Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn log3(x+y)=log6(x^4+y^4)

Đáp án: $y\in\{0,1\}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$\log_3(x+2y)=\log_2(x^2+y^2)=t$

$\to \begin{cases} x+2y=3^t\\ x^2+y^2=2^t\end{cases}$

$\to \begin{cases} x+2y-3^t=0\\ x^2+y^2=2^t\end{cases}$

Để tồn tại $x,y\to $Đường thẳng $(d)x+2y-3^t=0$ và đường tròn $(C)x^2+y^2=2^t$ giao nhau

Ta có $I(0,0), R=\sqrt{2^t}$ là tâm và bán kính của $(C)$

$\to $Để $(d)\cap (C)\to d(I,d)\le R$

$\to \dfrac{|0+2\cdot 0-3^t|}{\sqrt{1^2+2^2}}\le \sqrt{2^t}$

$\to \dfrac{3^t}{\sqrt{5}}\le \sqrt{2^t}$

$\to 3^t\le \sqrt{5}\cdot \sqrt{2^t}$

$\to (3^t)^2\le 5\cdot 2^t$

$\to 3^{2t}\le 5\cdot 2^t$

$\to 9^{t}\le 5\cdot 2^t$

$\to (\dfrac{9}{2})^{t}\le 5$

$\to t\le \log_{\frac92}5$

$\to 2^t\le 2^{\log_{\frac92}5}$

Ta có:

$x^2+y^2=2^t$

$\to 0\le y^2\le 2^t\le 2^{\log_{\frac92}5}$ vì $y\in Z$

$\to 0\le y^2\le 2$

$\to y^2\in \{0,1\}$

$\to y\in\{0,-1,1\}$

Thử lại:

+) $y=0$

$\to \begin{cases} x=3^t\\ x^2=2^t\end{cases}$

$\to \begin{cases} x=3^t\\ (3^t)^2=2^t\to t=0\text{(chọn)}\end{cases}$

+) $y=-1$

$\to \begin{cases} x-2=3^t\\ x^2+1=2^t\end{cases}$

$\to \begin{cases} x=3^t+2\\ (3^t+2)^2+1=2^t\end{cases}$

$\to \begin{cases} x=3^t+2\\ 3^{2t}+4\cdot 3^t+4+1=2^t\end{cases}$

$\to \begin{cases} x=3^t+2\\ 9^{t}+4\cdot 3^t+5-2^t=0\end{cases}$

Ta có : $f(t)=9^{t}+4\cdot 3^t+5-2^t$

Nếu $t<0\to 2^t<5\to 5-2^t>0\to f(t)>0\to f(t)=0$ vô nghiệm

Nếu $t\ge 0\to 9^t\ge 2^t\to 9^t-2^t\ge 0\to f(t)>0\to f(t)=0$ vô nghiệm

$\to y=-1$ loại

Với $y=1$

$\to \begin{cases} x+2=3^t\\ x^2+1=2^t\end{cases}$

$\to (3^t-2)^2+1=2^t$

$\to 9^t-4\cdot 4^t+5-2^t=0$

Đặt $f(t)=9^t-4\cdot 4^t+5-2^t$

$\to f(0)\cdot f(1)=(9^0-4\cdot 4^0+5-2^0)(9^1-4\cdot 4^1+5-2^1)=-4<0$

$\to f(t)=0$ có nghiệm thuộc khoảng $(0,1)$

$\to y=1$ chọn