Biện luận bất phương trình logarit
Điều kiện mx> 1 Show Đặt t= lg x, với x> 1 thì lg x> 0 Khi đó phương trình đã cho trở thành t2- mt+m+3≤0 hay t2+ 3≤ m(t-1) (*) TH1: Với t-1> 0 hay t> 1 Khi đó (*) Xét hàm số. với t> 1, có Suy ra TH2: Với t<1 khi đó (*) Xét hàm số Suy ra Vậy Chọn A. Tài liệu gồm 50 trang được biên soạn bởi thầy Nguyễn Bảo Vương tuyển chọn 104 câu hỏi và bài toán trắc nghiệm chủ đề bất phương trình mũ và bất phương trình logarit thường gặp trong các đề thi Trung học Phổ thông Quốc gia môn Toán, các câu hỏi và bài tập đều có đáp án và lời giải chi tiết. Mục lục tài liệu các dạng toán bất phương trình mũ và bất phương trình logarit thường gặp:
Dạng 2. Bất phương trình mũ. PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO Dạng 1. Bất phương trình logarit. Dạng 1.1 Bất phương trình cơ bản (Trang 14). Dạng 1.1.1 Không cần biến đổi (Trang 14). Dạng 1.1.2 Cần biến đổi (Trang 20). Dạng 1.2 Kết hợp nhiều phương pháp đặt ẩn phụ, cô lập m, đánh giá (Trang 24). Dạng 2. Bất phương trình mũ. Dạng 2.1 Bất phương trình cơ bản (Trang 34). Dạng 2.1.1 Không cần biến đổi (Trang 34). Dạng 2.1.2 Cần biến đổi (Trang 39). Dạng 2.3 Giải và biện luận một số bất phương trình khó và khác (Trang 41). Dạng 2.3.1 Kết hợp nhiều phương pháp đặt ẩn phụ, cô lập m, đánh giá (Trang 41).Dạng 2.3.2 Giải bất phương trình khi biết đồ thị của f’(x) (Trang 46). Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}x \ge {\log _2}\left( {2x - 1} \right)\) là: A. \(\left( { - \infty ;1} \right]\) B. \(\left( {\dfrac{1}{2};1} \right]\) C. \(\left( {0;1} \right)\) D. \(\left[ {\dfrac{1}{2};1} \right)\) Phương pháp: Sử dụng phương pháp giải bất phương trình logarit với cơ số \(a > 1\): \({\log _a}f\left( x \right) \ge {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\) . Cách giải: Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\2x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}\). Khi đó, \({\log _2}x \ge {\log _2}\left( {2x - 1} \right) \Leftrightarrow x \ge 2x - 1 \Leftrightarrow - x \ge - 1 \Leftrightarrow x \le 1\). Kết hợp với điều kiện xác định ta được \(\dfrac{1}{2} < x \le 1\). Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {\dfrac{1}{2};1} \right]\). Chọn B. Chú ý khi giải: Nhiều HS thường quên đặt điều kiện xác định, dẫn tới khi kết luận nghiệm chọn nhầm đáp án A. Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình: \({\log _{\dfrac{1}{4}}}x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x - 3 \le 0\) là: A. \(\left( { - \infty ;\dfrac{1}{4}} \right]\) B. \(\left( {0; + \infty } \right)\) C. \(\left[ {\dfrac{1}{4}; + \infty } \right)\) D. \(\left( { - \infty ; - 1} \right]\) Phương pháp: Đưa về cùng cơ số và biến đổi thành dạng tích rồi giải bất phương trình. Cách giải: Điều kiện: \(x > 0\) \(\begin{array}{l}{\log _{\dfrac{1}{4}}}x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x - 3 \le 0 \Leftrightarrow {\log _{{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}}}x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x - 3 \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\log _{\dfrac{1}{2}}}x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x - 3 \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}{\log _{\dfrac{1}{2}}}x \le 3 \Leftrightarrow {\log _{\dfrac{1}{2}}}x \le 2 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{4}\end{array}\) Kết hợp điều kiện \(x > 0\) ta được \(x \ge \dfrac{1}{4}\). Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {\dfrac{1}{4}; + \infty } \right)\). Chọn C.
Một số kiến thức quan trọng để giải quyết bài toán 1 Hàm số $y=f\left( x \right)$ có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên D thì giá trị $P\left( m \right)$ cần tìm để phương trình có nghiệm thỏa mãn $\underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\le P\left( m \right)\le \underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)$ Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng $y=P\left( m \right)$ nằm ngang cắt đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại k điểm phân biệt. Nếu đổi biến, nói cách khác là đặt ẩn phụ thì ta cần tìm điều kiện cho biến mới và biện luận mối tương quan số nghiệm giữa biến cũ và biến mới. Nếu đề bài yêu cầu tìm tham số m để phương trình bậc hai theo mũ hoặc lôgarit có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{\text{x}}_{1}}+{{x}_{2}}=a$ hoặc ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=b$, ta có thể sử dụng định lý Vi-ét sau khi lấy mũ hoặc lôgarit hai vế hợp lí. 2. Bài toán 2. Tìm tham số m để $f\left( x;m \right)\ge 0$ hoặc $f\left( x;m \right)\le 0$ có nghiệm trên D.
