Cách tìm điều kiện giải hệ phương trình

• « Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ
• Mục tiêu và Lý thuyếtDạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại sốDạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩnDạng 3: Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụDạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước

09:16:0116/12/2020

Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ là một trong những bài toán nâng cao hơn của dạng giải hệ phương trình bậc nhất với phương pháp cộng và phương pháp thế.

Khi giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách đặt ẩn phụ, chúng ta phải đặt ẩn phụ trước rồi mới vận dụng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế để giải hệ.

I. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách đặt ẩn phụ

* Phương pháp:

- Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

- Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

- Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt [sử dụng pp thế hoặc pp cộng đại số]

- Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ

* Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ

a] 

    b]  

* Lời giải:

a] Điều kiện: x, y ≠ 0 [mẫu số khác 0].

 Đặt: 

 ta có hệ ban đầu trở thành:

 

- trở lại ẩn ban đầu x và y ta có:

 ⇒ thỏa điều kiện, nên hệ có nghiệm duy nhất [1;1]

b] Điều kiện: x ≠ -1 và y ≠ 3 [mẫu số khác 0]

 Đặt: 

 ta có hệ ban đầu trở thành:

 Trở lại ẩn ban đầu x và y ta có: 

 

 

⇒ thỏa điều kiện, nên hệ có nghiệm duy nhất [-5/4;6]

II. Bài tập giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đặt ẩn phụ

* Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ

     

* Bài tập 2: Giải hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ

   

* Bài tập 3: Bằng cách đặt ẩn phụ giải hệ phương trình sau

     

* Bài tập 4: Bằng cách đặt ẩn phụ giải hệ phương trình sau

          

Như vậy, trong một số hệ với nhiều biểu thức hữu tỉ phức tạp, để giải được hệ chúng ta phải sử dụng cách đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bằng phương pháp cộng đại số hay phương pháp thế.

Các em cần làm nhiều bài tập phần này để có được kỹ năng nhận biết khi nào cần đặt ẩn phụ [lưu ý điều kiện của ẩn phụ nếu có] để giải hệ. Chúc các em học tốt.

Tags

Bài viết khác

• Cấu tạo và nguyên lý hoạt động của Máy phát điện xoay chiều - Vật lý 9 bài 34
• Thí nghiệm, Nguyên tắc, Cách tạo ra dòng điện xoay chiều - Vật lý 9 bài 33
• Tính chất vật lý, tính chất hóa học, cấu tạo phân tử của Axit Axetic CH3COOH và Ứng dụng - Hóa 9 bài 45
• Tính chất vật lý, Tính chất hóa học, Cấu tạo phân tử của Benzen C6H6 và Ứng dụng - Hóa 9 bài 39
• Tính chất vật lý, tính chất hóa học, cấu tạo phân tử Axetilen C2H2 và Ứng dụng - Hóa 9 bài 38
• Tính chất vật lý, Tính chất hóa học của Metan CH4 và Ứng dụng - Hóa 9 bài 36
• Tính chất vật lý, tính chất hóa học, cấu tạo phân tử của Etilen C2H4 và Ứng dụng - Hóa 9 bài 37
• Hóa trị của các nguyên tố trong hợp chất hữu cơ, công thức cấu tạo của hợp chất hữu cơ là gì? - Hóa 9 bài 35
• Tính chất vật lý, tính chất hóa học của Silic, Silic Đioxit và Công nghiệp Silicat - Hóa 9 bài 30
• Sự ăn mòn kim loại, những yếu tố ảnh hưởng và cách bảo vệ kim loại không bị ăn mòn - Hóa 9 bài 21

09:02:5416/12/2020

Việc giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số được khá nhiều bạn giải theo cách này so với việc giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế.

Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số như thế nào? Giải hệ bằng phương pháp này có ưu điểm gì so với phương pháp thế hay không? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này.

I. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

- Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R [a2 + b2 ≠ 0]

- Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng [d]:  ax + by = c

• Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì đường thẳng [d] là đồ thị hàm số :
• Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng [d] song song hoặc trùng với trục tung
• Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng [d] song song hoặc trùng với trục hoành

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

+ Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn: 

 , trong đó a, b, c, a’, b’, c’ ∈ R

+ Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

- Gọi [d]: ax + by = c, [d’]: a’x + b’y = c’, khi đó ta có:

• [d]//[d’] thì hệ vô nghiệm
• [d] cắt [d’] thì hệ có nghiệm duy nhất
• [d] ≡ [d’] thì hệ có vô số nghiệm

+ Hệ phương trình tương đương: Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

II. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số

1. Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp cộng đại số

a] Quy tắc cộng đại số

Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương gồm hai bước:

+ Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.

+ Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ [và giữ nguyên phương trình kia].

b] Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

+ Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp [nếu cần] sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

+ Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 [tức là phương trình một ẩn].

+ Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

* Ví dụ: Giải các hệ PT bậc nhất 2 ẩn sau bằng PP cộng đại số:

a] 

b] 

* Lời giải:

a] 

  [lấy PT[1] + PT[2]]

 

b] 

 [lấy PT[1] - PT[2]]

 

III. Bài tập giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số

* Bài 20 trang 19 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ PT sau bằng PP cộng đại số

a] 

     b] 

c] 

   d] 

e] 

* Lời giải:

a] 

  Lưu ý: Lấy PT[1]+PT[2]

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất [2;-3]

b] 

  Lưu ý: Lấy PT[1]-PT[2]

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất [2;-3]

c] 

  [Nhân 2 vế PT[2] với 2 để hệ số của x ở 2 PT bằng nhau]

 

  [lấy PT[1] - PT[2]]

 ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất [3;-2]

d] 

 [Nhân 2 vế PT[1] với 3, 2 vế PT[2] với 2]

  

  [Lấy PT[1]-PT[2]]

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất [-1;0]

e] 

 [Nhân 2 vế PT[1] với 5]

  

 [Lấy PT[1]-PT[2]]

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất [5;3]

Tóm lại, qua bài viết về giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số các em thấy, việc giải theo phương pháp này sẽ không làm phát sinh phân số như phương pháp thế, điều này giúp các em đỡ nhầm lẫn khi giải hệ.

Việc vận dụng phương pháp cộng đại số hay phương pháp thế để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn tùy thuộc vào em thành thạo phương pháp nào hơn. Tuy nhiên, như bài viết đã hướng dẫn, việc giải theo mỗi phương pháp sẽ có ưu và nhược điểm khác nhau. Nếu chịu khó rèn kỹ năng giải, các em sẽ vận dụng linh hoạt các phương pháp này cho từng bài toán, qua đó giải nhanh hơn và ít sai sót hơn.