Tài liệu gồm 17 trang, trình bày lí thuyết trọng tâm và hướng dẫn giải các dạng bài tập chuyên đề hệ tọa độ trong không gian, giúp học sinh lớp 12 tham khảo khi học chương trình Hình học 12 chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz.
Mục tiêu:
Kiến thức:
+ Nắm vững định nghĩa hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian, các khái niệm về tọa độ điểm, tọa độ vectơ.
+ Nắm vững biểu thức tọa độ các phép toán vectơ và các tính chất.
+ Nắm vững biểu thức tọa độ của tích vô hướng, tích có hướng của hai vectơ và các ứng dụng.
+ Nắm vững được phương trình mặt cầu, điều kiện để một phương trình là phương trình mặt cầu.
Kĩ năng:
+ Biết tìm tọa độ của một điểm, một vectơ. Tính được tổng, hiệu các vectơ, tích của vectơ với một số. + Tính được tích vô hướng của hai vectơ và các ứng dụng: tính độ dài vectơ, tính khoảng cách giữa hai điểm, tính góc giữa hai vectơ. + Xác định được tích có hướng của hai vectơ và vận dụng làm được một số bài toán. + Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính.I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm tọa độ điểm, vectơ trong hệ trục Oxyz. Sử dụng các định nghĩa và khái niệm có liên quan đến điểm, vectơ: Tọa độ của điểm, vectơ; độ dài vectơ … và các phép toán vectơ … để tính tổng, hiệu các vectơ; tìm tọa độ trọng tâm tam giác.
Dạng 2: Tích có hướng và ứng dụng.
– Bài toán 1. Tìm vectơ tích có hướng. + Để tính tích có hướng của hai vectơ, ta áp dụng công thức. – Bài toán 2. Ứng dụng của tích có hướng để chứng minh tính đồng phẳng. + Ba vectơ a b c đồng phẳng. + Bốn điểm A, B, C, D tạo thành tứ diện. – Bài toán 3. Ứng dụng của tích có hướng để tính diện tích và thể tích. + Diện tích hình bình hành. + Tính diện tích tam giác.+ Tính thể tích hình hộp.
+ Tính thể tích tứ diện.Dạng 3: Phương trình mặt cầu.
Mặt cầu tâm I[a;b;c] và bán kính R có phương trình: [x – a]2 + [y – b]2 + [z – c]2 = R2.
Bài viết tổng hợp lý thuyết phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz, bao gồm các định nghĩa, tính chất và công thức thường sử dụng trong giải toán.
I. Tọa độ trong không gian.
1] Hệ trục tọa độ trong không gian $Oxyz$.
Hệ gồm ba trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.
Điểm $O$ gọi là gốc của hệ tọa độ, trục $Ox$ là trục hoành, $Oy$ là trục tung và $Oz$ là trục cao.
