửa]Hàm truyền
Sự liên hệ giữa miền thời gian t và miền tần số được biểu diễn thông qua bảng sau:
Chú ý rằng ký hiệu * trong miền thời gian chính là phép nhân chập
Xét hệ tuyến tính bất biến theo thời gian với
Ta biến đổi [1]
Với
Hàm truyền H[s] được suy ra bằng cách dùng biến đổi Laplace đối với hàm h[t]
với
[sửa]Phương pháp khai triển thừa số riêng phần
Xét hệ tuyến tính bất biến với thời gian và hàm truyền
Để thực hiện biến đổi Laplace ngược, ta bắt đầu khai triển H[s] bằng cách sử dụng phương pháp khai triển riêng phần
P, R là các hằng số chưa biết. Để tìm hằng số này ta dùng đồng nhất thức
Từ đây suy ra
và
Thay vào H[s] ta tìm được
Cuối cùng sử dụng tính chất và bảng biến đổi Laplace, ta thực hiện biến đổi Laplace ngược cho hàm H[s]