Gọi AB là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y=x 1 phân x tính khoảng cách AB

Phương pháp giải:

- Tách \[y = \dfrac{{{x^2} + 2x + m}}{{x - 2}} = x + 4 + \dfrac{{m + 8}}{{x - 2}}\] và tính \[y'\].

- Phân tích: \[y = f\left[ x \right].y' + g\left[ x \right]\], suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là \[y = g\left[ x \right]\].

- Khoảng cách từ điểm \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] đến đường thẳng \[ax + by + c = 0\] là: \[d\left[ {M;d} \right] = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\].

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\].

Ta có:

\[\begin{array}{l}y = \dfrac{{{x^2} + 2x + m}}{{x - 2}} = x + 4 + \dfrac{{m + 8}}{{x - 2}}\\ \Rightarrow y' = 1 - \dfrac{{m + 8}}{{{{\left[ {x - 2} \right]}^2}}}\end{array}\]

Khi đó: \[y =  - \left[ {x - 2} \right]\left[ {1 - \dfrac{{m + 8}}{{{{\left[ {x - 2} \right]}^2}}}} \right] + 2x + 2\]\[ \Leftrightarrow y =  - \left[ {x - 2} \right].y' + 2x + 2\].

Giả sử \[A\left[ {{x_1};{y_1}} \right],B\left[ {{x_2};{y_2}} \right]\] là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_1} =  - \left[ {{x_1} - 2} \right].y'\left[ {{x_1}} \right] + 2{x_1} + 2 = 2{x_1} + 2\\{y_2} =  - \left[ {{x_2} - 2} \right].y'\left[ {{x_2}} \right] + 2{x_2} + 2 = 2{x_2} + 2\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow \] Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị trên là: \[y = 2x + 2 \Leftrightarrow 2x - y + 2 = 0\,\,\left[ d \right]\].

Vậy \[d\left[ {O;d} \right] = \dfrac{{\left| {2.0 - 0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}.\]

Chọn A.

Đáp án C.

y = [x + 1][x – 2]2.

y' = 3x2 – 6x 

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị AB = 2√5

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]

Quảng cáo

1.Định nghĩa: Cho hàm số y = f[x]xác định và liên tục trên khoảng [a;b] [có thể a là -∞; b là +∞] và điểm x0∈[a;b].

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f[x]< f[x0 ] với mọi x ∈ [x0 - h;x0 + h] và x≠x_0 thì ta nói hàm số f[x] đạt cực đại tại x0.

Nếu tồn tại số h >0 sao cho f[x] >f[x0 ] với mọi x ∈ [x0 - h;x0 + h] và x ≠ x0 thì ta nói hàm số f[x] đạt cực tiểu tại x0.

2.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y=f[x] liên tục trên

K=[x0 - h;x0 + h]và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{x0}, với h >0.

Nếu f'[x]> 0 trên khoảng [x0 - h;x0] và f'[x] 0 trên [x0;x0+ h] thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f[x].

Minh họa bằng bảng biến thiến

Chú ý.

Nếu hàm sốy=f[x] đạt cực đại [cực tiểu] tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại [điểm cực tiểu] của hàm số; f[x0] được gọi là giá trị cực đại [giá trị cực tiểu] của hàm số, kí hiệu là fCÑ [fCT], còn điểm M[x0;f[x0]] được gọi là điểm cực đại [điểm cực tiểu] của đồ thị hàm số.

Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại [giá trị cực tiểu] còn gọi là cực đại [cực tiểu] và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3.Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 1:

   Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

   Bước 2. Tínhf'[x]. Tìm các điểm tại đó f'[x]bằng 0 hoặc f'[x] không xác định.

   Bước 3. Lập bảng biến thiên.

   Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

   Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

   Bước 2. Tính f'[x]. Giải phương trình f'[x]và ký hiệuxi [i=1,2,3,...]là các nghiệm của nó.

   Bước 3. Tính f''[x] và f''[xi ] .

   Bước 4. Dựa vào dấu của f''[xi ]suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

Quảng cáo

Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số y = 2x3 - 6x + 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y' = 6x2 - 6. Cho y'= 0 ⇔ 6x2 - 6 = 0 ⇔ x = ±1.

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = - 1, y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x = 1,y = -2.

Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số y = x4 - 2x2 + 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y' = 4x3 - 4x. Cho y'= 0 ⇔ 4x3 - 4x = 0 ⇔

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, y = 1 và hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2.

Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số y =

Hướng dẫn

Tập xác định D = R\{2}. Tính

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đã cho không có cực trị.

Bài 1. Tìm cực trị của hàm số y = -x3 + 3x2 - 4

Quảng cáo

Bài 2. Tìm cực trị của hàm số y = -x3 + 3x3 - 3x + 2

Bài 3. Gọi A,B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x3 - 3x2 - 12x + 1. Tìm tọa độ A,B và phương trình đường thẳng qua hai điểm đó.

Bài 4. Cho hàm số y = x3 - 3x2 có đồ thị [C]. Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị [C]và khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó.

Bài 5. Tìm cực trị của hàm số y = x4/4 - x2 + 2

Bài 6. Tìm cực trị của hàm số y = -x4 + 4x2 - 5

Bài 7. Tìm cực trị của hàm số y =

Bài 8. Tìm cực trị của hàm số y = x - 5 + 1/x

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

cuc-tri-cua-ham-so.jsp