Một số kiến thức quan trọng để giải quyết bài toán 2 – Bất phương trình $P\left( m \right)\le f\left( x \right)$ nghiệm đúng $\forall x\in D\Leftrightarrow P\left( m \right)\le \underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)$. – Bất phương trình $P\left( m \right)\ge f\left( x \right)$ nghiệm đúng $\forall x\in D\Leftrightarrow P\left( m \right)\ge \underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)$. – Nếu $f\left( x;m \right)\ge 0;\forall x\in \mathbb{R}$ hoặc $f\left( x;m \right)\le 0;\forall x\in \mathbb{R}$ với $f\left( x;m \right)$ là tam thức bậc hai, ta sẽ sử dụng dấu của tam thức bậc hai. 3. Một số phương pháp áp dụng trong bài toán
Bài tập trắc nghiệm tìm m để phương trình, bất phương trình mũ logarit có đáp án
Lời giải Xét $u\left( x \right)={{x}^{2}}-2\text{x}$ trên $\left[ 0;2 \right]$, có ${u}'\left( x \right)=2\text{x}-2;{u}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$. Tính $u\left( 0 \right)=0;u\left( 1 \right)=-1;u\left( 2 \right)=0\xrightarrow{{}}-1\le u\left( x \right)\le 0\Leftrightarrow \frac{1}{2}\le {{2}^{{{x}^{2}}-2\text{x}}}\le 1$. Do đó, phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow \frac{1}{2}\le {{m}^{2}}-m+1\le 1\Leftrightarrow 0\le m\le 1$. Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}$ có 2 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn A.
Lời giải Ta có ${{4}^{x+1}}-{{2}^{x+2}}+m=0\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x+1}} \right)}^{2}}-{{2.2}^{x+1}}+m=0$ (1) Đặt $t={{2}^{x+1}}>0$. Phương trình (1) trở thành ${{t}^{2}}-2t+m=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t=-m$ (2) Để phương trình (1) có nghiệm $\Leftrightarrow $ phương trình (2) có nghiệm $t>0$. Cách 1. Xét hàm $f\left( t \right)={{t}^{2}}-2t$ với $t>0$. Đạo hàm và lập bảng biến thiên, ta kết luận được $-m\ge -1\Leftrightarrow m\le 1$. Chọn C. Cách 2. Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow $ phương trình (2) có hai nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ thỏa mãn $\left[ \begin{array} {} 0<{{t}_{1}}\le {{t}_{2}} \\ {} {{t}_{1}}\le 0<{{t}_{2}} \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} \left\{ \begin{array} {} {\Delta }'\ge 0 \\ {} P>0 \\ {} S>0 \\ \end{array} \right. \\ {} P\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} 0 Chọn B. A. ${{\log }_{4}}3\le m<1$ B. ${{\log }_{4}}3 Lời giải Đặt $t={{2}^{x}}>0\Leftrightarrow {{4}^{x}}={{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}={{t}^{2}}$ và $a={{3}^{m}}$ nên phương trình đã cho trở thành: ${{t}^{2}}+t+4=a\left( t+1 \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}-\left( a-1 \right)t+4-a=0$ (*). Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow $ (*) có hai nghiệm dương phân biệt ${{t}_{1}},{{t}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta >0 \\ {} S={{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \\ {} P={{t}_{1}}{{t}_{2}}>0 \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{\left( a-1 \right)}^{2}}-4\left( 4-a \right)>0 \\ {} a-1>0;4-a>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{a}^{2}}+2\text{a}-15>0 \\ {} 1
Chọn D.
Lời giải Ta có ${{25}^{x}}-m{{.5}^{x+1}}+7{{m}^{2}}-7=0\Leftrightarrow {{\left( {{5}^{x}} \right)}^{2}}-5m{{.5}^{x}}+7{{m}^{2}}-7=0$ Đặt $t={{5}^{x}}>0$ nên phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-5mt+7{{m}^{2}}-7=0$ (*). Với mỗi nghiệm $t>0$ của phương trình (*) sẽ tương ứng với một nghiệm x của phương trình ban đầu. Do đó, yêu cầu bài toán tương đương phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt. Khi đó $\left\{ \begin{array} {} \Delta >0 \\ {} S>0 \\ {} P>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 25{{m}^{2}}-4\left( 7{{m}^{2}}-7 \right)>0 \\ {} 5m>0;7{{m}^{2}}-7>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 28-3{{m}^{2}}>0 \\ {} m>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 1 Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}m=\left\{ 2;3 \right\}$ là hai giá trị nguyên cần tìm. Chọn C. A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 Lời giải Đặt $t={{2}^{x}}>0$ nên phương trình đã cho trở thành: ${{t}^{2}}-2mt+2m=0$ (*). Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ (*) có hai nghiệm dương phân biệt ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$. $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta >0 \\ {} S={{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \\ {} P={{t}_{1}}{{t}_{2}}>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 4{{m}^{2}}-8m>0 \\ {} 2m>0 \\ {} 2m>0 \\ \end{array} \right. {} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left[ \begin{array} {} m>2 \\ {} m<0\Leftrightarrow m>2 \\ \end{array} \right. \\ {} m>0 \\ \end{array} \right.$. Ta có ${{t}_{1}}{{t}_{2}}={{2}^{{{x}_{1}}}}{{.2}^{{{x}_{2}}}}={{2}^{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}}={{2}^{3}}=8=2m$ suy ra $m=4$ (thỏa mãn điều kiện). Vậy $m=4$ là giá trị duy nhất cần tìm. Chọn D. A. $\left[ 3;4 \right]$ B. $\left[ 2;4 \right]$ C. $\left( 2;4 \right)$ D. $\left( 3;4 \right)$ Lời giải Ta có ${{6}^{x}}+\left( 3-m \right){{2}^{x}}-m=0\Leftrightarrow {{6}^{x}}+{{3.2}^{x}}=\left( {{2}^{x}}+1 \right).m\Leftrightarrow m=\frac{{{6}^{x}}+{{3.2}^{x}}}{{{2}^{x}}+1}=\frac{{{3}^{x}}+3}{{{2}^{-x}}+1}$ Xét hàm số $f\left( x \right)=\frac{{{3}^{x}}+3}{{{2}^{-x}}+1}$ trên $\left( 0;1 \right)$, có ${f}'\left( x \right)=\frac{{{3}^{x}}.