Véctơ đơn vị trên các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt là $\vec i$, $\vec j$, $\vec k$, ta có: $\left| {\vec i} \right| = \left| {\vec j} \right| = \left| {\vec k} \right| = 1$, $\vec i.\vec j = \vec j.\vec k = \vec k.\vec i = 0.$
Xét điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow {OM} = x.\vec i + y.\vec j + z.\vec k$ thì $M[x; y; z].$ Ngược lại điểm $M[x; y; z]$ thì $\overrightarrow {OM} = x.\vec i + y.\vec j + z.\vec k.$
Với véctơ $\overrightarrow u $ trong hệ tọa độ $Oxyz$ luôn tồn tại duy nhất bộ $[x; y; z]$ thỏa $\vec u = x.\vec i + y.\vec j + z.\vec k.$ Tọa độ $\overrightarrow u $ là $[x; y; z].$
2] Tọa độ véctơ – Tọa độ điểm. Cho $\overrightarrow a = [{x_1};{y_1};{z_1}]$, $\overrightarrow b = [{x_2};{y_2};{z_2}]$ và số thực $k.$ Khi đó: $\overrightarrow a \pm \overrightarrow b = [{x_1} \pm {x_2};{y_1} \pm {y_2}].$ $k\overrightarrow a = [k{x_1};k{y_1};k{z_1}].$ $\overrightarrow a //\overrightarrow b $ $ \Leftrightarrow \overrightarrow a = k\overrightarrow b $ $ \Leftrightarrow \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_1}}}{{{y_2}}} = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = k$ $ \Rightarrow \overrightarrow a = \overrightarrow b $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = {x_2}\\ {y_1} = {y_2}\\ {z_1} = {z_2} \end{array} \right.$
Chú ý: Nếu ${x_2} = 0$ $\left[ {{y_2} = 0, {z_2} = 0} \right]$ thì ${x_1} = 0$ $\left[ {{y_1} = 0,{z_1} = 0} \right].$
$\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .$ $\overrightarrow a .\overrightarrow b = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}.$ $\overrightarrow a \bot \overrightarrow b $ $ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2} = 0.$ $\cos [\overrightarrow a ,\overrightarrow b ] = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|}}.$ Cho $A = [{x_A};{y_A};{z_A}]$, $B = [{x_B};{y_B};{z_B}]$, $C[{x_C};{y_C};{z_C}]$, $D[{x_D};{y_D};{z_D}].$ Khi đó: $\overrightarrow {AB} = [{x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A};{z_B} – {z_A}].$ $AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|$ $ = \sqrt {{{[{x_B} – {x_A}]}^2} + {{[{y_B} – {y_A}]}^2} + {{[{z_B} – {z_A}]}^2}} .$ Trung điểm $I$ của đoạn $AB$: $I = \left[ {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right].$ Trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$: $G\left[ {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right].$Trọng tâm $G$ của tứ diện $ABCD$: $G\left[ {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}} \right].$
3] Tích có hướng của hai véc tơ và ứng dụng.
a] Định nghĩa: Cho $\overrightarrow a = \left[ {{x_1};{y_1};{z_1}} \right]$ và $\overrightarrow b = \left[ {{x_2};{y_2};{z_2}} \right]$, ta có:
$\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left[ {\left| \begin{array}{l}
{y_1}{\rm{ }}{z_1}\\
{y_2}{\rm{ }}{z_2}
\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}
{z_1}{\rm{ }}{x_1}\\
{z_2}{\rm{ }}{x_2}
\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}
{x_1}{\rm{ }}{y_1}\\
{x_2}{\rm{ }}{y_2}
\end{array} \right|} \right].$
b] Các tính chất: $\overrightarrow a $ cùng phương $\overrightarrow b $ $ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \overrightarrow 0 .$ $\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] \bot \overrightarrow a $ và $\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] \bot \overrightarrow b .$
$\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\sin [\overrightarrow a ,\overrightarrow b ].$
c] Các ứng dụng của tích có hướng: Diện tích tam giác: ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|.$ Thể tích: + Hình hộp ${V_{ABCD.A’B’C’D’}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA’} } \right|.$
+ Tứ diện ${V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|.$
d] Điều kiện 3 véctơ đồng phẳng: $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $, $\overrightarrow c $ đồng phẳng $ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right].\overrightarrow c = 0.$
$A$, $B$, $C$, $D$ đồng phẳng $ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 0.$
4] Phương trình mặt cầu. Mặt cầu $[S]$ tâm $I[a;b;c]$, bán kính $R$ có phương trình: ${[x – a]^2} + {[y – b]^2} + {[z – c]^2} = {R^2}.$ Phương trình này có thể được biểu diễn cách khác như sau: ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$, với $d = {a^2} + {b^2} + {c^2} – {R^2}$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} + {c^2} – d > 0\\ R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} – d}
\end{array} \right.$
II. Phương trình mặt phẳng.
1] Véctơ pháp tuyến.
