10 cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc
10 cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong mặt phẳng các em có thể sử dụng một trong 10 cách dưới đây.
1. Hai đường thẳng đó cắt nhau và tạo ra một góc 90.
2. Hai đường thẳng đó chứa hai tia phân giác của hai góc kề bù.
Tính chất: Góc tạo bởi hai tia phân giác của 2 góc kề bù bằng 90 [Hình học Lớp 6]
3. Hai đường thẳng đó chứa hai cạnh của tam giác vuông.
4. Tính chất từ vuông góc đến song song : Có một đường thẳng thứ 3 vừa song song với đường thẳng thứ nhất vừa vuông góc với đường thẳng thứ hai.
5. Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng.
Tính chất : Mọi điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
6. Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác.
7. Sử dụng tính chất đường phân giác, trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân.
8. Hai đường thẳng đó chứa hai đường chéo của hình vuông, hình thoi.
9. Sử dụng tính chất đường kính và dây cung trong đường tròn.
10. Sử dụng tính chất tiếp tuyến trong đường tròn
Bài viết gợi ý:
10 cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc
10 cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong mặt phẳng các em có thể sử dụng một trong 10 cách dưới đây.
1. Hai đường thẳng đó cắt nhau và tạo ra một góc 90.
2. Hai đường thẳng đó chứa hai tia phân giác của hai góc kề bù.
Tính chất: Góc tạo bởi hai tia phân giác của 2 góc kề bù bằng 90 [Hình học Lớp 6]
3. Hai đường thẳng đó chứa hai cạnh của tam giác vuông.
4. Tính chất từ vuông góc đến song song : Có một đường thẳng thứ 3 vừa song song với đường thẳng thứ nhất vừa vuông góc với đường thẳng thứ hai.
5. Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng.
Tính chất : Mọi điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
6. Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác.
7. Sử dụng tính chất đường phân giác, trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân.
8. Hai đường thẳng đó chứa hai đường chéo của hình vuông, hình thoi.
9. Sử dụng tính chất đường kính và dây cung trong đường tròn.
10. Sử dụng tính chất tiếp tuyến trong đường tròn
Bài viết gợi ý:
Với Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập hai đường thẳng vuông góc từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.
Tải xuống
+ Ta thường sử dụng các kiến thức về số đo của góc có đỉnh bên trong và bên ngoài đường tròn, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung để chứng minh các góc bằng nhau.
- Các góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung
- Tính số đo góc cụ thể
+ Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách:
- Chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng bằng 90o
- Từ song song đến vuông góc
- Đường trung trực, đường cao,…
Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi P, Q, R lần lượt là giao điểm của các tia phân giác trong góc A, B, C với đường tròn. Chứng minh: AP ⊥ QR
Hướng dẫn giải
Ta có: [ vì AP là tia phân giác của góc ]
Mà lần lượt là các góc nội tiếp chắn cung và .
Tương tự
Gọi S là giao điểm của AP và QR. Khi đó:
là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung và .
Vì
⇒ AP ⊥ QR
Vậy ⊥ QR
Ví dụ 2 : Các điểm A1,A2,A3,….A19,A20 được sắp xếp theo thứ tự đó trên đường tròn [O] và chia đường tròn thành 20 cung bằng nhau.Chứng minh rằng dây A1A8 vuông góc với dây A3A16
Hướng dẫn giải
Gọi giao điểm của A1A8 và A3A16 là M.
Vì đường tròn được chia thành 20 cung bằng nhau nên số đo của mỗi cung là :
360o : 20 = 18o
Ta có: và
Vì là góc có đỉnh bên trong đường tròn [O] nên:
Suy ra A1A8 ⊥ A3A16
Vậy dây A1A8 vuông góc với dây A3A16.
Ví dụ 3 : Qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn [O] vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng BN và CM cắt nhau tại một điểm S nằm bên tròn đường tròn.
Chứng minh .
Hướng dẫn giải
Góc là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn [O] chắn hai cung NC và BM
Góc là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn [O] chắn hai cung NC và BM
[1]
Ta có là góc nội tiếp chắn cung
[2]
Từ [1] và [2] suy ra .
Ví dụ 4 : A, B, C là ba điểm thuộc đường tròn [O] sao cho tiếp tuyến tại A cắt tia BC tại D.Tia phân giác của góc [BAC] cắt đường tròn ở M, tia phân giác của góc D cắt AM ở I. Chứng minh DI ⊥ AM.