\ln 3\left( {{2}^{-x}}+1 \right)+\left( {{3}^{x}}+3 \right){{.2}^{-x}}\ln 2}{{{\left( {{2}^{-x}}+1 \right)}^{2}}}>0$ Suy ra hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên ℝ, do đó $f\left( 0 \right) Vậy để phương trình $m=f\left( x \right)$ có nghiệm khi và chỉ khi $2 A. 12 B. 8 C. 3 D. 17 Lời giải Ta có ${{3}^{2{{\text{x}}^{2}}-3\text{x}+m}}+9={{3}^{{{x}^{2}}-x+2}}+{{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}}\Leftrightarrow \left( {{3}^{2{{\text{x}}^{2}}-3\text{x}+m}}-{{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}} \right)+\left( 9-{{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}} \right)=0$ $\Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}-x}}.\left( {{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}}-9 \right)-\left( {{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}}-9 \right)=0\Leftrightarrow \left( {{3}^{{{x}^{2}}-x}}-1 \right)\left( {{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}}-9 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{3}^{{{x}^{2}}-x}}=1 \\ {} {{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}}=9 \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{x}^{2}}-x=0 \\ {} {{x}^{2}}-2\text{x}+m=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0;x=1 \\ {} g\left( x \right)={{x}^{2}}-2\text{x}+m-2=0 \\ \end{array} \right.$ Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow g\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0, 1. $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {\Delta }'>0 \\ {} g\left( 0 \right)\ne 0 \\ {} g\left( 1 \right)\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{\left( -1 \right)}^{2}}-\left( m-2 \right)>0 \\ {} m-2\ne 0 \\ {} m-3\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m<3 \\ {} m\ne 2 \\ \end{array} \right.$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{{}}$ có 12 giá trị nguyên của m cần tìm. Chọn A. A. 3 B. 1 C. 0 D. 2 Lời giải Ta có ${{9}^{{{x}^{2}}}}-{{2.3}^{{{x}^{2}}+1}}+3m-1=0\Leftrightarrow {{\left( {{3}^{{{x}^{2}}}} \right)}^{2}}-{{6.3}^{{{x}^{2}}}}+3m-1=0$ (*) Vì ${{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}}}\ge {{3}^{0}}=1$. Đặt $t={{3}^{{{x}^{2}}}}\ge 1$ nên phương trình (*) $\Leftrightarrow f\left( t \right)={{t}^{2}}-6t+3m-1=0$ Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow f\left( t \right)=0$ có nghiệm bằng 1; nghiệm còn lại khác 1. $\Leftrightarrow f\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow {{1}^{2}}-6.1+3m-1=0\Leftrightarrow 3m-6=0\Leftrightarrow m=2$. Chọn B. A. $m=2$ B. $m=8$ C. $m=4$ D. $m=6$ Lời giải Điều kiện: $-1\le x\le 1$. Xét $u\left( x \right)=1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}$, có ${u}'\left( x \right)=-\frac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}};{u}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{array} {} \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,u\left( x \right)=2 \\ {} \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,u\left( x \right)=1 \\ \end{array} \right.$. Đặt $t={{5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}\Rightarrow t\in \left[ 5;25 \right]$ nên phương trình $\Leftrightarrow {{t}^{2}}-\left( m+2 \right)t+2m+1=0\Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}-2t+1}{t-2}$. Do đó phương trình đã có nghiệm $\Leftrightarrow \underset{\left[ 5;25 \right]}{\mathop{\min f\left( t \right)}}\,\le m\le \underset{\left[ 5;25 \right]}{\mathop{\max f\left( t \right)}}\,\overset{{}}{\longleftrightarrow}\frac{16}{3}\le m\le \frac{576}{23}$. Suy ra số nguyên dương m lớn nhất là $m=6$. Chọn D. Cách CASIO. Cô lập m ta được $m=\frac{{{25}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-{{2.5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+1}{{{5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-2}$. Đặt $f\left( x \right)=\frac{{{25}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-{{2.5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+1}{{{5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-2}$. Khi đó phương trình $\Leftrightarrow f\left( x \right)=m$. Sử dụng MODE7 khảo sát hàm $f\left( x \right)$ với thiết lập Start $-1$, End 1, Step 0, 2. Quan sát bảng giá trị ta thấy $f\left( x \right)\ge f\left( 5 \right)=\frac{16}{3}$ hay $m\ge f\left( 5 \right)=\frac{16}{3}$. Vậy m nguyên dương bé nhất là 6. A. $P=4$ B. $P=-4$ C. $P=-\frac{3}{2}$ D. $P=\frac{5}{6}$ Lời giải Đặt $t={{4}^{x}}>0$. Phương trình trở thành $\underbrace{\left( m+1 \right){{t}^{2}}-2\left( 2m-3 \right)t+6m+5}_{f\left( t \right)}=0$ (*). Phương trình đã cho có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}<0<{{x}_{2}}{{4}^{{{x}_{1}}}}<{{4}^{0}}<{{4}^{{{x}_{2}}}}\xrightarrow{{}}{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}$. Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow $ (*) có hai nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ thỏa $0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m+1\ne 0 \\ {} \left( m+1 \right)f\left( 1 \right)<0 \\ {} \left( m+1 \right)f\left( 0 \right)>0 \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m+1\ne 0 \\ {} \left( m+1 \right)\left( 3m+12 \right)<0 \\ {} \left( m+1 \right)\left( 6m+5 \right)>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -4 ${{2}^{{{x}^{2}}+m\text{x}}}-{{2}^{2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m}}={{x}^{2}}+m\text{x}+m$ có hai nghiệm thực phân biệt? A. 9 B. 6 C. 16 D. 13 Lời giải Ta có ${{2}^{{{x}^{2}}+m\text{x}}}-{{2}^{2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m}}={{x}^{2}}+m\text{x}+m\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+m\text{x}}}-{{2}^{2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m}}=2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m-\left( {{x}^{2}}+m\text{x} \right)$ $\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+m\text{x}}}+{{x}^{2}}+m\text{x}={{2}^{2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m}}+2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}+m\text{x} \right)=f\left( 2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m \right)$ (*). Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t$ trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$, có ${f}'\left( t \right)={{2}^{t}}.\ln 2+1>0;\forall x\in \mathbb{R}$. Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$ nên (*) $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+m\text{x}=2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+m\text{x}+m=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta ={{m}^{2}}-4m>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m>4 \\ {} m<0 \\ \end{array} \right.$. Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{{}}$ có 16 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn C. A. 9 B. 18 C. 11 D. 15 Lời giải PT $\Leftrightarrow {{e}^{m.\sin x-\cos x}}+m.\sin x-\cos x={{e}^{2-2\cos x}}+2-2\cos x\Leftrightarrow f\left( m.\sin x-\cos x \right)=f\left( 2-2\cos x \right)$ Với $f\left( t \right)={{e}^{t}}+t$ là hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$ nên ta được $m.\sin x-\cos x=2-2\cos x$ $\Leftrightarrow m.\sin x+\cos x=2$ có nghiệm khi ${{m}^{2}}+{{1}^{2}}\ge {{2}^{2}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}\ge 3\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m\ge \sqrt{3} \\ {} m\le -\sqrt{3} \\ \end{array} \right.$. Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{{}}$ có 9 + 9 = 18 giá trị nguyên cần tìm. Chọn B. A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 Lời giải Ta có $\sqrt{m+\sqrt{m+{{e}^{x}}}}={{e}^{x}}\Leftrightarrow m+\sqrt{m+{{e}^{x}}}={{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{m+{{e}^{x}}} \right)}^{2}}+\sqrt{m+{{e}^{x}}}={{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}+{{e}^{x}}$ (*). Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}+t$ trên $\left( 0;+\infty \right)$, có ${f}'\left( t \right)=2t+1>0;\forall t>0$ Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ nên (*) $\Leftrightarrow f\left( \sqrt{m+{{e}^{x}}} \right)=f\left( {{e}^{x}} \right)$ $\Leftrightarrow \sqrt{m+{{e}^{x}}}={{e}^{x}}\Leftrightarrow m+{{e}^{x}}={{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow m={{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}-{{e}^{x}}\xrightarrow{a={{e}^{x}}>0}m=g\left( a \right)={{a}^{2}}-a$. Xét hàm số $g\left( a \right)={{a}^{2}}-a$ trên $\left( 0;+\infty \right)$, có ${g}'\left( a \right)=2\text{a}-1;{g}'\left( a \right)=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}$. Dựa vào BBT, ta thấy $m=g\left( a \right)$ có nghiệm thực dương $\Leftrightarrow m\ge g\left( \frac{1}{2} \right)=-\frac{1}{4}$. Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m<10\xrightarrow{{}}$ có 10 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn D. A. $0 Lời giải Đặt $t=\sqrt[4]{{{e}^{2\text{x}}}+1}$, vì ${{e}^{2\text{x}}}>0\xrightarrow{{}}t>1$. Suy ra ${{t}^{4}}={{e}^{2\text{x}}}+1\Leftrightarrow {{\left( {{e}^{\frac{x}{2}}} \right)}^{4}}={{t}^{4}}-1\Leftrightarrow {{e}^{\frac{x}{2}}}=\sqrt[4]{{{t}^{4}}-1}$. Khi đó phương trình đã cho trở thành $m+\sqrt[4]{{{t}^{4}}-1}=t\Leftrightarrow m=t-\sqrt[4]{{{t}^{4}}-1}$ (*) Xét hàm số $f\left( t \right)=t-\sqrt[4]{{{t}^{4}}-1}$ trên $\left( 1;+\infty \right)$, có ${f}'\left( t \right)=1-\frac{{{t}^{3}}}{\sqrt[4]{{{\left( {{t}^{4}}-1 \right)}^{3}}}}<0;\forall t>1$ Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$.
Lời giải Ta có ${{\left( \frac{2}{e} \right)}^{{{x}^{2}}+2m\text{x}+1}}\le {{\left( \frac{e}{2} \right)}^{2\text{x}-3m}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{2}{e} \right)}^{{{x}^{2}}+2m\text{x}+1}}\le {{\left( \frac{2}{e} \right)}^{3m-2\text{x}}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2m\text{x}+1\ge 3m-2\text{x}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2\left( m+1 \right)x-3m+1\ge 0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a=1>0 \\ {} {\Delta }'={{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( 1-3m \right)\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -5\le m\le 0$. Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}$ có 6 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn C.
