ddDDFFHHCCAAEEMMBBOVũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HPChuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC CHỨNG MINH ĐIỂM CỐ ĐỊNH A/ CƠ SỞ LÝ LUẬN:* Trong chương trình hình học lớp 9, có một số bài toán chứng minh đường thẳng hoặc đường tròn đi qua điểm cố định. Những bài toán hình học chứng minh đi qua điểm cố định là những bài toán khó. Các bài toán dạng này thường được để bồi dưỡng thi học sinh giỏi. * Trong các bài toán chứng minh đi qua điểm cố định, dựa vào kiến thức của tứ giác nội tiếp đường tròn để giải.* Kiến thức về tứ giác nội tiếp đường tròn là kiến thức trọng tâm của chương trình hình học lớp 9. * Chuyên đề được sử dụng cho học sinh lớp 9, bồi dưỡng học sinh giỏi. Tuy vậy đối với học sinh khá cũng có thể tiếp cận và làm được.B/ NỘI DUNG ĐỀ TÀI:I/ CÁC BƯỚC CỦA PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐI QUA ĐIỂMCỐ ĐỊNH.+ Bước 1: Xác định rõ các yếu tố cố định đã biết.+ Bước 2: Xác định tứ giác nội tiếp liên quan đến điểm cố định.+ Bước 3: Chứng minh đường thẳng hoặc đường tròn đi qua điểm cố định.II/ CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH.Bài 1. Cho đường tròn [O] bán kính R và một đường thẳng d cắt [O] tại C, D. Một điểm M di động trên d sao cho MC > MD và ở ngoài đường tròn [O]. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB [A, B là tiếp điểm]. Chứng minh đường thẳng AB đi qua điểm cố định.Giải: Gọi H là trung điểm CD và giao điểm của AB với MO, OH lần lượt là E, F. Có tam giác OBM vuông tại B, đường cao BESuy ra OE. OM = OB2 = R2 [1]Có 0FHM FEM 90= =Suy ra tứ giác MEHF nội tiếpCó hai tam giác vuông OHM và OEF đồng dạngSuy ra OH OM OE.OMOFOE OF OH= =� [2]Từ [1] và [2] suy ra 2ROFOH=Do đường tròn [O], đường thẳng d cho trước, nên OH không đổi. Suy ra OF không đổi, điểm F cố định.Do đó đường thẳng AB đi qua điểm F cố định.Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HPTrang 1HO2O1ONFEDCBAMMOOPPQQIICCBBKKDDA* Nhận xét: + Do đường thẳng OH cho trước, nên dự đoán AB cắt OH tại điểm cố định+ Vận dụng tứ giác nội tiếp để khẳng định đường thẳng đi qua 1 điểm cố định+ Vận dụng hệ thức luợng trong tam giác vuông để giải.+ Bài toán vẫn đúng trong trường hợp điểm M nằm trên tia đối của tia CD. Khi đó đường thẳng AB vẫn đi qua điểm F cố định. Bài 2. Cho đoạn thẳng AC cố định, điểm B cố định nằm giữa A và C. Đường tròn [O] thay đổi luôn đi qua A và B. Gọi PQ là đường kính của đường tròn [O], PQ vuông góc AB, [P thuộc cung lớn AB]. Gọi CP cắt đường tròn [O] tại điểm thứ hai I. Chứng minh QI luôn đi qua một điểm cố định khi đường tròn [O] thay đổi. Giải: Gọi IQ cắt AB tại K. Ta có tứ giác PDKI nội tiếp Tam giác CIK đồng dạng tam giác CDPSuy ra CI CKCI.CP CD.CKCD CP= =� [1]Có hai tam giác CIB và CAP đồng dạngSuy ra CI CACI.CP CA.CBCB CP= =� [2]Từ [1] và [2] suy ra CK.CD CA.CB=CA.CBCKCD=�Do A, B, C cố định nên CA, CB, CD không đổi [D là trung điểm AB]Khi đó độ dài CK không đổi; nên K cố định. Suy ra IQ luôn đi qua điểm K cố định.