Đề bài
I. TRẮC NGHIỆM [4,0 điểm] Chọn đáp án đúng trong mỗi câu sau:
Câu 1 [TH]: Cho hai số a,b thỏa mãn \[\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \le {\left[ {\frac{{a + b}}{2}} \right]^2}\]. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. \[a < b\]
B. \[a > b\]
C. \[a = b\]
D. \[a \ne b\]
Câu 2 [VD]: Cho hàm số \[f\left[ x \right] = \frac{{x + 2019}}{{x - 2019}}\]. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. \[f\left[ x \right] > 0 \Leftrightarrow x > 2019\]
B. \[f\left[ x \right] > 0 \Leftrightarrow f\left[ x \right] > - 2019\]
C. \[f\left[ x \right] < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 2019\\x > 2019\end{array} \right.\]
D. \[f\left[ x \right] < 0 \Leftrightarrow - 2019 < x < 2019\]
Câu 3 [NB]: Điều kiện xác định của bất phương trình \[2018\sqrt {x + 2} > 2019{x^2} + \frac{1}{{x - 2}}\] là:
A. \[x \ge - 2\]
B. \[x > 2\]
C. \[x \ge - 2\] và \[x \ne 2\]
D. \[x \ge 2\]
Câu 4 [VD]: Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \[\left[ {m + 1} \right]{x^2} - 2\left[ {m + 2} \right] + m + 4 = 0\] có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{x_2}\] và \[{x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} < 2\].
A. \[m < - 6\]
B. \[ - 6 < m < - 1\]
C. \[ - \frac{8}{3} < m < - 1\]
D. Không tồn tại m
Câu 5 [TH]: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge m\\\left[ {m - 2} \right]x \le 3m - 3\end{array} \right.\] có nghiệm duy nhất?
A. \[2\]
B. \[1\]
C. \[0\]
D. Đáp án khác
Câu 6 [TH]: Kết quả điểm kiểm tra môn Toán trong một kỳ thi của 200 em học sinh được trình bày ở bảng sau:
Số trung vị của bảng phân bố tần suất nói trên là:
A. \[8\] B. \[7\] C. \[6\] D. Đáp án khác
Câu 7 [NB]: Chọn công thức sai trong các công thức sau:
A. \[\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\]
B. \[\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\]
C. \[\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\]
D. \[\cos a - \cos b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\]
Câu 8 [VD]: Rút gọn biểu thức \[M = \cos \left[ {x + \frac{\pi }{4}} \right] + \sin \left[ {x - \frac{\pi }{4}} \right]\]
A. \[M = \cos x + \sin x\]
B. \[M = \sqrt 2 \cos x\]
C. \[M = 0\]
D. \[M = \sqrt 2 \cos x + \sqrt 2 \sin x\]
Câu 9 [VD]: Cho \[\sin a = \frac{4}{5},\,\,\cos b = \frac{8}{{17}}\] với \[\frac{\pi }{2} < a < \pi \] và \[0 < b < \frac{\pi }{2}\]. Giá trị của \[\sin \left[ {a + b} \right]\] bằng:
A. \[ - \frac{{13}}{{85}}\]
B. \[\frac{{77}}{{85}}\]
C. \[ - \frac{{77}}{{85}}\]
D. \[\frac{{13}}{{85}}\]
Câu 10 [TH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng \[d:x + 5y - 2019 = 0\]. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. \[\overrightarrow n = \left[ {1;5} \right]\] là một vectơ pháp tuyến của d
B. \[\overrightarrow u = \left[ { - 5;1} \right]\] là một vectơ chỉ phương của d
C. d có hệ số góc \[k = 5\]
D. d song song với đường thẳng \[\Delta :x + 5y = 0\]
Câu 11 [NB]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm \[A\left[ {0;2} \right],\,\,B\left[ { - 3;0} \right]\]. Phương trình đường thẳng AB là:
A. \[\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 3}} = 1\]
B. \[\frac{x}{{ - 3}} + \frac{y}{2} = 1\]
C. \[\frac{x}{3} + \frac{y}{{ - 2}} = 1\]
D. \[\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{3} = 1\]
Câu 12 [VD]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng lần lượt có phương trình \[{d_1}:5x - 6y - 4 = 0\], \[{d_2}:x + 2y - 4 = 0\] và \[{d_3}:mx - \left[ {2m - 1} \right]y + 9m - 19 = 0\] [m là tham số]. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm.