Lời giải Đặt $t={{3}^{x}}>0$ thì bất phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-mt-m+3>0,\forall t>0$ $\Leftrightarrow m\left( t+1 \right)<{{t}^{2}}+3\Leftrightarrow m<\frac{{{t}^{2}}+3}{t+1}=f\left( t \right),\forall t\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow m<\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)$. Ta có ${f}'\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}+2t-3}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}};{f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} t>0 \\ {} {{t}^{2}}+2t-3=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow t=1$. Từ BBT, suy ra $m<\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=2$. Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m\in \mathbb{Z} \\ {} m\in \left[ -10;10 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow $ có 12 giá trị nguyên m. Chọn A.
Lời giải Đặt $t={{3}^{x}}>0$ thì bất phương trình trở thành: $3{{t}^{2}}-\left( m+3 \right)t-2m-6<0$ $\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-3t-6 Xét hàm số $f\left( t \right)=\frac{3{{t}^{2}}-3t-6}{t+2}$ trên $\left( 0;+\infty \right)$, có ${f}'\left( t \right)=\frac{3{{t}^{2}}+12t}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}}>0;\forall t>0$. Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow \min f\left( t \right)=-3$. Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m>\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=-3$. Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{{}}$ có 13 giá trị nguyên cần tìm. Chọn D.
Lời giải Bất phương trình $\Leftrightarrow 3m+\left( 3m+2 \right).{{\left( \frac{4-\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4+\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}>0$ (*). Ta có $\frac{4-\sqrt{7}}{3}.\frac{4+\sqrt{7}}{3}=1\Leftrightarrow {{\left( \frac{4-\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}={{\left( \frac{4+\sqrt{7}}{3} \right)}^{-x}}$ nên đặt $t={{\left( \frac{4+\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}\Rightarrow {{\left( \frac{4-\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}=\frac{1}{t}$. Khi đó (*) $\Leftrightarrow 3m+\frac{3m+2}{t}+t>0,\forall t\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow 3m>-\frac{{{t}^{2}}+2}{t+1},\forall t\in \left( 0;1 \right)$ Xét hàm số $f\left( t \right)=-\frac{{{t}^{2}}+2}{t+1}$ trên $\left( 0;1 \right)$, suy ra $\underset{\left( 0;1 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=f\left( \sqrt{3}-1 \right)=2-2\sqrt{3}$. Do đó $3m>f\left( t \right);\forall t\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow 3m>2-2\sqrt{3}\Leftrightarrow m>\frac{2-2\sqrt{3}}{3}$. Chọn B.
Lời giải Đặt $t={{\log }_{3}}x$ thì phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-\left( m+2 \right)t+3m-2=0$ (*) Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì (*) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a=1\ne 0 \\ {} \Delta ={{\left( m+2 \right)}^{2}}-4\left( 3m-2 \right)>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+12>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m>6 \\ {} m<2 \\ \end{array} \right.$. Ta có ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=9\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)=2\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{x}_{1}}+{{\log }_{3}}{{x}_{2}}=2\Leftrightarrow {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=2\Leftrightarrow m=0$ (thỏa mãn). Vậy $-1
Lời giải Ta có ${{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( m+6\text{x} \right)+{{\log }_{2}}\left( 3-2\text{x}-{{x}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3-2\text{x}-{{x}^{2}} \right)={{\log }_{2}}\left( m+6\text{x} \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 3-2\text{x}-{{x}^{2}}>0 \\ {} 3-2\text{x}-{{x}^{2}}=m+6\text{x} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -3 Xét hàm số $f\left( x \right)=-{{x}^{2}}-8\text{x}+3$ trên $\left( -3;1 \right)$, có ${f}'\left( x \right)=-2\text{x}-8<0;\forall x\in \left( -3;1 \right)$ Dựa vào BBT, để $m=f\left( x \right)$ có nghiệm thuộc $\left( -3;1 \right)\Leftrightarrow f\left( -3 \right) Kết hợp với m nguyên dương $\xrightarrow{{}}$ có 17 giá trị cần tìm. Chọn A. A. 11 B. 7 C. 16 D. 3 Lời giải Điều kiện: $x>-1$ Phương trình $\log \left( m\text{x} \right)=2\log \left( x+1 \right)\Leftrightarrow m\text{x}={{\left( x+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow m=\frac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{x}=x+\frac{1}{x}+2$. Xét hàm $f\left( x \right)=x+\frac{1}{x}+2$ trên $\left( -1;+\infty \right)$, có ${f}'\left( x \right)=1-\frac{1}{{{x}^{2}}};{f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-1 \\ {} x=1 \\ \end{array} \right.$. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=4 \\ {} m<0 \\ \end{array} \right.$ Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{{}}$ có 11 giá trị m nguyên. Chọn A. A. $\left( -\frac{25}{4};-6 \right]$ B. $\left( -\frac{25}{4};-6 \right)$ C. $\left( -\frac{25}{4};+\infty \right)$ D. $\left[ -\frac{25}{4};-6 \right]$ Lời giải BPT $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x+1>0;x-1>0 \\ {} {{\log }_{\sqrt{3}}}\frac{x+1}{x-1}>{{\log }_{\sqrt{3}}}2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x>1 \\ {} \frac{x+1}{x-1}>2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x>1 \\ {} x<\frac{3}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 1 Phương trình đã cho được viết lại thành: ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2\text{x}+5 \right)-\frac{m}{{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2\text{x}+5 \right)}=5$ Đặt $t={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2\text{x}+5 \right)$, ta được $t-\frac{m}{t}=5\Leftrightarrow m=f\left( t \right)={{t}^{2}}-5t$. Với $1 Xét hàm số $f\left( t \right)$ trên khoảng $\left( 2;3 \right)$, để $m=f\left( t \right)$ có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow -\frac{25}{4} A. 5 B. 18 C. 11 D. 9 Lời giải Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x>-1 \\ {} {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x>-1 \\ {} x+1\ne {{3}^{0}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x>-1 \\ {} x\ne 0 \\ \end{array} \right.$. Xét hàm số $f\left( x \right)=x-\frac{2}{{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)}$ trên khoảng $D=\left( -1;+\infty \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$. Ta có ${f}'\left( x \right)=1-\frac{2.{{\left[ {{\log }_{3}}\left( x+1 \right) \right]}^{\prime }}}{\log _{3}^{2}\left( x+1 \right)}=1+\frac{2}{\ln 3.\left( x+1 \right).\log _{3}^{2}\left( x+1 \right)}>0,\forall x\in D$. Do đó, hàm số đa cho đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -1;0 \right)$ và $\left( 0;+\infty \right)$. Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình $f\left( x \right)=m$ có 2 nghiệm $\Leftrightarrow m>-1$. Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{{}}$ có 11 giá trị m nguyên. Chọn C. A. $-5$ B. 0 C. $-10$ D. $-20$ Lời giải Phương trình $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( m\text{x}-6{{\text{x}}^{3}} \right)={{\log }_{2}}\left( -14{{\text{x}}^{2}}+29\text{x}-2 \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -14{{\text{x}}^{2}}+29\text{x}-2>0 \\ {} m\text{x}-6{{\text{x}}^{3}}=-14{{\text{x}}^{2}}+29\text{x}-2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \frac{1}{14} Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ (*) có ba nghiệm phân biệt $x\in \left( \frac{1}{14};2 \right)$. Xét hàm số $f\left( x \right)=6{{\text{x}}^{2}}-14\text{x}+29-\frac{2}{x}$ trên khoảng $\left( \frac{1}{14};2 \right)$. Ta có ${f}'\left( x \right)=12\text{x}-14+\frac{2}{{{x}^{2}}}=\frac{12{{\text{x}}^{3}}-14{{\text{x}}^{2}}+2}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.$ (do $\frac{1}{14} Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt khi $19 Vậy $m\in \left( 19;\frac{39}{2} \right)\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{array} {} a=19 \\ {} b=\frac{39}{2} \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}P=a-2b=19-2.\frac{39}{2}=-20$. Chọn D. A. 2022 B. 2021 C. 2016 D. 2015 Lời giải Phương trình $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\frac{2{{\text{x}}^{2}}-x+m}{{{x}^{2}}+1}=3\left( {{x}^{2}}+1 \right)-\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)+1$ $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)-{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)=3\left( {{x}^{2}}+1 \right)-\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)+1$ $\Leftrightarrow 2{{\text{x}}^{2}}-x+m+{{\log }_{3}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)=3{{\text{x}}^{2}}+3+{{\log }_{3}}\left( 3{{\text{x}}^{2}}+3 \right)$ (*). Xét hàm số $f\left( t \right)=t+{{\log }_{3}}t$ trên $\left( 0;+\infty \right)$, có ${f}'\left( t \right)=1+\frac{1}{t.\ln 3}>0;\forall t>0$. Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ nên (*) $\Leftrightarrow f\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+m \right)=f\left( 3{{\text{x}}^{2}}+3 \right)$ $\Leftrightarrow 2{{\text{x}}^{2}}-x+m=3{{\text{x}}^{2}}+3\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-m+3=0$ có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow 1.\left( 3-m \right)<0\Leftrightarrow m>3$. Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -2018;2018 \right]\xrightarrow{{}}$ có 2015 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn D. ${{\log }_{4}}\left( {{2}^{2\text{x}}}+{{2}^{x+2}}+{{2}^{2}} \right)={{\log }_{2}}\left| m-2 \right|$ vô nghiệm. Giá trị của S bằng A. $S=8$ B. $S=10$ C. $S=12$ D. $S=6$ . Lời giải Điều kiện: $m\ne 2$. Phương trình đã cho $\Leftrightarrow {{\log }_{4}}\left[ {{\left( {{2}^{x}}+2 \right)}^{2}} \right]={{\log }_{2}}\left| m-2 \right|$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}+2 \right)={{\log }_{2}}\left| m-2 \right|\Leftrightarrow {{2}^{x}}+2=\left| m-2 \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{2}^{x}}+2=m-2 \\ {} {{2}^{x}}+2=2-m \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{2}^{x}}=m-4 \\ {} {{2}^{x}}=-m \\ \end{array} \right.