Cách chứng minh trực tâm lớp 8
Show
Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABCĐể chứng minh điểm G là trọng tâm của tam giác ABC thì ta dùng một trong 2 cách:
Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABCĐể chứng minh điểm H là trung trực của tam giác ABC thì ta:
Câu hỏi: Tính chất trực tâm của tam giác Lời giải: Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm, gọi là trực tâm của tam giác. Ta có tính chất: "Khoảng cách từ một đỉnh tới trực tâm của một tam giác bằng hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó đến trung điểm cạnh nối hai đỉnh còn lại". Trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông của nó. Tính chất: Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện của cạnh đó. Trực tâm của tam giác nhọn ABC trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh là chân ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh BC, AC, AB tương ứng. Cùng Top lời giải tìm hiểu thêm về trực tâm của tam giác nhé: 1. Khái niệm Trực tâmNếu trong một tam giác, có ba đường cao giao nhau tại một điểm thì điểm đó được gọi là trực tâm. Điều này không phải dựa vào mắt thường, mà dựa vào dấu hiệu nhận biết. + Đối với tam giác nhọn: Trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó + Đối với tam giác vuông: Trực tâm chình là đỉnh góc vuông + Đối với tam giác tù: Trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó 2. Cách xác định trực tâm của một số dạng hình họcĐối với mỗi loại tam giác sẽ có cách xác định trực tâm khác nhau: Tam giác nhọnthì trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó. Ví dụ: Tam giác nhọn ABC có trực tâm H nằm ở miền trong tam giác. Tam giác vuôngthì trực tâm chính là đỉnh góc vuông. Vídụ: Tam giác vuông EFG có trực tâm H trùng với góc vuông E. Tam giác tùthì trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó. Ví dụ: Tam giác tù BCD có trực tâm H nằm ở miền ngoài tam giác. 3. Bài tập về đường trực tâm tam giácBài 1: Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó. Bài làm Gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC. ⇒ AD ⟘ BC, BE⟘ AC, CF⟘ AB. ΔHBC có : AD⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC. BA⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC CA⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB. AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB. Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM và đường cao BK. Gọi H là giao điểm của AM và BK. Chứng minh rằng CH vuông góc với AB. Bài làm Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM cũng là đường cao của tam giác ABC. Ta có H là giao điểm của hai đường cao AM và BK nên H là trực tâm của tam giác ABC Suy ra CH là đường cao của tam giác ABC Vậy CH vuông góc với AB. Bài 3: Cho△ABC có các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC. a) Chứng minh:JT⊥EF b) Chứng minh: IE⊥JE c) Chứng minh: DA là tia phân giác của góc EDF. d) Gọi P;Q là hai điểm đối xứng của D qua AB và AC Chứng minh: P;F;E;Q thẳng hàng. Bài làm a) Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác vuông ta có: Vậy IJ là đường trung trực của EF c)Tứ giác BFHD và ABDE nội tiếp (đpcm) d) H là giao điểm 3 phân giác của tam giác EFD Góc PFB = BFD Góc DFH = EFH 4 góc này cộng lại = 2.90 =180 => P,E,F thẳng hàng Tương tự ta có F, E, Q thẳng hàng.
Tính chất trực tâm là chủ đề quan trọng trong kiến thức Toán học đối với các em học sinh. Vậy trực tâm của một tam giác là gì? Cách chứng minh tính chất trực tâm của tam giác? Tính chất trực tâm trong tam giác nhọn có gì đặc biệt? Các dạng toán liên quan đến trực tâm tam giác?… Trong phạm vi bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề tính chất trực tâm của tam giác cũng như những nội dung liên quan nhé! Đường cao của một tam giác là gì?Đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện được gọi là đường cao của tam giác đó, và mỗi tam giác sẽ có ba đường cao. Xem chi tiết >>> Đường cao là gì? Tính chất và Công thức tính đường cao trong tam giác Tính chất ba đường cao của tam giácBa đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác. Trong hình ảnh bên dưới, S là trực tâm của tam giác LMN.
***Hệ quả: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau. Trực tâm là gì? Tính chất trực tâm của tam giácBài 1: Cho hình sau đây
Cách giải:
\(LP \perp MN\) nên LP là đường cao \(MQ \perp NL\) nên MQ là đường cao mà \(PL\cap MQ = \left \{ S \right \}\) suy ra S là trực tâm của tam giác nên đường thằng SN chứa đường cao từ N hay \(NS \perp LM\) 2. \(\Delta NMQ\) vuông tại Q có: \(\widehat{LNP} = 50^{\circ}\) nên: \(\widehat{QMN} = 40^{\circ}\) \(\Delta MPS\) vuông tại Q có: \(\widehat{QMN} = 40^{\circ}\) nên: \(\widehat{MSP} = 50^{\circ}\) Suy ra \(\widehat{PSQ} = 130^{\circ}\) (kề bù) Bài 2: Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ta trực tâm của tam giác đó. Cách giải: Các đường thẳng HA, HB, HC lần lượt cắt cạnh đối BC, AC, AB tại N, M, E \(\Delta HBC\) có: \(HN \perp BC\) nên HN là đường cao \(BE \perp HC\) nên BE là đường cao \(CM \perp BH\) nên CM là đường cao Vậy A là trực tâm của \(\Delta HBC\) Bài 3: Cho đường tròn (O, R) , gọi BC là dây cung cố định của đường tròn và A là một điểm di động trên đường tròn. Tìm tập hợp trực tâm H của tam giác ABC. Cách giải: Vẽ đường kính \(BB_{1}\) Vì \(AB_{1} \parallel HC\) \(AH \parallel B_{1}C\) \(\Rightarrow AHCB_{1}\) là hình bình hành \(\Rightarrow \vec{AH} = \vec{B_{1}C}\) B, C cố định nên \(\vec{B_{1}C}\) không đổi. Như vậy, \(H = T_{\vec{B_{1}C}}(A)\) Suy ra tập hợp các điểm H là đường tròn \(C’ (O’,R’)\), chính là ảnh của đường tròn \(C (O,R)\) qua phép tịnh tiến \(T_{\vec{B_{1}C}}\). Bài 4: Cho △ABC có các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.
Cách giải:
\(FI = \frac{1}{2}AH = EI\) \(FJ = \frac{1}{2}BC = EJ\) Vậy IJ là đường trung trực của EF \(\Rightarrow IJ\perp EF\) 2. Ta có: \(\widehat{E_{1}} = \widehat{H_{1}} = \widehat{ECJ}\) \(\widehat{H_{1}} = \widehat{ECJ}\) (cùng phụ góc EAH) Vậy \(\widehat{E_{1}} = \widehat{E_{3}}\) \(\widehat{IEJ} = \widehat{E_{1}} + \widehat{E_{2}} = \widehat{E_{3}} + \widehat{E_{2}} = 90^{\circ}\) \(\Rightarrow IE \perp JE\) Trên đây, DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp kiến thức về chuyên đề tính chất trực tâm trong tam giác. Hy vọng những kiến thức trên hữu ích với bạn trong quá trình học tập. Nếu có bất cứ câu hỏi nào liên quan đến chủ đề tính chất trực tâm, đừng quên để lại nhận xét bên dưới để chúng mình cùng trao đổi thêm nhé! Nếu hay đừng quên share nha! Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây: (Nguồn: www.youtube.com)12 Please follow and like us:
|