A. \[m = 1\].
B. \[m = - 1\].
C. \[m = - 2\].
D. \[m = 2\].
Câu 13 [VD]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm \[A\left[ {1;1} \right],\,\,B\left[ { - 2;4} \right]\] và đường thẳng \[\Delta :mx - y + 3 = 0\]. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để \[\Delta \] cách đều 2 điểm A, B.
A. \[\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 2\end{array} \right.\]
B. \[\left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 2\end{array} \right.\]
C. \[\left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 1\end{array} \right.\]
D. \[\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 2\end{array} \right.\]
Câu 14 [VD]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng \[\Delta :3x + 4y - 5 = 0\] và điểm \[I\left[ {2;1} \right]\]. Đường tròn \[\left[ C \right]\] có tâm \[I\] và tiếp xúc với đường thẳng \[\Delta \] có phương trình là:
A. \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} = 1\]
B. \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} = \frac{1}{{25}}\]
C. \[{\left[ {x + 2} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} = 1\]
D. \[{\left[ {x + 2} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} = \frac{1}{{25}}\]
Câu 15 [VD]: Cho Elip \[\left[ E \right]\] có độ dài trục lớn bằng 12, độ dài trục bé bằng tiêu cự. Phương trình chính tắc của \[\left[ E \right]\] là:
A. \[\frac{{{x^2}}}{{144}} + \frac{{{y^2}}}{{72}} = 1\]
B. \[\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{18}} = 1\]
C. \[\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\]
D. \[\frac{{{x^2}}}{{144}} + \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\]
Câu 16 [VD]: Cho đường tròn \[\left[ C \right]\] có phương trình \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} = 1\]. Điều kiện của m để qua điểm \[A\left[ {m;1 - m} \right]\] kẻ được 2 tiếp tuyến với \[\left[ C \right]\] tạo với nhau một góc \[{90^o}\] là:
A. \[\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 3\end{array} \right.\]
B. \[m = 0\]
C. \[\left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - 3\end{array} \right.\]
D. Không có giá trị phù hợp
II. PHẦN TỰ LUẬN [6,0 điểm 6,0 điểm]
Bài 1 [VD]. [1,5 điểm 1,5 điểm]
a] Giải hệ bất phương trình sau trên tập số thực: \[\left\{ \begin{array}{l}\left[ {x - 3} \right]\left[ {{x^2} - 4x + 4} \right]\left[ {{x^2} + x - 2} \right] > 0\\\left| {x - 1} \right| < x + 1\end{array} \right.\]
b] Giải bất phương trình sau trên tập số thực: \[\sqrt { - 3{x^2} + 7x - 2} + x < 2\]
Bài 2 [VD]. [1,5 điểm 2,0 điểm]
a] Chứng minh đẳng thức: \[\frac{{2{{\sin }^2}\left[ {x + \frac{\pi }{4}} \right] - 1}}{{\cot x - \sin x.\cos x}} = 2{\tan ^2}x\] khi các biểu thức đều xác định.
b] Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình \[ - 1 \le \frac{{{x^2} - 2x - m}}{{{x^2} + 2x + 2019}} < 2\] nghiệm đúng với mọi số thực x.
Bài 3 [VD]. [2,5 điểm 2,5 điểm]
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng \[d:2x - y - 5 = 0\] và hai điểm \[A\left[ {1;2} \right],\,\,B\left[ {4;1} \right]\]
a] [1 điểm] Viết phương trình đường trung trực đoạn thẳng AB.
b] [1 điểm] Viết phương trình đường tròn \[\left[ C \right]\] có tâm thuộc đường thẳng d và đi qua 2 điểm A, B.
c] [0,5 điểm] Viết phương trình tiếp tuyến của \[\left[ C \right]\] biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \[d':x + y + 2019 = 0\]
Bài 4 [VDC]. [0,5 điểm 0 điểm][Chỉ dành cho các lớp 10 Tin, L1, L2, H1, H2]
Tính các góc của \[\Delta ABC\] biết
\[\left[ {1 + \frac{1}{{\sin A}}} \right]\left[ {1 + \frac{1}{{\sin B}}} \right]\left[ {1 + \frac{1}{{\sin C}}} \right] \]\[= {\left[ {1 + \frac{1}{{\sqrt[3]{{\sin A\sin B\sin C}}}}} \right]^3}\].