a] Định nghĩa: Cho mặt phẳng $[\alpha ].$ Véctơ $\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 $ gọi là véctơ pháp tuyến [VTPT] của mặt phẳng $[\alpha ]$ nếu giá của $\overrightarrow n $ vuông góc với $[\alpha ]$, kí hiệu $\overrightarrow n \bot [\alpha ].$
b] Chú ý: Nếu $\overrightarrow n $ là VTPT của $[\alpha ]$ thì $k.\overrightarrow n $ $[k \ne 0]$ cũng là VTPT của $[\alpha ].$ Vậy mặt phẳng $[\alpha ]$ có vô số VTPT. Nếu hai véctơ $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $ [không cùng phương] có giá song song [hoặc nằm trên] $[\alpha ]$ thì $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]$ là một VTPT của mặt phẳng $[\alpha ].$
Nếu ba điểm $A$, $B$, $C$ phân biệt không thẳng hàng thì véctơ $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$ là một VTPT của mặt phẳng $\left[ {ABC} \right].$
2] Phương trình tổng quát của mặt phẳng. Cho mặt phẳng $[\alpha ]$ đi qua $M[{x_0};{y_0};{z_0}]$, có $\overrightarrow n = [A;B;C]$ là một VTPT. Khi đó phương trình tổng quát của $[\alpha ]$ có dạng: $A[x – {x_0}] + B[y – {y_0}] + C[z – {z_0}] = 0.$ Nếu $[\alpha ]$: $Ax + By + Cz + D = 0$ thì $\overrightarrow n = [A;B;C]$ là một VTPT của $[\alpha ].$
Nếu $A[a;0;0]$, $B[0;b;0]$, $C[0;0;c]$, $abc \ne 0$ thì phương trình của $[ABC]$ có dạng: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ và được gọi là phương trình theo đoạn chắn của $[\alpha ].$
3] Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. Cho hai mặt phẳng $[P]$: $Ax + By + Cz + D = 0$ và $[Q]$: $A’x + B’y + C’z + D’ = 0.$ $[P]$ cắt $[Q]$ $ \Leftrightarrow A:B:C \ne A’:B’:C’.$ $[P]//[Q]$ $ \Leftrightarrow \frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} \ne \frac{D}{{D’}}.$ $[P] \equiv [Q]$ $ \Leftrightarrow \frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} = \frac{D}{{D’}}.$
$[P] \bot [Q]$ $ \Leftrightarrow AA’ + BB’ + CC’ = 0.$
4] Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách từ $M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]$ đến mặt phẳng $[P]$: $Ax + By + Cz + D = 0$ là: $d[M,[P]] = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.$
III. Phương trình đường thẳng trong không gian.
1] Phương trình tham số của đường thẳng.
a] Véctơ chỉ phương của đường thẳng:
Cho đường thẳng $\Delta .$ Véctơ $\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 $ gọi là véctơ chỉ phương [VTCP] của đường thẳng $\Delta $ nếu giá của nó song song hoặc trùng với $\Delta .$
Chú ý:
Nếu $\overrightarrow u $ là VTCP của $\Delta $ thì $k.\overrightarrow u $ $[k \ne 0]$ cũng là VTCP của $\Delta .$ Nếu đường thẳng $\Delta $ đi qua hai điểm $A$ và $B$ thì $\overrightarrow {AB} $ là một VTCP của $\Delta .$Nếu $\Delta $ là giao tuyến của hai mặt phẳng $[P]$ và $[Q]$ thì $\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \overrightarrow {{u_\Delta }} $ là một VTCP của $\Delta $ [trong đó $\overrightarrow {{n_P}} $, $\overrightarrow {{n_Q}} $ lần lượt là VTPT của $[P]$ và $[Q].$
b] Phương trình tham số của đường thẳng: Cho đường thẳng $\Delta $ đi qua $M[{x_0};{y_0};{z_0}]$ và có VTCP $\overrightarrow u = [a;b;c].$ Khi đó phương trình đường thẳng $\Delta $ có dạng: $\left\{ \begin{array}{l} x = {x_0} + at\\ y = {y_0} + bt\\ z = {z_0} + ct \end{array} \right.$ $t \in R.$ Phương trình này gọi là phương trình tham số của đường thẳng $\Delta $, $t$ gọi là tham số.