* Nhận xét:+ Do điểm A, B, C cố định, nên dự đoán đường thẳng IQ cắt AB tại điểm cố định+ Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp. Dựa vào tứ giác nội tiếp, tam giác đồng dạng ta chứng minh đường thẳng đã cho đi qua 1 điểm cố định.Bài 3. Cho đường tròn tâm O và hai điểm A, B cố định thuộc đường tròn đó [AB không phải là đường kính]. Gọi M là trung điểm của cung nhỏ kAB.Trên đoạn AB lấy hai điểm C, D phân biệt và không nằm trên đường tròn. Các đường thẳng MC, MD cắt đường tròn đã cho tương ứng tại E, F khác M 1] Chứng minh rằng bốn điểm C, D, E, F nằm trên một đường tròn. 2] Gọi O1, O2 tương ứng là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE và BDF. Chứng minh rằng khi C, D thay đổi trên đoạn AB các đường thẳng AO1 và BO2 luôn cắt nhau tại một điểm cố định.Giải: 1] Xét trường hợp C nằm giữa A và DCó C1MCB2=[sđ [MB +sđ sAE].]1MFE2=[sđ [MA + sđ AE] Mà sđ MMB = sđ MAMMMMCB MFE=Có CMCB = BCE = 1800 Suy ra SBCE+ +MFE = 1800 Có CBCE, ,MFE là 2 góc đối của tứ giác CDFE Trang 2Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HPSSOODDCCOO22EEOO11BBASuy ra tứ giác CDFE nội tiếp * Xét trường hợp D nằm giữa A và C. Ta cũng chứng minh được C, D, F, E cùng nằm trên một đường tròn.Vậy C, D, F, E cùng nằm trên một đường tròn. 2] Hạ O1H⊥AC , có O1A = O1C C∆O1AC cân tại O1 O1H vừa là tia phân giác H1AO CAA1AO C = 2. 1AO HMà M1AO C = 2. AEC[góc ở tâm và góc nội tiếp.......][[1AO H = AEC. Mà .AEC = MAB[........] Suy ra [1AO H = MABXét ∆AO1H vuông tại H HH1AO H + 1HAO = 90000MAB + 1HAO = 900 1MAO = 900Do đó MA là tiếp tuyến của [O1]. Kéo dài AO1 cắt [O] tại NSuy ra SMON = 2. MAN = 2. 900 = 18000M, O, N thẳng hàng, có MN ⊥AB. Suy ra N là điểm chính giữa cung lớn AABLập luận tương tự BO2 đi qua N là điểm chính giữa cung lớn đAB.Do đó AO1, BO2 đi qua N là điểm chính giữa cung lớn AB.Lập luận tương tự D nằm giữa A và C thì AO1 và BO2 cũng đi qua N Vậy AO1 , BO2 luôn đi qua 1 điểm cố định .* Nhận xét: + Đường tròn [O] cho trước, nên dự đoán AO1 đi qua điểm chính giữa cung lớn AB+ Vận dụng tứ giác nội tiếp, ta chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua 1 điểm cố định, là điểm chính giữa của một cung.Bài 4. Cho tam giác ABC và điểm D di chuyển trên cạnh BC [D khác B và C]Đường tròn [O1] đi qua D và tiếp xúc AB tại B. Đường tròn [O2] đi qua D và tiếp xúc AC tại C. Gọi E là giao điểm thứ hai của [O1] và [O2]a] Chứng minh rằng khi D di động trên đoạn BC thì đường thẳng ED luôn đi qua một điểm cố địnhb] Kết quả trên còn đúng không trong trường hợp D di động ở ngoài đoạn BC.Giải: a] Gọi [O] là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCCó CCCCABC BED; ACB CED= =. Suy ra 0BAC BED CED BAC ABC ACB 180+ + = + + =Do đó tứ giác ABEC nội tiếp Gọi DE cắt đường tròn [O] tại điểm thứ hai S.Từ TTABC BED;=nên hai cung AC và SB bằng nhauDo đó S là điểm cố định.b] Trường hợp điểm D nằm ngoài đoạn BC.Chẳng hạn D nằm trên tia đối tia CB.[trường hợp D thuộc tia đối tia BC chứng minh tương tự]. Ta chứng minh được bốn điểmA, B, C, E cùng nằm trên đường tròn [O]. Gọi DE cắt [O] tại điểm thứ hai STrang 3Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HPyySSOODDCCOO22EEOO11BBAAxxCCHHIINNMMyyBBAKẻ tia Cy là tia đối của tia CA.Khi đó trong đường tròn [O2] ta có]] ]]CED DCy; DCy ACB= =Suy ra SSCED ACB= [không đổi]Suy ra SS0SEC 180 CED= -[không đổi]Nên góc SEC không đổiVậy điểm S cố định.* Nhận xét:+ Chứng minh được A, B, C, E cùng nằm trên đường tròn+ Đường thẳng DE đi qua điểm cố định Svà S không là điểm chính giữa của một cung khác với bài toán 3Bài 5. Cho góc vuông xAy, điểm B cố định trên Ay, điểm C di chuyển trên Ax. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC, BC theo thứ tự ở M, N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.Giải:Gọi H là giao điểm của AI với MN.Từ CM = CN, nên tam giác CMNcân tại C. Suy ra SS01CNM 90 .C2= -Do đó DD01BNH 90 .C2= +Do I là giao điểm các đường phângiác trong của tam giác ABC,nên nn01BIA 90 .C2= +Do đó DDBIA BNH=. Suy ra tứ giác BIHN nội tiếp.Lại có L L0 0BNI 90 BHI 90= =�. Do đó tam giác ABH vuông tại H,lại có l0BAH 45=. Suy ra tam giác ABH vuông cân tại HDo A, B cố định, nên điểm H cố định.Vậy MN luôn đi qua điểm H cố định.* Nhận xét:+ Chứng minh tứ giác BIHN nội tiếp, dựa vào tứ giác nội tiếp để chứng minh MN đi qua điểm cố định+ Trường hợp tổng quát +xAy = a thì tam giác ABH vuông tại H, AB cho trước, BAH2a=. Suy ra điểm H cố định.Bài 6. Cho đường tròn tâm O, dây AB. Điểm M di chuyển trên cung lớn AB. Các đường cao AE, BF của tam giác ABM cắt nhau ở H. Đường tròn tâm H bán kính HM cắt MA, MB theo thứ tự ở C, D. a] Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ M vuông góc với CD luôn đi qua một điểm cố định.Trang 4Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HP11xxHHFFEEDDCCKKBBOOAAMM11111111IIOONNDDHHMMCCKKEEFFBBAb] Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ H và vuông góc với CD cũng đi qua một điểm cố định.Giải: a] Kẻ tiếp tuyến Mx với đường tròn [O]Ta có TT1M MAB= [góc nội tiếp và góc tạo bởi…]Có tứ giác ABEF nội tiếp đường trònđường kính AB, nên đđMEF MAB=Do đó DD1MEF M=, suy ra Mx//EF.Do đó OM^EFTa có H là tâm đường tròn ngoại tiếp tamgiác MCD, HE ^ MD, nên E là trung điểm MDTương tự F là trung điểm MCSuy ra EF là đường trung bình tam giác MCDDo đó EF//CD, mà OM^EFSuy ra OM^ CD. Do đó điểm cố định là O.b] Gọi K là điểm đối xứng với O qua AB, ta có OK^AB, mà MH^ AB. Suy ra MH//OK. Lại có trong tam giác khoảng cách từ trực tâm tam giác đến đỉnh bằng 2 lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh tương ứng. Do đó MH = OKVậy tứ giác MHKO là hình bình hành. Suy ra HK//OM, mà OM^ CD, nên HK^CD. Vậy đường thẳng kẻ từ H vuông góc CD đi qua điểm K.Do O, AB cho trước, nên K là điểm cố định.* Nhận xét:+ Trong phần a] dựa vào tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn, dự đoán đường thẳng đã cho đi qua điểm O cố định.+ Trong phần b] dựa vào tính chất trong tam giác khoảng cách từ trực tâm tam giác đến đỉnh bằng 2 lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh tương ứng. Bài 7. Cho tam giác ABC, M là điểm bất kì thuộc đường tròn [O] ngoại tiếp tam giác ấy. Gọi D là điểm đối xứng với M qua AB, E là điểm đối xứng với M qua BC. Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên đường tròn [O] thì DE luôn đi qua một điểm cố định. Giải:Gọi H, I, K theo thứ tự là chân các đườngvuông góc kẻ từ M đến AB, AC, BCTa có H, I, K thẳng hàng [đường thẳng Xim- xơn].Gọi N là trực tâm của tam giác ABC.AN cắt [O] tại F. Ta có AABCN BCF=, suy ra BC là trung trực NF, mà BC là trung trựccủa ME. Suy ra ...1 1E F N= =Có CC1 1F C=[góc nội tiếp]. Có [[1 1K C=[tứ giác MCKI nội tiếp]Suy ra SS1K E=, do đó NE//HKChứng minh tương tự có ND//HKTrang 5Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HP
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Tải xuống
+ Chứng minh các điểm cùng cách đều một điểm O một khoảng bằng R. Khi đó các điểm đó sẽ thuộc đường tròn tâm O, bán kính R.