Lời giải chi tiết
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
|
1. C |
2. D |
3. C |
4. B |
|
5. B |
6. D |
7. D |
8. C |
|
9. A |
10. C |
11. B |
12. D |
|
13. C |
14. A |
15. B |
16. A |
Câu 1:
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để biến đổi bất đẳng thức.
Cách giải:
\[\begin{array}{l}\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \le {\left[ {\frac{{a + b}}{2}} \right]^2}\\ \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \le \frac{{{a^2} + {b^2} + 2ab}}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{{2{a^2} + 2{b^2}}}{4} - \frac{{{a^2} + {b^2} + 2ab}}{4} \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2} - 2ab}}{4} \le 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {a - b} \right]^2} \le 0 \Leftrightarrow a - b = 0 \Leftrightarrow a = b\end{array}\]
Chọn C.
Câu 2:
Phương pháp:
Giải BPT \[f\left[ x \right] > 0\] để tìm tập nghiệm của bất phương trình.
Cách giải:
\[f\left[ x \right] = \frac{{x + 2019}}{{x - 2019}} < 0\]\[ \Leftrightarrow - 2019 < x < 2019\]
Chọn D.
Câu 3:
Phương pháp:
\[\sqrt {f\left[ x \right]} \] xác định \[ \Leftrightarrow f\left[ x \right] \ge 0\]
\[\frac{1}{{g\left[ x \right]}}\] xác định \[ \Leftrightarrow g\left[ x \right] \ne 0\]
Cách giải:
\[2018\sqrt {x + 2} > 2019{x^2} + \frac{1}{{x - 2}}\]
ĐKXĐ: \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\x \ne 2\end{array} \right.\]
Chọn C.
Câu 4:
Phương pháp:
Phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left[ {a \ne 0} \right]\] có 2 nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow \Delta > 0\]
Sử dụng hệ thức Vi-ét biến đổi và thế vào biểu thức bài cho để giải phương trình tìm m.
Cách giải:
Để phương trình \[\left[ {m + 1} \right]{x^2} - 2\left[ {m + 2} \right] + m + 4 = 0\] có hai nghiệm phân biệt
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \ne 0\\\Delta ' = {\left[ {m + 2} \right]^2} - \left[ {m + 1} \right]\left[ {m + 4} \right] > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\{m^2} + 4m + 4 - {m^2} - 5m - 4 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\ - m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\m < 0\end{array} \right.\,\end{array}\]
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{2m + 4}}{{m + 1}}\\{x_1}{x_2} = \frac{{m + 4}}{{m + 1}}\end{array} \right.\]
Ta có: \[{x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} < 2\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{2m + 4}}{{m + 1}} + \frac{{m + 4}}{{m + 1}} < 2\\ \Leftrightarrow \frac{{m + 6}}{{m + 1}} < 0 \Leftrightarrow - 6 < m < - 1\end{array}\]
Kết hợp các điều kiện ta được \[ - 6 < m < - 1\] thỏa mãn bài toán.
Chọn B.
Câu 5:
Phương pháp:
Biến đổi hệ BPT và biện luận.
Cách giải:
+] Với \[m = 2\] HPT trở thành: \[\left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 2\\0 \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 5\] không có nghiệm duy nhất.
+] Với \[m > 2\] ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge m\\\left[ {m - 2} \right]x \le 3m - 3\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge m + 3\\x \le \frac{{3m - 3}}{{m - 2}}\end{array} \right.\]
HPT có nghiệm duy nhất \[ \Leftrightarrow m + 3 = \frac{{3m - 3}}{{m - 2}}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} + m - 6 = 3m - 3\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\,\,\,\left[ {tm} \right]\\m = - 1\,\,\,\left[ {ktm} \right]\end{array} \right.\end{array}\]
+] Với \[m < 2\] ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge m\\\left[ {m - 2} \right]x \le 3m - 3\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge m + 3\\x \ge \frac{{3m - 3}}{{m - 2}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge m + 3\\x \ge \frac{{3m - 3}}{{m - 2}}\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \] HPT không có nghiệm duy nhất.
Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Chọn B.
Câu 6:
Phương pháp:
Sắp xếp các số liệu thống kê thành dãy không tăng hoặc không giảm. Số trung vị \[{M_e}\] là số đứng giữa dãy nếu số phần tử là lẻ và là trung bình cộng của hai số đứng giữa nếu dãy số phần tử là chẵn.
Cách giải:
Có 6 phần tử là điểm cuẩ các em học sinh nên \[{M_e} = \frac{{{x_3} + {x_4}}}{2} = \frac{{7 + 8}}{2} = 7,5.\]
Chọn D.