Hướng dẫn giải
Ta có [AM là tia phân giác của ]
Gọi N là giao điểm của BD và AM
Ta có: [góc có đỉnh năm bên trong đường tròn chắn hai cung ]
Ta lại có: [góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung AM]
Suy ra tam giác AND cân tại D
Tam giác AND cân tại D có DI là tia phân giác nên DI cũng là đường cao
Suy ra: DI ⊥ AM hay DI ⊥ AM
Ví dụ 5 : Cho đường tròn tâm O và dây cung AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với AB [D thuộc cung nhỏ AB]. Trên cung BC nhỏ, lấy điểm N. Các đường thẳng CN, DN cắt AB lần lượt tại E,F. Tiếp tuyến tại N của [O] cắt AB tại I. Chứng minh
a] Tam giác IEN, IFN cân
b]
Hướng dẫn giải
a] Ta có: [ góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây cung chắn cung ND]
[góc có đỉnh nằm ở bên trong đường tròn]
⇒ ΔIFN cân tại I
+ Gọi H là giao của CD và AB
Xét tam giác vuông EHC, có:
Ta lại có: [hai góc phụ nhau]
Mà [góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung ]
Suy ra ⇒ ΔIEN cân tại I.
b] Từ a ta có: IN = IF = IE
AE + AF = AF + IE + IF + AF = AF + IF + IF + AF = 2AI
⇒ .
Câu 1 : Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây AB bất kỳ. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. E và F là hai điểm bất kỳ trên dây AB. Gọi C và D tương ứng là giao điểm của ME, MF của đường tròn [O]. Tính tổng
A. 360o
B. 180o
C. 270o
D. 90o
Hướng dẫn giải
Đáp án B
Ta có M là điểm chính giữa cung nhỏ AB
[1]
[góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn chắn hai cung và ]
[góc nội tiếp chắn cung MD]
Câu 2 : Trên đường tròn [O; R] đặt liên tiếp các dây cung: AB = BC = CD < R. AB cắt CD tại E. Tiếp tuyến tại B và D với đường tròn [O] cắt nhau tại F. Biểu thức nào dưới đây đúng:
Hướng dẫn giải
Đáp án A
Ta có: [góc có đỉnh năm bên ngoài đường tròn chắn hai cung AD và BC] [1]
[góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn chắn cung AD ]
Mà AB = CB = CD ⇒
Từ [1] và [2]⇒
Ta có: là góc nội tiếp chắn cung CD
là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung lần lượt chắn các cung
Mà
Mà [hai góc đối đỉnh]
Xét ΔEBC và ΔFBD , ta có:
⇒ ΔEBC ∼ ΔFBD [g - g]
Câu 3 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là điểm tùy ý trên nửa đường tròn.Tiếp tuyến của [O] tại A cắt tia BC tại D.Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại M và cung BC tại N. ΔDAM là tam giác gì?
A.Tam giác vuông
B.Tam giác vuông cân
C.Tam giác cân
D.Tam giác đều
Hướng dẫn giải
Đáp án C
Vì AM là phân giác của
Ta có: [ góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung AC, BN]
Ta lại có: [ góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung AN]
cân tại D.
Câu 4 : Trên đường tròn [O] lấy ba cung liên tiếp AB = BC = CD sao cho số đo của chúng đều bằng 45o .Gọi I là giao điểm của hai tia AB và DC, H là giao điểm của hai dây AC và BD. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.ΔIBC là tam giác vuông
B.ΔIBC là tam giác cân
C. ΔIBC là tam giác vuông cân
D. A,B,C đều đúng
Hướng dẫn giải
Đáp án C
Ta có AB = BC = CD
là góc nội tiếp chắn
là góc nội tiếp chắn
[hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau]
⇒ ΔIAD cân tại I ⇒ IA = ID
Mà AB = CD
⇒ IB = IC ⇒ ΔIBC cân tại I
Ta lại có [ góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn chắn cung AD, BC]
Mặt khác [vì ]
⇒ ΔIBC vuông cân.
Câu 5 : Cho tam giác đều ABC nội tiếp trog đường tròn tâm O; M là một điểm trên cung nhỏ AC [M khác A và C] sao cho .Góc giữa hai đường thẳng AC và BM là:
A.45
B.60
C.65
D.90
Hướng dẫn giải
Đáp án D
Gọi giao điểm của BM và AC là H
Ta có: [ góc nội tiếp chắn cung MC]
Ta lại có: ΔABC đều
[ góc nội tiếp chắn cung AB]
.