+ Sử dụng cung chứa góc: Chứng minh các điểm liên tiếp cùng nhìn một đoạn AB cố định dưới một góc α bằng nhau. Hay chính là các điểm đó cùng thuộc một cung chứa góc α dựng trên đoạn AB, nên các điểm đó cùng thuộc một đường tròn chứa cung chứa góc α dựng trên đoạn AB.
Ví dụ 1 : Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A = 60o. Gọi H là giao điểm của các đường cao BB' và CC'. Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải
+ Xét trên đường tròn [O]:
+ Tứ giác AC’HB’ có:
Mà
+ Do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Suy ra BI, CI lần lượt là các tia phân giác của
Xét tam giác IBC, ta có:
Từ [1], [2] và [3]
Do đó, H, I và O cùng nhìn BC cố định dưới một góc 120o.
Suy ra, H, I và O thuộc cung chứa góc 120o dựng trên đoạn BC.
⇒ B, O, I, H, C cùng thuộc đường tròn chứa cung 120o dựng trên đoạn BC.
Ví dụ 2 : Cho nửa đường tròn đường kính AB trên đó lấy hai điểm D và E [ E nằm giữa A và D]. AD cắt BE tại I, AE cắt BD tại F.
a. Chứng minh IF ⊥ AB tại J
b. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, AF, IF. Chứng minh 4 điểm J, P, Q, R cùng nằm trên một đường tròn.
Hướng dẫn giải
a. Ta có D, E thuộc đường tròn đường kính AB
⇒
⇒ AD, BE là đường cao của tam giác AFB
Mà BE giao AD tại I
⇒ I là trực tâm của tam giác AFB
⇒ IF là đường cao của tam giác AFB
⇒ IF ⊥ AB tại J [đpcm]
b. ΔPJR vuông tại J [IJ ⊥ AB] ⇒
P, Q là trung điểm của AB và BF ⇒ PQ là đường trung bình của ΔABF
⇒ PQ // BF
Mà AD BF
⇒ AD ⊥ PQ
R, Q là trung điểm IF và BF ⇒ RQ là đường trung bình của ΔIFA
⇒ RQ // AD
Mà AD ⊥ PQ
⇒ RQ ⊥ PQ
⇒
⇒ Q nằm trên đường tròn đường kính PR [**]
Từ [*] và [**] suy ra bốn điểm P, Q, R, J cùng nằm trên đường tròn đường kính PR.
Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm D. Hình chiếu của D lên BC là E, điểm đối xứng của E qua BD là F. Chứng minh 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.
Hướng dẫn giải
ΔBAD có góc A bằng 90o A nằm trên đường tròn đường kính BD.
ΔBED có góc E bằng 90o [E là hình chiếu của D lên BC] ⇒ E nằm trên đường tròn đường kính BD.
F đối xứng với E qua BD nên F cũng nằm trên đường tròn đường kính BD [tính chất đối xứng của đường tròn].
Vây 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên đường tròn đường kính BD tâm O là trung điểm của BD.