Câu 7:
Phương pháp:
Áp dụng công thức biến tổng thành tích.
Cách giải:
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\cos a - \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\\\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\\\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\\\cos a - \cos b = - 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\end{array} \right.\]
Vậy D sai.
Chọn D.
Câu 8:
Phương pháp:
Áp dụng công thức: \[\left\{ \begin{array}{l}\cos \left[ {a + b} \right] = \cos a\cos b - \sin a\sin b\\\sin \left[ {a - b} \right] = \sin a\cos b - \cos a\sin b\end{array} \right..\]
Cách giải:
\[\begin{array}{l}M = \cos \left[ {x + \frac{\pi }{4}} \right] + \sin \left[ {x - \frac{\pi }{4}} \right]\\ = \cos x\cos \frac{\pi }{4} - \sin x\sin \frac{\pi }{4} \\+ \sin x\cos \frac{\pi }{4} - \cos x\sin \frac{\pi }{4}\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x \\+ \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x = 0.\end{array}\]
Chọn C.
Câu 9:
Phương pháp:
Xác định dấu của \[\cos x,\sin x\] dựa vào đường tròn lượng giác từ đó tính bởi công thức \[{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\].
Sử dụng công thức: \[\sin \left[ {a + b} \right] = \sin a\cos b + \cos a\sin b.\]
Cách giải:
Ta có: \[\frac{\pi }{2} < a < \pi \Rightarrow \cos a < 0\]
\[ \Rightarrow \cos a = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}a} \]\[ = - \sqrt {1 - \frac{{16}}{{25}}} = - \sqrt {\frac{9}{{25}}} = - \frac{3}{5}\]
Ta có: \[0 < b < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \sin b > 0\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \sin b = \sqrt {1 - {{\cos }^2}b} \\ = \sqrt {1 - \frac{{64}}{{289}}} = \sqrt {\frac{{225}}{{289}}} = \frac{{15}}{{17}}\\ \Rightarrow \sin \left[ {a + b} \right] = \sin a\cos b + \cos a\sin b\\ = \frac{4}{5}.\frac{8}{{17}} - \frac{3}{5}.\frac{{15}}{{17}} = - \frac{{13}}{{85}}.\end{array}\]
Chọn A.
Câu 10:
Phương pháp:
Phương trình đường thẳng d có hệ số góc là k có dạng \[y = kx + b\]
Đường thẳng \[ax + by + c = 0\] nhận vecto\[\overrightarrow n = \left[ {a;\,\,b} \right]\] làm VTPT, nhận vecto \[\overrightarrow u = \left[ { - a;\,\,b} \right] = \left[ {a; - b} \right]\] làm VTCP và song song với đường thẳng có phương trình \[ax + by + d = 0\,\,\,\left[ {d \ne c} \right].\]
Cách giải:
Đường thẳng \[d:\,\,x + 5y - 2019 = 0\] nhận vecto \[\overrightarrow n = \left[ {1;\,\,5} \right]\] làm VTPT và nhận các vecto \[\overrightarrow u = \left[ { - 5;\,\,1} \right] = \left[ {5; - 1} \right]\] làm VTCP
\[ \Rightarrow \] Đáp án A và B đúng.
Ta có: \[d:x + 5y - 2019 = 0\]\[ \Leftrightarrow y = - \frac{1}{5}x + \frac{{2019}}{5}\] có hệ số góc là \[k = - \frac{1}{5}\]
\[ \Rightarrow \] Đáp án C sai.
Chọn C.
Câu 11:
Phương pháp:
Sử dụng phương trình đoạn chắn để viết phương trình đường thẳng \[AB.\]
Cách giải:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm \[A\left[ {0;2} \right],\,\,B\left[ { - 3;0} \right]\].
Phương trình đường thẳng AB là: \[\frac{x}{{ - 3}} + \frac{y}{2} = 1\]
Chọn B.
Câu 12:
Phương pháp:
Tìm giao điểm của \[{d_1},\,\,{d_2}\] sau đó thay tọa độ giao điểm đó vào phương trình đường thẳng \[{d_3}\] để tìm m.
