1,$f\left[ x \right]\ge {{A}^{2}}+m\ge m$ $\Rightarrow f\left[ x \right]\ge m$ $\Rightarrow m=GTNN\,cua\,f\left[ x \right]$
2,$f\left[ x \right]=-{{A}^{2}}+m\le m$ $\Rightarrow f\left[ x \right]\le m$$\Rightarrow m=GTLN\,cua\,f\left[ x \right]$
3, $f\left[ x \right]=A+\frac{m}{B}$ cần lưu ý đánh giá B
4,${{\left[ a+b \right]}{2}}={{a}{2}}+2ab+{{b}^{2}}$
${{\left[ \sqrt{x}+1 \right]}{2}}={{\left[ \sqrt{x} \right]}{2}}+2\sqrt{x}+1$
${{\left[ a-b \right]}{2}}={{a}{2}}-2ab-{{b}^{2}}$
II, BÀI TẬP
VD: Tìm GTLN và GTNN của:
Giải
$P={{\left[ \sqrt{x} \right]}^{2}}-\sqrt{x}+1$
$=\left[ {{\left[ \sqrt{x} \right]}^{2}}-2.\sqrt{x}.\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \right]+\frac{3}{4}$
$={{\left[ \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right]}^{2}}+\frac{3}{4}$
Do ${{\left[ \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right]}^{2}}\ge 0$ nên $P\ge \frac{3}{4}$
Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$
Vây GTLN của $P=\frac{3}{4}$ khi $x=\frac{1}{4}$
VD: $Q=x+\sqrt{x}+1\left[ x\ge 0 \right]$
$Q={{\left[ \sqrt{x} \right]}^{2}}+2\sqrt{x}.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}$
$={{\left[ \sqrt{x}+\frac{1}{2} \right]}^{2}}+\frac{3}{4}$
Với $x\ge 0\Rightarrow {{\left[ \sqrt{x}+\frac{1}{2} \right]}^{2}}\ge \frac{1}{4}$
Vậy $Q\ge \frac{1}{4}+\frac{3}{4}$ => $Q\ge 1$
Dấu “=” xảy ra khi x=0
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q=1 khi x=0
VD: tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của $P=-x+\sqrt{x}$ với $x\ge 0$
$P=-x+\sqrt{x}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$
$=-\left[ {{\left[ \sqrt{x} \right]}{2}}-\sqrt{x}+\frac{1}{4} \right]+\frac{1}{4}$ $=-{{\left[ \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right]}{2}}+\frac{1}{4}$
Do ${{\left[ \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right]}^{2}}\ge 0\forall x\in \text{D}$
$\Rightarrow -{{\left[ \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right]}^{2}}\le 0$
$\Rightarrow P\le \frac{1}{4}$
Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$
Vậy GTLN của $P=\frac{1}{4}$ khi $x=\frac{1}{4}$
VD: Tìm GTLN hoặc GTNN của $A=\frac{3}{x-\sqrt{x}+2}\left[ x\ge 0 \right]$
Giải
Tử số không thay đổi,ta đánh giá mẫu số
$={{\left[ \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right]}^{2}}+\frac{7}{4}\ge \frac{7}{4}$
Dấu bằng xảy ra khi$\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0$ $x=\frac{1}{4}$
Vậy giá trị lớn nhất cuả A là $\frac{12}{17}$
VD: tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức $B=\frac{3\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+2}$ VỚI $x\ge 0$
$=\frac{\left[ 3\sqrt{x}+6 \right]+2}{\sqrt{x}+2}$
$=3+\frac{2}{\sqrt{x}+2}$
Do $x\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}+2\ge 2$ $\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{x}+2}\le 1$ $B=3+\frac{2}{\sqrt{x}+2}\le 4$
ĐK: \[1 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1 \Leftrightarrow \,x \in \left[ { - 1;1} \right]\]
+ TXĐ: \[D = \left[ { - 1;1} \right]\]
+ \[y' = \sqrt {1 - {x^2}} + x.\dfrac{{ - 2x}}{{x\sqrt {1 - {x^2}} }} = \sqrt {1 - {x^2}} - \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\]
Cho \[y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}} = \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\]
\[\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 1 - {x^2} = \,{x^2} \Leftrightarrow \,{x^2} = \dfrac{1}{2}\, \Leftrightarrow \,x = \pm \sqrt {\dfrac{1}{2}} \,\,\,\,\left[ {tm} \right]\]
Thay \[x = - 1\]vào \[f\left[ x \right]\] ta có \[f\left[ { - 1} \right] = 0.\]
Thay \[x = \left[ { - \sqrt {\dfrac{1}{2}} } \right]\] vào \[f\left[ x \right]\]ta có \[f\left[ { - \sqrt {\dfrac{1}{2}} } \right] = \dfrac{{ - 1}}{2}.\]
Thay \[x = \sqrt {\dfrac{1}{2}} \]vào \[f\left[ x \right]\]ta có \[f\left[ {\sqrt {\dfrac{1}{2}} } \right] = \dfrac{1}{2}.\]
Thay \[x = 1\]vào \[f\left[ x \right]\]ta có \[f\left[ 1 \right] = 0.\]
\[ \Rightarrow \mathop {\min y}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} = - \dfrac{1}{2};\mathop {\max y}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} = \dfrac{1}{2}.\]