Ví dụ 4 : Cho hình vuông ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Qua O vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau cắt các cạnh AB, BC, CD, DA lần ượt tại M, N, P, Q. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải
+ Xét ΔAMO và ΔCPO , ta có:
OA = OC [tính chất hình vuông]
⇒ ΔAMO = ΔCPO [g – c – g]
⇒ OM = OP [hai cạnh tương ứng] [1]
+ Chứng minh tương tự với cặp ΔBNO và ΔDQO
⇒ ON = OQ [hai cạnh tương ứng] [2]
+ Xét ΔBNO và ΔCPO , ta có:
OB = OC [tính chất hình vuông]
⇒ ΔBNO = ΔCPO [g – c – g]
⇒ ON = OP [3]
+ Tứ giác MNPQ, có OM = OP, ON = OQ
⇒ MNPQ là hình bình hành [ theo dấu hiệu nhận biết]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: MP = QN
⇒ MNPQ là hình chữ nhật
⇒
Do đó M và P cùng thuộc đường tròn đường kính QN
Vậy M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn đường kính QN.
Ví dụ 5 : "Góc sút" của quả phạt đền 11 mét là bao nhiêu độ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là 7,32m. Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng "góc sút" như quả phạt đền 11 mét.
Hướng dẫn giải
Gọi vị trí đặt quả bóng để sút phạt đền là M, và bề ngang cầu môn là PQ thì M nằm trên đường trung trực của PQ.
Gọi H là trung điểm của PQ, ta có:
Gọi
Do M nằm trên đường trung trực của PQ nên MH vuông góc PQ.
Tam giác MPH vuông tại H, áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông ta có:
Vậy góc sút phạt đền là 2α ≈ 37o12’
+ Vẽ cung chứa góc 37o12’ dựng trên đoạn thẳng PQ. Bất cứ điểm nào trên cung vừa vẽ cũng có cùng “góc sút” như quả phạt đền 11m.
Câu 1 : Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AI, BK, CL cắt nhau tại H. Khi đó:
a. Bốn điểm A, B, K, H nằm trên một đường tròn
b. Bốn điểm B, L, K, H nằm trên một đường tròn
c. Bốn điểm B, C, K, L nằm trên một đường tròn
d. Bốn điểm A, C, L, H nằm trên một đường tròn
Hướng dẫn giải
Đáp án C
+ B, H, K cùng nằm trên một đường thẳng nên bốn điểm A, B, K, H không cùng nằm trên một đường tròn; bốn điểm B, L, K, H cùng không cùng nằm trên một đường tròn.
+ C, L, H cùng nằm trên một đường thẳng nên bốn điểm A, C, L, H không cùng nằm trên một đường tròn.
+ Ta có:
Suy ra K, L cùng thuộc đường tròn đường kính BC, nên bốn điểm B, C, L, K cùng nằm trên một đường tròn.
Câu 2 : Cho nửa đường tròn đường kính AB trên đó lấy hai điểm D và E [D nằm giữa A và E]. AD cắt BE tại I, AE cắt BD tại F, IF cắt AB tại J. Gọi P, Q, R, M và N lần lượt là trung điểm của AB, BF, IF, BI và IA. Khi đó 8 điểm Q, R, E, N, J, P, M , D cùng nằm trên đường tròn:
A. đường kính PR
B. đường kính DQ
C. đường kính SE
D. đường kính JR
Hướng dẫn giải
Đáp án A
+ Ta có: Ta có D, E thuộc đường tròn đường kính AB
⇒
⇒ AD, BE là đường cao của tam giác AFB
Mà BE giao AD tại I
⇒ I là trực tâm của tam giác AFB
⇒ IF là đường cao của tam giác AFB
⇒ IF ⊥ AB tại J [đpcm]
+ ΔPJR vuông tại J [IJ ⊥ AB] ⇒
P, Q là trung điểm của AB và BF ⇒ PQ là đường trung bình của ΔABF
⇒ PQ // BF
Mà AD ⊥ BF
⇒ AD ⊥ PQ
R, Q là trung điểm IF và BF ⇒ RQ là đường trung bình của ΔIFA
⇒ RQ // AD
Mà AD ⊥ PQ
⇒ RQ ⊥ PQ
⇒
⇒ Q nằm trên đường tròn đường kính PR [**]
Từ [*] và [**] suy ra bốn điểm P, Q, R, J cùng nằm trên đường tròn đường kính PR.