Cách giải:
Gọi I là giao điểm của \[{d_1},\,\,{d_2}\]
\[ \Rightarrow \] Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}5x - 6y - 4 = 0\\x + 2y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right. \]
\[\Rightarrow I\left[ {2;1} \right]\]
Để ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm \[ \Leftrightarrow I \in {d_3}\]
\[ \Leftrightarrow 2m - \left[ {2m - 1} \right] + 9m - 19 = 0\] \[ \Leftrightarrow 9m - 18 = 0 \Leftrightarrow m = 2\]
Chọn D.
Câu 13:
Phương pháp:
Cho đường thẳng \[\Delta :ax + by + c = 0\] và điểm \[{M_0}\left[ {{x_0};{y_0}} \right] \Rightarrow {d_{\left[ {{M_0};\Delta } \right]}} = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\]
Cách giải:
\[\Delta \] cách đều 2 điểm \[A,\,\,B \Leftrightarrow d\left[ {A;\Delta } \right] = d\left[ {B;\Delta } \right]\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {m - 1 + 3} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \frac{{\left| { - 2m - 4 + 3} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} \\\Leftrightarrow \left| {m + 2} \right| = \left| { - 2m - 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 2 = - 2m - 1\\m + 2 = 2m + 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m = - 3\\m = 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 1\end{array} \right..\end{array}\]
Chọn C.
Câu 14:
Phương pháp:
Đường thẳng \[\Delta \] tiếp xúc với đường tròn \[\left[ {O,R} \right] \Leftrightarrow d\left[ {O;\Delta } \right] = R.\]
Cách giải:
Ta có đường tròn \[\left[ C \right]\] có tâm \[I\] và tiếp xúc với đường thẳng \[\Delta \]
\[ \Rightarrow R = d\left[ {I;\Delta } \right] = \frac{{\left| {3.2 + 4.1 - 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{5}{5} = 1\]
\[ \Rightarrow \] Phương trình đường tròn \[\left[ C \right]:\,\,{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} = 1.\]
Chọn A.
Câu 15:
Phương pháp:
Phương trình chính tắc của Elip có dạng: \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\] với \[{a^2} - {b^2} = {c^2}\]
Trong đó: trục lớn \[{A_1}{A_2} = 2a\]; trục nhỏ \[{B_1}{B_2} = 2b\]; tiêu cự \[{F_1}{F_2} = 2c\]
Cách giải:
Theo đề bài, elip \[\left[ E \right]\] có \[\left\{ \begin{array}{l}2a = 12\\2b = 2c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = c\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow {6^2} = {b^2} + {c^2} = 2{b^2} \Leftrightarrow {b^2} = 18\]
\[ \Rightarrow \] Phương trình Elip \[\left[ E \right]\]: \[\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{18}} = 1\]
Chọn B.
Câu 16:
Phương pháp:
Chứng minh ABOC là hình vuông từ đó tính OA để suy ra m.
Cách giải:
Từ A kẻ 2 tiếp tuyến \[AB,\,\,AC\] với \[\left[ C \right]\]
\[\left[ C \right]\] có tâm \[O\left[ {2; - 1} \right]\] bán kính \[R = 1\]
Tứ giác ABOC có \[\left\{ \begin{array}{l}\angle A = \angle B = \angle C = {90^o}\\OB = OC = R\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \] ABOC là hình vuông [dhnb].
\[ \Rightarrow AC = OC = R = 1 \Rightarrow OA = \sqrt 2 \]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left[ {m - 2} \right]}^2} + {{\left[ {1 - m + 1} \right]}^2}} = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow 2{\left[ {m - 2} \right]^2} = 2 \Leftrightarrow {\left[ {m - 2} \right]^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 2 = 1\\m - 2 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 1\end{array} \right.\end{array}\]
Chọn A.
II. TỰ LUẬN
Bài 1.