Chú ý: Cho đường thẳng $\Delta $ có phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + at\\ y = {y_0} + bt\\ z = {z_0} + ct \end{array} \right.$ $t \in R$, khi đó: $\overrightarrow u = [a;b;c]$ là một VTCP của $\Delta .$$M \in \Delta $ $ \Leftrightarrow M[{x_0} + at;{y_0} + bt;{z_0} + ct].$
2] Phương trình chính tắc. Cho đường thẳng $\Delta $ đi qua $M[{x_0};{y_0};{z_0}]$ và có VTCP $\overrightarrow u = [a;b;c]$ với $abc \ne 0.$ Khi đó phương trình đường thẳng $\Delta $ có dạng: $\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}.$
Phương trình này gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta .$
3] Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng $d$: $\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}$ đi qua $M[{x_0};{y_0};{z_0}]$ có VTCP $\overrightarrow {{u_d}} = [a;b;c]$ và $d’$ $\frac{{x – x_0^,}}{{a’}} = \frac{{y – y_0^,}}{{b’}} = \frac{{z – z_0^,}}{{c’}}$ đi qua $M'[x_0^,;y_0^,;z_0^,]$ có VTCP $\overrightarrow {{u_{d’}}} = [a’;b’;c’].$ Nếu $[\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d’}}} ]\overrightarrow {MM’} = 0$ $ \Rightarrow d$ và $d’$ đồng phẳng. Khi đó xảy ra ba trường hợp: i] $d$ và $d’$ cắt nhau $ \Leftrightarrow [\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} ] \ne \overrightarrow 0 $ và tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{array}{l} \frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}\\ \frac{{x – x_0^,}}{{a’}} = \frac{{y – y_0^,}}{{b’}} = \frac{{z – z_0^,}}{{c’}} \end{array} \right.$ ii] $d//d’$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} [\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} ] = \overrightarrow 0 \\ [\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM’} ] \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.$ iii] $d \equiv d’$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} [\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} ] = \overrightarrow 0 \\ [\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM’} ] = \overrightarrow 0 \end{array} \right.$
Nếu $[\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} ]\overrightarrow {MM’} \ne 0$ $ \Rightarrow $ $d$ và $d’$ chéo nhau.
4] Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng. Cho mặt phẳng $[\alpha ]$: $Ax + By + Cz + D = 0$ có $\overrightarrow n = [A;B;C]$ là VTPT và đường thẳng $\Delta $: $\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}$ có $\overrightarrow u = [a;b;c]$ là VTCP và đi qua ${M_0}[{x_0};{y_0};{z_0}].$ $\Delta $ cắt $[\alpha ]$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow n $ và $\overrightarrow u $ không cùng phương $ \Leftrightarrow Aa + Bb + Cc \ne 0.$ Khi đó tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{array}{l} Ax + By + Cz + D = 0\\ \frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c} \end{array} \right.$ $\Delta //[\alpha ]$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow n \bot \overrightarrow u \\ {M_0} \notin [\alpha ] \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} Aa + Bb + Cc = 0\\ A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D \ne 0 \end{array} \right.$ $\Delta \subset [\alpha ]$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow n \bot \overrightarrow u \\ {M_0} \in [\alpha ] \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} Aa + Bb + Cc = 0\\ A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0 \end{array} \right.$
$\Delta \bot [\alpha ]$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow n $ và $\overrightarrow u $ cùng phương $ \Leftrightarrow \overrightarrow n = k.\overrightarrow u .$
5] Khoảng cách.
a] Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Cho đường thẳng $\Delta $ đi qua ${M_0}$, có VTCP $\overrightarrow u $ và điểm $M \notin \Delta .$ Khi đó để tính khoảng cách từ $M$ đến $\Delta $ ta có các cách sau:
+ Cách 1: Sử dụng công thức: $d[M,\Delta ] = \frac{{\left| {[\overrightarrow {{M_0}M} ,\overrightarrow u ]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} .$
+ Cách 2: Lập phương trình mặt phẳng $\left[ P \right]$ đi qua $M$ vuông góc với $\Delta .$ Tìm giao điểm $H$ của $[P]$ với $\Delta .$ Khi đó độ dài $MH$ là khoảng cách cần tìm.
b] Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Cho hai đường thẳng chéo nhau $\Delta $ đi qua ${M_0}$ có VTCP $\overrightarrow u $ và $\Delta’$ đi qua ${M_0}’$ có VTCP $\overrightarrow {u’} .$ Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng $\Delta $ và $\Delta’$ được tính theo các cách sau:
+ Cách 1: Sử dụng công thức: $d[\Delta ,\Delta’] = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right].\overrightarrow {{M_0}M{‘_0}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right]} \right|}}.$
+ Cách 2: Tìm đoạn vuông góc chung $MN.$ Khi đó độ dài $MN$ là khoảng cách cần tìm.
+ Cách 3: Lập phương trình $\left[ P \right]$ đi qua $\Delta $ và song song với $\Delta’ .$ Khi đó khoảng cách cần tìm là khoảng cách từ một điểm bất kì trên $\Delta’$ đến $[P].$
IV. Góc.
1] Góc giữa hai đường thẳng.
Cho hai đưòng thẳng $\Delta $ $\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}$ có VTCP $\overrightarrow u = [a;b;c]$ và đường thẳng $\Delta’$: $\frac{{x – {x_0}’}}{{a’}} = \frac{{y – {y_0}’}}{{b’}} = \frac{{z – {z_0}’}}{{c’}}$ có VTCP $\overrightarrow {u’} = [a’;b’;c’].$ Đặt $\alpha = \left[ {\Delta ,\Delta’} \right]$, khi đó: $\cos \alpha = \left| {\cos \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right]} \right|$ $ = \frac{{\left| {aa’ + bb’ + cc’} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{‘^2} + b{‘^2} + c{‘^2}} }}.$
2] Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Cho mặt phẳng $[\alpha ]$: $Ax + By + Cz + D = 0$ có $\overrightarrow n = \left[ {A;B;C} \right]$ là VTPT và đường thẳng $\Delta $: $\frac{{x – {x_o}}}{a} = \frac{{y – {y_o}}}{b} = \frac{{z – {z_o}}}{c}$ có $\overrightarrow u = [a;b;c]$ là VTCP. Gọi $\varphi $ là góc giữa mặt phẳng $[\alpha ]$ và đường thẳng $\Delta $, khi đó ta có: $\sin \varphi = \left| {\cos \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow u } \right]} \right|$ $ = \frac{{\left| {Aa + Bb + Cc} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}.$
3] Góc giữa hai mặt phẳng. Cho hai mặt phẳng $[\alpha ]$: $Ax + By + Cz + D = 0$ có VTPT $\overrightarrow {{n_1}} = [A;B;C]$ và $\beta ]$: $A’x + B’y + C’z + D’ = 0$ có VTPT $\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {A’;B’;C’} \right].$
Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng [${0^0} \le \varphi \le {90^0}$]. Khi đó: $\cos \varphi = \left| {\cos \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]} \right|$ $ = \frac{{\left| {AA’ + BB’ + CC’} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \sqrt {A{‘^2} + B{‘^2} + C{‘^2}} }}.$
- Kiến thức Tọa độ không gian Oxyz