Mà 8 điểm Q, R, E, N, J, P, M , D cùng nằm trên đường tròn
Suy ra 8 điểm Q, R, E, N, J, P, M , D cùng nằm trên đường tròn đường kính PR.
Câu 3 : Cho hình thoi ABCD, đường trung trực của cạnh AB cắt BD tại E và cắt AC tại F. Khi đó.
A. E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
B. F là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
C. E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
D. F là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Hướng dẫn giải
Đáp án B
Vì ABCD là hình thoi
⇒ AC ⊥ BC , O là trung điểm của BD
Hay AC là đường trung trực của BD
Xét tam giác ABD, hai đường trung trực cắt nhau tại F
Do đó, F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Câu 4 : Cho nửa đường tròn đường kính AB trên đó lấy hai điểm D và E [ D nằm giữa A và E]. AD cắt BE tại I, AE cắt BD tại F, FI cắt AB tại J. Chọn phát biểu sai.
A. I, D, E, F cùng thuộc một đường tròn
B. I, D, B, J cùng thuộc một đường tròn
C. I, J, E, A cùng thuộc một đường tròn
D. I, J, F, D cùng thuộc một đường tròn
Hướng dẫn giải
Đáp án D
Vì I, J, F nằm trên cùng một đường thẳng nên bốn điểm I, J, F, D không cùng thuộc một đường tròn.
Câu 5 : Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm. Độ dài bán kính của đường tròn đi qua 4 điểm A, B, C, D bằng:
A. 5cm
B. 8cm
C. 6cm
D. 10cm
Hướng dẫn giải
Đáp án A
Vì ABCD là hình chữ nhật nên
⇒ A, C cùng thuộc đường tròn đường kính BD
⇒ A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính BD
Gọi O là trung điểm của BC.
Xét tam giác ABD vuông tại A, ta có:
BD2 = AB2 + BD2 = 82 + 62 = 100
⇒ DB = 10cm
⇒
Vậy bán kính đường tròn đi qua 4 điểm là 5 cm.
Câu 6 : Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn [O], kẻ cát tuyến MAB đi qua O và các tiếp tuyến MC, MD. Gọi K là giao điểm của AC và BD. Bốn điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn
A. B, C, M, K thuộc cùng một đường tròn.
B. D, M, A, B cùng thuộc một đường tròn.
C. M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.
D. D, M, C, A cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải
Đáp án A
Ta có tiếp tuyến tại C cắt tiếp tuyến tại D tại M. Khi đó:
MC = MD [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau]
⇒ M thuộc vào trung trực của CD
OC = OD = R
⇒ O thuộc vào trung trực của CD
Do đó, MO là đường trung trực của CD hay AB là đường trung trực của CD.
⇒
Suy ra
Mặt khác
Do đó :
⇒ Hai đỉnh liên tiếp B, C cùng nhin cạnh MK dưới góc bằng nhau
Nên B,C thuộc cùng một cung chứa góc dựng trên đoạn MK nên M, C, B, K cùng thuộc một đường tròn .
Câu 7 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với phân giác trong góc
A. M trung điểm của AB
B. N là trung điểm của BD
C. P là trung điểm của AC
D. Q là trung điểm của BC
Hướng dẫn giải
Đáp án D
Ta có :
⇒ A, D cùng thuộc đường tròn đường kính BC
Do đó bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm của BC.
Câu 8 : Lấy một điểm M nằm ngoài một đường tròn [O;R] sao cho
Hướng dẫn giải
Đáp án D
Ta có I là trung điểm của AB
⇒ OI ⊥ AB tại I
⇒
Ta lại có :
⇒
Suy ra P, Q, I cùng thuộc đường tròn đường kính OM, có tâm là trung điểm của OM
Do đó 5 điểm P, Q, I, O, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM, có bán kính bằng
Tải xuống
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có lời giải chi tiết hay khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
chuong-3-goc-voi-duong-tron.jsp