| Bài tập 1: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác có cạnh huyền bằng $a\sqrt{6}$. Thể tích V của khối nón đã cho bằng A. $V=\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$ B. $V=\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$ C. $V=\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$ D. $V=\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Thiệt diện qua trục hình nón là tam giác cân SAB có cạnh bên SA = l, cạnh đáy AB = 2R
Theo bài ra, ta có $S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}\Leftrightarrow 2{{l}^{2}}=4{{R}^{2}}\Leftrightarrow l=R\sqrt{2}$
Mặt khác $AB=2R=a\sqrt{6}\Rightarrow R=a\sqrt{6}$suy ra $l=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\sqrt{2}=a\sqrt{3}$
Do đó $h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{R}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\to V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$
Chọn A.
| Bài tập 2: Thiết diện qua trục của hình nón [N] là tam giác vuông cân và có diện tích bằng a2. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng A. ${{S}_{xq}}=2\pi {{a}^{2}}$ B. ${{S}_{xq}}=\sqrt{2}\pi {{a}^{2}}$ C. ${{S}_{xq}}=4\pi {{a}^{2}}$ D. ${{S}_{xq}}=2\sqrt{2}\pi {{a}^{2}}$ |
Lời giải chi tiết
Thiết diện qua trục hình nón là tam giác cân SAB có cạnh bên SA = l, cạnh đáy AB =2R
Theo bài ra, tam giác SAB vuông $\Rightarrow SA\bot SB\Rightarrow {{S}_{\Delta SAB}}=\frac{S{{A}^{2}}}{2}=\frac{{{l}^{2}}}{2}={{a}^{2}}\Rightarrow l=a\sqrt{2}$
Do đó $l=R\sqrt{2}\Rightarrow R=\frac{l}{\sqrt{2}}=a$. Vậy diện tích cần tìm là ${{S}_{xq}}=\pi Rl=\sqrt{2}\pi {{a}^{2}}$. Chọn B.
| Bài tập 3: Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a. Thể tích của khối nón đã cho là A. $\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$ B. $\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$ C. $\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$ D. $\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$ |
Lời giải chi tiết
Theo bài ra, tam giác SAB đều cạnh a $\Rightarrow SA=SB=AB=a$
Do đó, chiều cao $SO=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, bán kính đáy $R=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$
Vậy thể tích cần tính là $V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{\pi }{3}.{{\left[ \frac{a}{2} \right]}^{2}}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$
Chọn C
| Bài tập 4: Cho hình nón [N] có bán kính đáy bằng 9 cm, góc giữa đường sinh và mặt đáy là 30o. Diện tích thiết diện qua trục của hình nón [N] bằng A. $9\sqrt{3}c{{m}^{2}}$ B. $18\sqrt{3}c{{m}^{2}}$ C. $6\sqrt{3}c{{m}^{2}}$ D. $27\sqrt{3}c{{m}^{2}}$ |
Lời giải chi tiết
Theo bài ra, tacó $AB=2R=18$ và $\widehat{SAO}={{30}^{o}}$
Tam giác SAO vuông tại O, có $SO=OA.\tan \widehat{SAO}=9.\tan {{30}^{o}}=3\sqrt{3}$
Thiết diện qua trục hình nón là tam giác cân SAB