Phương pháp:
a] Giải từng BPT và hợp nghiệm. \[\left| A \right| < B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B > 0\\{A^2} < {B^2}\end{array} \right..\]
b] \[\sqrt {f\left[ x \right]} < g\left[ x \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left[ x \right] \ge 0\\g\left[ x \right] > 0\\f\left[ x \right] < {g^2}\left[ x \right]\end{array} \right.\]
Cách giải:
a] Giải hệ bất phương trình sau trên tập số thực: \[\left\{ \begin{array}{l}\left[ {x - 3} \right]\left[ {{x^2} - 4x + 4} \right]\left[ {{x^2} + x - 2} \right] > 0\\\left| {x - 1} \right| < x + 1\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}\left[ {x - 3} \right]\left[ {{x^2} - 4x + 4} \right]\left[ {{x^2} + x - 2} \right] > 0\\ \Leftrightarrow \left[ {x - 3} \right]\left[ {{x^2} + x - 2} \right]{\left[ {x - 2} \right]^2} > 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\\left[ {x - 3} \right]\left[ {{x^2} + x - 2} \right] > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\\left[ {x - 3} \right]\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 2} \right] > 0\end{array} \right.\,\,\,\,\left[ I \right]\end{array}\]
Đặt \[f\left[ x \right] = \left[ {x - 3} \right]\left[ {{x^2} + x - 2} \right]\] . Ta có bảng:
\[\begin{array}{l} + ]\,\,\,\left| {x - 1} \right| < x + 1\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\{\left[ {x - 1} \right]^2} < {\left[ {x + 1} \right]^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\{x^2} - 2x + 1 < {x^2} + 2x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\4x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0\,\,\,\left[ 2 \right]\end{array}\] \[ \Rightarrow \left[ I \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\\left[ \begin{array}{l} - 2 < x < 1\\x > 3\end{array} \right.\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2 < x < 1\\x > 3\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]
Từ [1] và [2] hệ bất phương trình đã cho có nghiệm là: \[\left[ \begin{array}{l}0 < x < 1\\x > 3\end{array} \right..\]
b] Giải bất phương trình sau trên tập số thực: \[\sqrt { - 3{x^2} + 7x - 2} + x < 2\]
\[\begin{array}{l}\sqrt { - 3{x^2} + 7x - 2} + x < 2\\ \Leftrightarrow \sqrt { - 3{x^2} + 7x - 2} < 2 - x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3{x^2} + 7x - 2 \ge 0\\2 - x > 0\\ - 3{x^2} + 7x - 2 < 4 - 4x + {x^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{3} \le x \le 2\\x < 2\\4{x^2} - 11x + 6 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{3} \le x < 2\\\left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < \frac{3}{4}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le x < \frac{3}{4}\end{array}\]
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: \[\frac{1}{3} \le x < \frac{3}{4}.\]
Bài 2.
Phương pháp:
a] Áp dụng các công thức lượng giác biến đổi vế trái bằng về phải.
b] Cho tam thức bậc hai\[f\left[ x \right] = a{x^2} + bx + c\left[ {a \ne 0} \right]\] có biệt thức \[\Delta = {b^2} - 4ac\]
- Nếu\[\Delta < 0\] thì với mọi\[x,f\left[ x \right]\] có cùng dấu với hệ sốa.
- Nếu\[\Delta = 0\]thì\[f\left[ x \right]\]có nghiệm kép\[x = - \frac{b}{{2a}}\], với mọi\[x \ne - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left[ x \right]\] có cùng dấu với hệ sốa.
- Nếu\[\Delta > 0\],\[f\left[ x \right]\]có2nghiệm\[{x_1},{x_2}\,\,\left[ {{x_1} < {x_2}} \right]\] và luôn cùng dấu với hệ sốavới mọixngoài khoảng\[\left[ {{x_1};\,\,{x_2}} \right]\] và luôn trái dấu với hệ sốavới mọixtrong khoảng\[\left[ {{x_1};\,\,{x_2}} \right].\]
Cách giải:
a] Chứng minh đẳng thức: \[\frac{{2{{\sin }^2}\left[ {x + \frac{\pi }{4}} \right] - 1}}{{\cot x - \sin x.\cos x}} = 2{\tan ^2}x\] khi các biểu thức đều xác định.
Ta có:
\[\begin{array}{l}VT = \frac{{2{{\sin }^2}\left[ {x + \frac{\pi }{4}} \right] - 1}}{{\cot x - \sin x.\cos x}}\\ = \frac{{2{{\left[ {\sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4}} \right]}^2} - 1}}{{\frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \sin x.\cos x}}\\ = \frac{{2{{\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x} \right]}^2} - 1}}{{\frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \sin x.\cos x}}\\ = \frac{{{{\left[ {\sin x + \cos x} \right]}^2} - 1}}{{\frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \sin x.\cos x}}\\ = \frac{{2\sin x\cos x}}{{\frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \sin x.\cos x}}\\ = \frac{{2\sin x}}{{\frac{1}{{\sin x}} - \sin x}} = \frac{{2{{\sin }^2}x}}{{1 - {{\sin }^2}x}}\\ = \frac{{2{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 2{\tan ^2}x = VP.\end{array}\]
Vậy \[\frac{{2{{\sin }^2}\left[ {x + \frac{\pi }{4}} \right] - 1}}{{\cot x - \sin x.\cos x}} = 2{\tan ^2}x.\]
b] Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình \[ - 1 \le \frac{{{x^2} - 2x - m}}{{{x^2} + 2x + 2019}} < 2\] nghiệm đúng với mọi số thực x.
