Đề bài
Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi \[16 cm\], hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cho hình chữ nhật có chiều dài là x và chiều rộng là y.
+] Chu vi hình chữ nhật: \[P=2\left[ x+y \right].\]
+] Diện tích hình chữ nhật: \[S=xy.\]
Lập hàm số diện tích \[S\left[ x \right]\], xét hàm suy ra GTLN.
Lời giải chi tiết
Gọi chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là \[x;\ y\ \left[ cm \right],\left[ 0< x; y < 8 \right].\]
Chu vi của hình chữ nhật là \[16cm.\]
Khi đó: \[2\left[ x+y \right]=16\Leftrightarrow x+y=8\] \[\Leftrightarrow y=8-x.\]
\[\Rightarrow \] Diện tích: \[S=xy=x\left[ 8-x \right]=8x-{{x}^{2}}.\]
Xét hàm số: \[S\left[ x \right]=8x-{{x}^{2}}\] trên \[\left[ 0;8 \right]\] ta có:
\[S'\left[ x \right]=8-2x\] \[\Rightarrow S'\left[ x \right]=0\Leftrightarrow x=4.\]
Ta có: \[S\left[ 0 \right]=0;S\left[ 4 \right]=16;S\left[ 8 \right]=0.\]
\[\Rightarrow\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;8} \right]} S\left[ x \right] = 16\] khi \[x=4\].
\[\Rightarrow y=8-x=4\ \ \left[ tm \right].\]
Vậy hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là hình vuông có cạnh là \[4cm.\]
Cách khác:
Ta có:
\[S\left[ x \right] = 8x - {x^2}\] \[ = 16 - \left[ {{x^2} - 8x + 16} \right]\] \[ = 16 - {\left[ {x - 4} \right]^2} \le 16 \] \[\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;8} \right]} S\left[ x \right] = 16\,khi\,x = 4\]