Suy ra diện tích cần tính là ${{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}SO.AB=\frac{1}{2}.3\sqrt{3}.18=27\sqrt{3}c{{m}^{2}}$
Chọn D
| Bài tập 5: Thiết diện qua trục của hình nón [N] là tam giác có chu vi bằng 10 cm, diện tích bằng $2\sqrt{5}c{{m}^{2}}$. Tính thể tích khối nón [N], biết rằng bán kính là số nguyên dương. A. $\frac{2\sqrt{5}\pi }{3}c{{m}^{2}}$ B. $\frac{4\sqrt{5}\pi }{3}c{{m}^{2}}$ C. $\frac{8\sqrt{5}\pi }{3}c{{m}^{2}}$ D. $2\sqrt{5}\pi c{{m}^{2}}$ |
Lời giải chi tiết
Theo bài ra, ta có $\left\{ \begin{array} {} 2l+2R=10 \\ {} \frac{1}{2}h.2R=2\sqrt{5} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} l+R=5 \\ {} h.R=2\sqrt{5} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} l=5-R \\ {} R.\sqrt{{{l}^{2}}-{{R}^{2}}}=2\sqrt{5} \\ \end{array} \right.$
Do đó ${{R}^{2}}.\left[ \left[ 5-{{R}^{2}} \right]-{{R}^{2}} \right]=20\Leftrightarrow {{R}^{2}}\left[ 25-10R \right]=5\Leftrightarrow 10{{R}^{3}}-25{{R}^{2}}+20=0\Rightarrow R=2$
Suy ra $h=\sqrt{5}$ Vậy thể tích cần tính là $V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi {{.2}^{2}}.\sqrt{5}=\frac{4\sqrt{5}\pi }{3}c{{m}^{3}}$. Chọn B
| Bài tập 6: Hình nón [N] có đỉnh S, tâm đường tròn đáy là O, góc ở đỉnh bằng 120o. Một mặt phẳng qua S cắt hình nón [N] theo thiết diện là tam giác vuông SAB. Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO bằng 3. Tính diện tích xung quanh ${{S}_{xq}}$ của hình nón [N] A. ${{S}_{xq}}=18\sqrt{3}\pi $ B. ${{S}_{xq}}=9\sqrt{3}\pi $ C. ${{S}_{xq}}=36\sqrt{3}\pi $ D. ${{S}_{xq}}=27\sqrt{3}\pi $ |
Lời giải chi tiết
Vì góc ở đỉnh bằng ${{120}^{o}}\Rightarrow 2R=l\sqrt{3}\Rightarrow SA=\frac{2\sqrt{3}}{3}OA=\frac{2\sqrt{3}}{3}R$
Gọi H là trung điểm của AB$\Rightarrow OH\bot AB$ mà $SO\bot OH$
Suy ra OH là đoạn vuông góc chung của AB và SO => OH =3
Tam giác OAH vuông tại H, có $AH=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}-9}$
Tam giác SAB vuông tại S, có $S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2.{{\left[ \frac{2\sqrt{3}}{3}R \right]}^{2}}=4\left[ {{R}^{2}}-9 \right]\Leftrightarrow -\frac{4}{3}{{R}^{2}}=-36\Rightarrow R=3\sqrt{3}\Rightarrow l=6$
Vậy diện tích xung quanh cần tính là ${{S}_{xq}}=\pi Rl=18\sqrt{3}\pi $.
Chọn A.
| Bài tập 7: Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 60°, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng [SAB] bằng $\frac{R}{2}$. Đường cao h của hình nón bằng A. $R\sqrt{2}$ B. $\frac{R\sqrt{6}}{4}$ C. $\frac{R\sqrt{3}}{2}$ D. $R\sqrt{3}$ |
Lời giải chi tiết
Theo giả thiết, ta có tam giác OAB đều cạnh R
Gọi E là trung điểm AB, suy ra $OE\bot AB$và $OE=\frac{R\sqrt{3}}{2}$
Gọi h là hình chiếu của O trên SE $\Rightarrow OH\bot SE$
Ta có $\left\{ \begin{array} {} AB\bot OE \\ {} AB\bot SO \\ \end{array} \right.\Rightarrow AB\bot \left[ SEO \right]\Rightarrow AB\bot OH$
Từ đó suy ra $OH\bot \left[ SAB \right]$ nên $d\left[ O;\left[ SAB \right] \right]=OH=\frac{R}{2}$
