Có bao nhiêu tứ giác nội tiếp đường tròn trong hình vẽ sau

Định nghĩa:

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn [gọi tắt là tứ giác nội tiếp].

Định lý:

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối bằng \[180^{\circ}\].

Định lý đảo:

Phương pháp: Để chứng minh một tứ giác [tứ giác lồi] nội tiếp một đường tròn chúng ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

Xem thêm tại //hocbaionha.com/mod/wiki/view.php?id=1465

Dựa vào định nghĩa, chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm.

Cách 2.

Sử dụng định lý đảo, chứng minh tổng hai góc đối diện bằng .

Tức là, nếu ta có:

\[\widehat {BAD} + \widehat {BCD} = 180^{\circ}\] hoặc \[\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = 180^{\circ}\] thì tứ giác \[ABCD\] nội tiếp một đường tròn.

Dùng cung chứa góc \[\alpha \].

Xem thêm tại Cung chứa góc

Tức là, nếu ta có:

\[\widehat{ACB}=\widehat{ADB}\] và \[C,D\] cùng phía với \[AB\] thì tứ giác \[ABCD\] nội tiếp.

Ví dụ:

Cho tam giác\[ABC\], các đường cao \[BE\] và \[CF\] cắt nhau tại \[H\]. Gọi \[D\] là điểm đối xứng của \[H\] qua trung điểm \[M\] của \[BC\]. Chứng minh rằng:

a] Tứ giác \[ABDC\] nội tiếp được trong đường tròn.

b] Xác định tâm \[O\] của đường tròn nội tiếp \[ABDC\]

Giải 

Ta có hình vẽ:

Nhận xét rằng: tứ giác \[CDBH\] có hai đường chéo \[CB\] và \[DH\] cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình bình hành, suy ra:

\[CD||BH\] và \[BH \bot AC \Rightarrow CD\bot AC \Leftrightarrow \widehat{ACD}=90^{\circ}\];

\[BD||CH\] và \[CH \bot AB \Rightarrow BD\bot AB \Leftrightarrow \widehat{ABD}=90^{\circ}\];

Do đó \[\widehat{ACB}+\widehat{ABD}=90^{\circ}\], hay tứ giác \[ABCD\] nội tiếp đường tròn.

b] Gọi \[O\] là trung điểm \[AD\] khi đó, do tam giác \[\Delta ABD\] vuông tại \[B\] nên \[OA=OD=OB\].

Tương tự, \[OA=OD=OC\].

Do vậy \[O\] là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

c] Để chứng minh năm điểm thuộc cùng một đường tròn, ta có thể làm theo một trong hai cách sau 

Cách 1. Chứng minh năm điểm cùng cách đều một điểm, thường sử dụng trong các bài toán xuất hiện nhiều góc vuông.

Cách 2. Để chứng minh năm điểm \[A,\,B,\,C,\,D,\,E\] cùng thuộc một đường tròn ta có thể chỉ ra hai cặp \[4\] trong \[5\] điểm trên [Giả sử là \[A,\,B,\,C,\,D\] và \[A,\,B,\,D,\,E\]] cùng thuộc một đường tròn. Khi đó \[5\] điểm \[A,\,B,\,C,\,D,\,E\] cùng thuộc một đường tròn.

Trong tam giác \[\Delta ABC\] có \[BE\] và \[CF\] là đường cao cắt nhau tại \[H\].

Do đó \[\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^{\circ}\].

Xét \[[O]\] có \[\widehat{AID}\] là góc chắn nửa đường tròn nên \[\widehat{AID}=90^{\circ}\].

Một tứ giác có 4 đỉnh cùng nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn [gọi tắt là tứ giác nội tiếp].

Tứ giác \[ABCD\] trong hình trên nội tiếp đường tròn \[\left[O\right]\].

Ví dụ: Các tứ giác dưới đây không là tứ giác nội tiếp:

2. Định lí

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng \[180^0\].

Cụ thể: Cho tứ giác \[ABCD\] nội tiếp đường tròn \[\left[O\right]\]. Khi đó ta có:

\[\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180^0\\\widehat{BAC}+\widehat{BDC}=180^0\end{matrix}\right.\]

Ta dễ dàng chứng minh định lí trên như sau:

Ta có: \[\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BAD}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{BAD}\\\widehat{BCD}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{BCD}\end{matrix}\right.\] [tính chất góc nội tiếp]

\[\Rightarrow\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=\dfrac{1}{2}\left[sđ\stackrel\frown{BAD}+sđ\stackrel\frown{BCD}\right]=\dfrac{1}{2}.360^0=180^0\].

Hoàn toàn tương tự ta cũng có \[\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180^0\].

@59819@@59820@

Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng \[180^0\] thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.

Chứng minh:

Giả sử tứ giác \[ABCD\] có \[\widehat{B}+\widehat{D}=180^0\].

Vẽ đường tròn tâm \[O\] đi qua 3 điểm \[A,B,C\] [ta luôn vẽ được đường tròn này vì 3 điểm \[A,B,C\] không thẳng hàng].

Hai điểm \[A\] và \[C\] chia đường tròn \[\left[O\right]\] thành hai cung \[\stackrel\frown{ABC},\stackrel\frown{AmC}\]; trong đó cung \[AmC\] là cung chứa góc \[180^0-\widehat{B}\] dựng trên đoạn thẳng \[AC\].

Mặt khác: từ giả thiết suy ra \[\widehat{D}=180^0-\widehat{B}\]

\[\Rightarrow D\] nằm trên cung \[AmC\].

Vậy 4 điểm \[A,B,C,D\] cùng thuộc đường tròn \[\left[O\right]\] nên tứ giác \[ABCD\] là tứ giác nội tiếp.

@59821@

• Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \[180^0\].
• Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó. 
• Tứ giác có 4 đỉnh cùng cách đều một điểm [ta có thể xác định được]. Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
• Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc \[\alpha\].

Trên thực tế, dấu hiệu 1 và dấu hiệu 4 là hai dấu hiệu được sử dụng nhiều hơn cả.

@59822@@59823@