\[\begin{array}{l} - 1 \le \frac{{{x^2} - 2x - m}}{{{x^2} + 2x + 2019}} < 2\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le \frac{{{x^2} - 2x - m}}{{{x^2} + 2x + 2019}}\\\frac{{{x^2} - 2x - m}}{{{x^2} + 2x + 2019}} < 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} - 2x - 2019 \le {x^2} - 2x - m\\{x^2} - 2x - m < 2{x^2} + 4x + 4038\end{array} \right.\\\left[ {do\,\,{x^2} + 2x + 2019 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}} \right]\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 2019 - m \ge 0\,\,\,\,\,[1]\\{x^2} + 6x + m + 4038 > 0\,\,\,\,\,[2]\end{array} \right.\end{array}\]
Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi số thực \[x\,\, \Leftrightarrow \] [1] và [2] nghiệm đúng với mọi số thực \[x\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1} \le 0\\{\Delta _2} < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2\left[ {2019 - m} \right] \le 0\\9 - \left[ {m + 4038} \right] < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2019 - m \ge 0\\ - 4029 - m < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2019\\m > - 4029\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow - 4029 < m \le 2019.\end{array}\]
Vậy với \[ - 4029 < m \le 2019\] thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Bài 3.
Phương pháp:
a] Đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\] đi qua trung điểm \[I\] của \[AB\] và nhận vecto \[\overrightarrow {AB} \] làm VTPT.
b] Gọi \[M\left[ {m;2m - 5} \right] \in d\] là tâm của đường tròn \[\left[ C \right]\], lập phương trình tìm m.
c] Viết phương trình đường thẳng qua tâm M song song với đường thẳng d từ đó tìm giao của đường thẳng với đường tròn. Hai điểm đó chính là tiếp điểm của hai tiếp tuyến cần tìm.
Cách giải:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng \[d:2x - y - 5 = 0\] và hai điểm \[A\left[ {1;2} \right],\,\,B\left[ {4;1} \right]\]
a] [1 điểm] Viết phương trình đường trung trực đoạn thẳng AB.
Gọi I là trung điểm của AB \[ \Rightarrow I\left[ {\frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right]\]
Gọi \[\Delta \] là đường trung trực của AB \[ \Rightarrow I \in \Delta \]
\[\overrightarrow {AB} = \left[ {3; - 1} \right]\] là một VTPT của \[\Delta \]
\[ \Rightarrow \Delta :3\left[ {x - \frac{5}{2}} \right] - \left[ {y - \frac{3}{2}} \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow 3x - y - 6 = 0\]
b] [1 điểm] Viết phương trình đường tròn \[\left[ C \right]\] có tâm thuộc đường thẳng d và đi qua 2 điểm A, B.
Gọi \[M\left[ {m;2m - 5} \right] \in d\] là tâm của đường tròn \[\left[ C \right]\]
Đường tròn \[\left[ C \right]\] đi qua \[A,B\]
\[\Rightarrow MA = MB \Leftrightarrow M{A^2} = M{B^2}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left[ {1 - m} \right]^2} + {\left[ {2 - 2m + 5} \right]^2} \\= {\left[ {4 - m} \right]^2} + {\left[ {1 - 2m + 5} \right]^2}\\ \Leftrightarrow {\left[ {1 - m} \right]^2} - {\left[ {4 - m} \right]^2} \\= {\left[ {6 - 2m} \right]^2} - {\left[ {7 - 2m} \right]^2}\\ \Leftrightarrow - 3\left[ {5 - 2m} \right] = - \left[ {13 - 4m} \right]\\ \Leftrightarrow 2m = 2 \Leftrightarrow m = 1\\ \Rightarrow M\left[ {1; - 3} \right]\end{array}\]
Bán kính của đường tròn \[\left[ C \right]\] là \[MA = \sqrt {0 + {5^2}} = 5\]
\[ \Rightarrow \] Phương trình đường tròn \[\left[ C \right]\]: \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 3} \right]^2} = 25.\]
c] [0,5 điểm] Viết phương trình tiếp tuyến của \[\left[ C \right]\] biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \[d':x + y + 2019 = 0\]
Gọi\[\Delta \] là tiếp tuyến cần tìm.