Tam giác SEO vuông tại O, có $\frac{1}{S{{O}^{2}}}=\frac{1}{O{{H}^{2}}}-\frac{1}{O{{E}^{2}}}=\frac{8}{3{{R}^{2}}}\Rightarrow SO=\frac{R\sqrt{6}}{4}$
Chọn B
| Bài tập 8: Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết tam giác SAB vuông và có diện tích bằng $4{{a}^{2}}$. Góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng [SAB] bằng 30o. Đường cao h của hình nón bằng A. $a\sqrt{2}$ B. $\frac{a\sqrt{6}}{4}$ C. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ D. $a\sqrt{3}$ |
Lời giải chi tiết
Theo giả thiết, ta có tam giác SAB vuông cân tại S
Gọi E là trung điểm AB, suy ra $\left\{ \begin{array} {} SE\bot AB \\ {} OE\bot AB \\ \end{array} \right.$ và $SE=\frac{1}{2}AB$
Ta có ${{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}AB.SE=4{{a}^{2}}\Leftrightarrow \frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AB=4{{a}^{2}}\Rightarrow AB=4a$
Gọi H là hình chiếu của O trên SE => $OH\bot SE$
Lại có $\left\{ \begin{array} {} AB\bot OE \\ {} AB\bot SO \\ \end{array} \right.\Rightarrow AB\bot \left[ SEO \right]\Rightarrow AB\bot OH$
Từ đó suy ra $OH\bot \left[ SAB \right]\Rightarrow \widehat{\left[ SO;\left[ SAB \right] \right]}=\widehat{OSH}={{30}^{o}}$
Tam giác SEO vuông tại O, có $SO=SE.\cos \widehat{\text{OS}E}=a\sqrt{3}$.
Chọn D.
| Bài tập 9: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và $\widehat{SAO}={{30}^{o}},\widehat{SAB}={{60}^{o}}$. Độ dài đường sinh l của hình nón bằng A. $l=a$ B. $l=a\sqrt{3}$ C. $l=a\sqrt{2}$ D. $l=2a$ |
Lời giải chi tiết
Gọi I là trung điểm AB, suy ra $OI\bot AB,SI\bot AB$ và OI = a
Tam giác SAO vuông tại O, có $OA=SA.\cos \widehat{SAO}=\frac{SA\sqrt{3}}{2}$
Tam giác SAI vuông tại I, có $IA=SA\cos \widehat{SAB}=\frac{SA}{2}$
Tam giác OIA vuông tại I, có $O{{A}^{2}}=O{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}$
$\Leftrightarrow \frac{3}{4}S{{A}^{2}}={{a}^{2}}+\frac{1}{4}S{{A}^{2}}\Leftrightarrow S{{A}^{2}}=2{{a}^{2}}\Rightarrow SA=a\sqrt{2}$
Vậy độ dài đường sinh cần tìm là $l=a\sqrt{2}$. Chọn C.
| Bài tập 10: Một hình nón có bán kính đáy R, góc ở đỉnh là 60°. Một thiết diện qua đỉnh nón chắn trên đáy một cung có số đo 90°. Diện tích của thiết diện là A. $\frac{{{R}^{2}}\sqrt{7}}{2}$ B. $\frac{{{R}^{2}}\sqrt{3}}{2}$ C. $\frac{3{{R}^{2}}}{2}$ D. $\frac{{{R}^{2}}\sqrt{6}}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Vì góc ở đỉnh là 60o nên thiết diện qua trục SAC là tam giác đều cạnh 2R $\Rightarrow $ Đường cao của hình nón là $SI=R\sqrt{3}$
Tam giác SA là thiết diện qua đỉnh, chắn trên đáy cung AB có số đo bằng 90° nên IAB là tam giác vuông cân tại I $\Rightarrow AB=R\sqrt{2}$
Gọi M là trung điểm của AB thì $\left\{ \begin{array} {} IM\bot AB \\ {} SM\bot AB \\ \end{array} \right.$và $IM=\frac{R\sqrt{2}}{2}$
Tam giác SMI vuông tại I, có $SM=\sqrt{S{{I}^{2}}+I{{M}^{2}}}=\frac{R\sqrt{14}}{2}$
Vậy diện tích cần tính là ${{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}AB.SM=\frac{{{R}^{2}}\sqrt{7}}{2}$ . Chọn A.