Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số y x 1 x 2 2x+m 4 có tập xác định là R

1. Định lí về tính đồng biến nghịch biến

Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên khoảng [a;b]. Khi đó hàm số sẽ đồng biến và nghịch biến với:

- Hàm số y = f[x] đồng biến trên khoảng [a;b] khi và chỉ khi f’[x] ≥ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng [a;b]. Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

- Hàm số y = f[x] nghịch biến trên khoảng [a;b] khi và chỉ khi f’[x] ≤ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng [a;b]. Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

Một số trường hợp cụ thể chúng ta cần phải nhớ về điều kiện đơn điệu trên R:

Đối với hàm số đa thức bậc 1:

– Hàm số y = ax + b [a ≠ 0] đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi a > 0

– Hàm số y = ax + b [a ≠ 0] nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi a < 0

Đối với hàm số đa thức bậc 3:

Đây là dạng bài toán thường gặp đối với hàm số đa thức bậc 3, hơn 90% các bài viết đều áp dụng cho hàm số bậc 3. Nên ta sẽ áp dụng như sau:

Xét hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d⇒ y’ = 3ax2+ 2bx + c

– TH1: a = 0 [nếu có tham số]

– TH2: a ≠ 0

Hàm số đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R được.

Ví dụ 1:

Cho hàm số y = x³ + 2[m-1]x² + 3x -2. Tìm m để hàm đã cho đồng biến trên R.

Lời giải:

Để y = x³ + 2[m-1]x² + 3x - 2 đồng biến trên R thì [m-1]² - 3.3 ≤ 0⇔ -3 ≤ m - 1 ≤3 ⇔ -2 ≤ m ≤ 4.

Các bạn cầnlưu ývới hàm đa thức bậc 3 có chứa tham số ở hệ số bậc cao nhất thì chúng ta cần xét trường hợphàm số suy biến.

Ví dụ 2:

Cho hàm số y = mx³ -mx² - [m + 4 ]x + 2. Xác định m để hàm số đã cho nghịch biến trên R.

Lời giải:

Ta xét trường hợp hàm số suy biến. Khi m = 0, hàm số trở thành y = -x + 2. Đây là hàm bậc nhất nghịch biến trên R. Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với m ≠ 0, hàm số là hàm đa thức bậc 3. Do đó hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi m < 0 đồng thời m² + 3m[m+4] ≤ 0. Giải các điều kiện ra ta được -3 ≤ m