Vì\[\Delta \bot d'\] nên\[\Delta \] có dạng:\[\Delta :x - y + c = 0\]
Mà\[\Delta \] là tiếp tuyến của [C] nên\[d[M;\Delta ] = R\] với\[R = 5\] là bán kính của [C]
Ta có:
\[\begin{array}{l}
d[M;\Delta ] = \frac{{\left| {1 - [ - 3] + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{[ - 1]}^2}} }} = \frac{{\left| {c + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }}\\
\Rightarrow \frac{{\left| {c + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = R = 5\\
\Rightarrow \left| {c + 4} \right| = 5.\sqrt 2 \\
\Rightarrow c = 5.\sqrt 2 \pm 4
\end{array}\]
Vậy hai tiếp tuyến cần tìm là:
\[\begin{array}{l}
{\Delta _1}:x - y + 5\sqrt 2 + 4 = 0\\
{\Delta _2}:x - y + 5\sqrt 2 - 4 = 0
\end{array}\]
Bài 4.
Phương pháp:
Chứng minh \[1 + \frac{1}{{\sin A}} \le 1 + \frac{1}{{\sqrt[3]{{\sin A\sin B\sin C}}}}\] từ đó tìm dấu = xảy ra để tính các góc của \[\Delta ABC\]
Cách giải:
Tính các góc của \[\Delta ABC\] biết \[\left[ {1 + \frac{1}{{\sin A}}} \right]\left[ {1 + \frac{1}{{\sin B}}} \right]\left[ {1 + \frac{1}{{\sin C}}} \right] \]\[= {\left[ {1 + \frac{1}{{\sqrt[3]{{\sin A\sin B\sin C}}}}} \right]^3}\].
\[\begin{array}{l}\left[ {1 + \frac{1}{{\sin A}}} \right]\left[ {1 + \frac{1}{{\sin B}}} \right]\left[ {1 + \frac{1}{{\sin C}}} \right] \\= {\left[ {1 + \frac{1}{{\sqrt[3]{{\sin A\sin B\sin C}}}}} \right]^3}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left[ {\sin A + 1} \right]\left[ {\sin B + 1} \right]\left[ {\sin C + 1} \right]}}{{\sin A\sin B\sin C}} \\= \frac{{{{\left[ {\sqrt[3]{{\sin A\sin B\sin C}} + 1} \right]}^3}}}{{\sin A\sin B\sin C}}\\ \Leftrightarrow \sin A\sin B\sin C\\ + \sin A\sin B + \sin B\sin C + \sin A\sin C \\+ \sin A + \sin B + \sin C + 1\\= \sin A\sin B\sin C \\+ 3\sqrt[3]{{{{\sin }^2}A{{\sin }^2}B{{\sin }^2}C}} \\+ 3\sqrt[3]{{\sin A\sin B\sin C}} + 1\\ \Leftrightarrow \sin A\sin B + \sin B\sin C + \sin A\sin C \\+ \sin A + \sin B + \sin C \\= 3\sqrt[3]{{{{\sin }^2}A{{\sin }^2}B{{\sin }^2}C}} \\+ 3\sqrt[3]{{\sin A\sin B\sin C}}\end{array}\]
Ta có \[A,\,\,B,\,\,C\] là các góc trong tam giác \[ \Rightarrow 0 < \sin A,\sin B,\sin C \le 1\]
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sin A\sin B + \sin B\sin C + \sin A\sin C \\\ge 3\sqrt[3]{{{{\sin }^2}A{{\sin }^2}B{{\sin }^2}C}}\\\sin A + \sin B + \sin C\\ \ge 3\sqrt[3]{{\sin A\sin B\sin C}}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \sin A\sin B + \sin B\sin C + \sin A\sin C \\+ \sin A + \sin B + \sin C \\\ge 3\sqrt[3]{{{{\sin }^2}A{{\sin }^2}B{{\sin }^2}C}} \\+ 3\sqrt[3]{{\sin A\sin B\sin C}}\end{array}\]
Dấu \[ = \] xảy ra \[ \Leftrightarrow \sin A = \sin B = \sin C\] mà \[A,\,\,B,\,\,C\] là các góc trong \[\Delta ABC\]
\[ \Rightarrow A = B = C = {60^o}\]
Nguồn: Sưu tầm