$ Để phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m-4\le 0 \\ {} -m\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\le 4 \\ {} m\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 0\le m\le 4$ Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}m=\left\{ 0;1;2;3;4 \right\}$. Vậy $S=\sum{m}=10$. Chọn B. A. $m=2$ B. $m=-2$ C. $m=\sqrt{2}$ D. $m=0$ Lời giải Điều kiện: $x>0$. Vì phương trình có nghiệm nhỏ hơn 1 nên suy ra $0 Đặt ${{\log }_{\sqrt{3}}}x=t$, với $0 Phương trình đã cho trở thành: ${{t}^{2}}-mt+1=0\Leftrightarrow m=f\left( t \right)=t+\frac{1}{t}$ Xét hàm số $f\left( t \right)=t+\frac{1}{t}$ trên $\left( -\infty ;0 \right)$, có ${f}'\left( t \right)=1-\frac{1}{{{t}^{2}}};{f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=-1$. Dựa vào BBT, yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m=f\left( t \right)$ có nghiệm duy nhất $t<0\Leftrightarrow m=-2$. Chọn B. $\left( m-1 \right)\log _{\frac{1}{2}}^{2}\left( x-2 \right)-\left( m-5 \right){{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( x-2 \right)+m-1=0$ có nghiệm thuộc $\left( 2;4 \right)$. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. $m\in \left( -5;-\frac{5}{2} \right)$ B. $m\in \left( -1;\frac{4}{3} \right)$ C. $m\in \left( 2;\frac{10}{3} \right)$ D. Không tồn tại m. Lời giải Đặt $t={{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( x-2 \right)$, do $2 Phương trình đã cho trở thành: $\left( m-1 \right){{t}^{2}}-\left( m-5 \right)t+m-1=0\Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}-5t+1}{{{t}^{2}}-t+1}$ Xét hàm số $f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-5t+1}{{{t}^{2}}-t+1}$ trên $\left( -1;+\infty \right)$, có ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=1$. Dựa vào BBT, ta thấy phương trình có nghiệm $-3\le m<\frac{7}{3}\Rightarrow {{m}_{0}}=-3$. Chọn A. A. $m<0$ B. $-1 Lời giải Điều kiện: ${{4}^{x}}-1>0\Leftrightarrow x>0$. Đặt $t={{4}^{x}}$, với $x>0\xrightarrow{{}}t>1$. Phương trình đã cho trở thành: $m={{\log }_{2}}\frac{t-1}{t+1}$ (*). Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}\frac{t-1}{t+1}$ trên $\left( 1;+\infty \right)$, có ${f}'\left( t \right)=\frac{2}{\left( {{t}^{2}}-1 \right)\ln 2}>0,\forall t>1$. Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow m<0$. Chọn A. A. ${{S}_{\min }}=30$ B. ${{S}_{\min }}=25$ C. ${{S}_{\min }}=33$ D. ${{S}_{\min }}=17$ Lời giải Phương trình $\left\{ \begin{array} {} a{{\ln }^{2}}x+b\ln \text{x}+5=0 \\ {} 5{{\log }^{2}}x+b\log \text{x}+a=0 \\ \end{array} \right.$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta ={{b}^{2}}-20\text{a}>0$. Theo hệ thức Vi-ét, ta có $\left\{ \begin{array} {} \ln {{\text{x}}_{1}}+\ln {{\text{x}}_{2}}=-\frac{b}{a} \\ {} \log {{x}_{3}}+\log {{x}_{4}}=-\frac{b}{5} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \ln \left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)=-\frac{b}{a} \\ {} \log \left( {{x}_{3}}{{x}_{4}} \right)=-\frac{b}{5} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{e}^{-\frac{b}{a}}} \\ {} {{x}_{3}}{{x}_{4}}={{10}^{-\frac{b}{5}}} \\ \end{array} \right.$. Mặt khác ${{x}_{1}}{{x}_{2}}>{{x}_{3}}{{x}_{4}}\Leftrightarrow {{e}^{-\frac{b}{a}}}>{{10}^{-\frac{b}{5}}}\Leftrightarrow \ln {{e}^{-\frac{b}{a}}}>\ln {{10}^{-\frac{b}{5}}}\Leftrightarrow -\frac{b}{a}>-\frac{b}{5}.ln10\Leftrightarrow a>\frac{5}{\ln 10}$. Vì a, b là hai số nguyên dương suy ra $a\ge 3\Rightarrow {{a}_{\min }}=3$ và ${{b}^{2}}>20\text{a}>60\Rightarrow {{b}_{\min }}=8$. Vậy ${{S}_{\min }}=2{{\text{a}}_{\min }}+3{{b}_{\min }}=2.3+3.8=30$. Chọn A. A. 20 B. 19 C. 9 D. 21 Lời giải Điều kiện: $x>m$. Phương trình $\Leftrightarrow {{5}^{x}}+x=x-m+{{\log }_{5}}\left( x-m \right)$ $\Leftrightarrow {{5}^{x}}+x={{5}^{{{\log }_{5}}\left( x-m \right)}}+{{\log }_{5}}\left( x-m \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=f\left[ {{\log }_{5}}\left( x-m \right) \right]$ $\Leftrightarrow x={{\log }_{5}}\left( x-m \right)\Leftrightarrow {{5}^{x}}=x-m\Leftrightarrow m=x-{{5}^{x}}=g\left( x \right)$. Xét hàm số $g\left( x \right)=x-{{5}^{x}}$ trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$, có ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=-{{\log }_{5}}\left( \ln 5 \right)$ Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left( -20;20 \right)\xrightarrow{{}}$ có 19 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn B. A. 11 B. 3 C. 8 D. 16 Lời giải Bất phương trình $\Leftrightarrow 4{{\left( {{\log }_{2}}\sqrt{x} \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}x+m\ge 0\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{2}}x \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}x+m\ge 0$ (*) Đặt $t={{\log }_{2}}x$ với $\text{x}\in \left( 1;64 \right)\xrightarrow{{}}t\in \left( 0;6 \right)$, khi đó (*) $\Leftrightarrow m\ge f\left( t \right)=-{{t}^{2}}-t;\forall t\in \left( 0;6 \right)$. Xét hàm số $f\left( t \right)=-{{t}^{2}}-t$ trên $\left( 0;6 \right)$, có ${f}'\left( t \right)=-2t-1<0;\forall t\in \left( 0;6 \right)$. Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số nghịch biến trên $\left( 0;6 \right)\xrightarrow{{}}\underset{\left( 0;6 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=f\left( 0 \right)=0$. Do đó $m\ge f\left( t \right);\forall t\in \left( 0;6 \right)\Leftrightarrow m\ge 0$. Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m\in \mathbb{Z} \\ {} -10\le m\le 10 \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}$ có 11 giá trị nguyên cần tìm. Chọn A. $\log _{2}^{2}\left( 2\text{x} \right)-2\left( m+1 \right){{\log }_{2}}x-2<0$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( \sqrt{2};+\infty \right)$? A. Vô số B. 17 C. 3 D. 10 Lời giải Bất phương trình $\Leftrightarrow {{\left( 1+{{\log }_{2}}x \right)}^{2}}-2\left( m+1 \right){{\log }_{2}}x-2<0$ (*) Đặt $t={{\log }_{2}}x$. Vì $x>\sqrt{2}$ nên ${{\log }_{2}}x>{{\log }_{2}}\sqrt{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow t>\frac{1}{2}$. Khi đó (*) $\Leftrightarrow {{\left( 1+t \right)}^{2}}-2\left( m+1 \right)t-2<0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2mt-1<0$ $\Leftrightarrow m>f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-1}{2t};\forall t\in \left( \frac{1}{2};+\infty \right)\Leftrightarrow m>\underset{\left( \frac{1}{2};+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)$ Xét hàm số $f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-1}{2t}$ trên $\left( \frac{1}{2};+\infty \right)$, có ${f}'\left( t \right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2{{t}^{2}}}>0$; Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( \frac{1}{2};+\infty \right)$ nên $m>\underset{\left( \frac{1}{2};+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{3}{4}$. Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{{}}$ có 10 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn D. A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 Lời giải Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{x}^{2}}+ax+1>0 \\ {} 2{{x}^{2}}+3>{{x}^{2}}+ax+1 \\ \end{array} \right.;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} f\left( x \right)={{x}^{2}}+ax+1>0 \\ {} g\left( x \right)={{x}^{2}}-ax+2>0 \\ \end{array} \right.;\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{\Delta }_{f\left( x \right)}}<0 \\ {} {{\Delta }_{g\left( x \right)}}<0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{a}^{2}}-4<0 \\ {} {{a}^{2}}-8<0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4<0\Leftrightarrow \left( a-2 \right)\left( a+2 \right)<0\Leftrightarrow -2
Kết hợp với $a\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}a=\left\{ -1;0;1 \right\}$ là các giá trị cần tìm. Chọn D. A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 Lời giải Ta có $1+{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{5}}\left( m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m \right)\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( 5{{\text{x}}^{2}}+5 \right)\ge {{\log }_{5}}\left( m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m \right)$ Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m>0 \\ {} 5{{\text{x}}^{2}}+5\ge m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m \\ \end{array} \right.;\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} f\left( x \right)=m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m>0;\forall x\in \mathbb{R}(1) \\ {} g\left( x \right)=\left( m-5 \right){{x}^{2}}+4\text{x}+m-5\le 0;\forall z\in \mathbb{R}(2) \\ \end{array} \right.$ Giải (1), ta có $f\left( x \right)>0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a=m>0 \\ {} {\Delta }'={{2}^{2}}-{{m}^{2}}<0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m>2$. Giải (2), ta có $g\left( x \right)\le 0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a=m-5<0 \\ {} {\Delta }'=4-{{\left( m-5 \right)}^{2}}\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\le 3$. Khi đó $2 A. $m<1$ B. $m\le 1$ C. $m<\frac{2}{3}$ D. $m<0$ Lời giải Điều kiện: $x>0$. Đặt $t={{\log }_{2}}x$, với $x>0$ suy ra $t\in \left( -\infty ;+\infty \right)$. Phương trình đã cho trở thành ${{t}^{2}}-2t+3m-2<0\Leftrightarrow 3m<-{{t}^{2}}+2t+2$ (*). Để bất phương trình (*) có nghiệm $\Leftrightarrow 3m Ta có $-{{t}^{2}}+2t+2=3-{{\left( t-1 \right)}^{2}}\le 3,\forall t\in \mathbb{R}$ suy ra $M=3$ (2) Từ (1), (2) suy ra $3m<3\Leftrightarrow m<1$ là giá trị cần tìm. Chọn A. A. $\left[ \frac{1}{\sqrt{\ln 2}};+\infty \right)$ B. $\left[ \frac{9}{2}-{{\log }_{2}}3;+\infty \right)$ C. $\left[ \frac{1}{2};+\infty \right)$ D. $\left[ \frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right);+\infty \right)$. Lời giải Bất phương trình $\Leftrightarrow m\ge \frac{1}{2}{{x}^{2}}-{{\log }_{2}}x=f\left( x \right)\Rightarrow m\ge \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)$ Ta có ${f}'\left( x \right)=x-\frac{1}{x\ln 2}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x-\frac{1}{x\ln 2}=0\Leftrightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{\ln 2}}$. Tính $\left\{ \begin{array} {} f\left( 1 \right)=\frac{1}{2} \\ {} f\left( \frac{1}{\sqrt{\ln 2}} \right)=\frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right) \\ {} f\left( 3 \right)=\frac{9}{2}-{{\log }_{2}}3 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( \frac{1}{\sqrt{\ln 2}} \right)=\frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right)$ Suy ra $m\ge \frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right)\Leftrightarrow m\in \left[ \frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right);+\infty \right)$. Chọn D. . |