Hệ thuần nhất là gì

Bạn đang quan tâm đến Nghiệm Tầm Thường Là Gì ? Nghiệm Không Tầm Thường là gì ? phải không? Nào hãy cùng Truongxaydunghcm.edu.vn đón xem bài viết này ngay sau đây nhé, vì nó vô cùng thú vị và hay đấy!

Nội dung chính Show

Mục lục
Ví dụ cơ bảnSửa đổi
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Hình thức tổng quátSửa đổi
Điều kiện có nghiệm trong trường hợp tổng quátSửa đổi
Các trường hợp đặc biệtSửa đổi
Các phương pháp giảiSửa đổi
Xem thêmSửa đổi
Tham khảoSửa đổi
Liên kết ngoàiSửa đổi
Video liên quan

Đơn vị nghiệm tầm thường là gì?

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng $left{ begingathered a_11x_1 + a_12x_2 + … + a_1nx_1 = 0 hfill a_12x_1 + a_22x_2 + … + a_2nx_n = 0 hfill … hfill a_m1x_1 + a_m2x_2 + … + a_mnx_n = 0 hfill endgathered right..$

Với $A = left( beginarray*20c a_11&a_12&…&a_1n a_21&a_22&…&a_2n …&…&…&… a_m1&a_m2&…&a_mn endarray right),X = left( beginarray*20c x_1 x_2 … x_n endarray right),O = left( beginarray*20c 0 0 … 0 endarray right).$

Bạn đang xem: Nghiệm tầm thường là gì

Hệ phương trình đã cho khả năng được viết dưới dạng ma trận $AX=O.$

Hệ phương trình đã cho khả năng được viết dưới dạng véctơ $x_1A_1^c+x_2A_2^c+…+x_nA_n^c=O.$

Hạng của ma trận hệ số và hạng của ma trận hệ số mở rộng của hệ thuần nhất bằng nhau vì thế nó luôn có nghiệm. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có nghiệm $x_1=x_2=…=x_n=0,$ nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

Nghiệm Tầm Thường Là Gì ? Nghiệm Không Tầm Thường là gì ?

Xem thêm: Những 🥇 Hằng số điện môi: Công thức tính của một số chất

Xem thêm : Win32 Evo Gen Là Gì

Hệ phương trình thuần nhất n ẩn số có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn.

XEM THÊM: Soạn bài Chiếc lược ngà ngắn nhất

Hệ quả 1: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình nhỏ hơn số ẩn luôn có nghiệm không tầm thường (vô số nghiệm)

Hệ quả 2: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số bằng 0.

Xem thêm: Tổ Chức Phi Chính Phủ Là Gì, Tổ Chức Phi Chính Phủ (Ngo) Là Gì

Hệ quả 3: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn chỉ có nghiệm tầm thường (nghiệm duy nhất) khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác 0.

Xem thêm: Top quay lén thay quần áo hay đang tắm đang trở thành trào lưu

Xem thêm : Vì Sao Đưa Anh TớI TậP 21

Tập $ker (A) = left{ {X = left( beginarray*20c x_1 x_2 … x_n endarray right) in mathbbR^n|AX = O} right}$ là một không gian con của không gian véctơ $mathbbR^n$ và được gọi là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất $AX=O$ hay không gian nghiệm của hệ thuần nhất.

Mỗi cơ sở của $ker (A)$ được gọi là một hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất.

Số chiều của không gian nghiệm của hệ thuần nhất $dimleft( ker (A) right)=n-r(A).$

Vậy $r(A)=r>>Hệ phương trình tuyến tính tổng quát và Khảo sát tổng quát hệ phương trình tuyến tính

XEM THÊM: Top 8 bài văn tả mẹ lớp 5 ngắn gọn nhưng thật xúc động

Đề và đáp án chi tiết của đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2020 – 2021 bảng A tỉnh Nghệ An.

Vậy là đến đây bài viết về Nghiệm Tầm Thường Là Gì ? Nghiệm Không Tầm Thường là gì ? đã dừng lại rồi. Hy vọng bạn luôn theo dõi và đọc những bài viết hay của chúng tôi trên website Truongxaydunghcm.edu.vn

Chúc các bạn luôn gặt hái nhiều thành công trong cuộc sống!

Trong toán học (cụ thể là trong đại số tuyến tính), một hệ phương trình đại số tuyến tính hay đơn giản là hệ phương trình tuyến tính là một tập hợp các phương trình tuyến tính với cùng những biến số. Ví dụ:

Một phương pháp giải cho hệ trên là phương pháp thế. Trước hết, biến đổi phương trình đầu tiên để được phương trình tính ẩn $x {\displaystyle x}$ theo $y {\displaystyle y}$ :

x = 3 − 3 2 y . {\displaystyle x=3-{\frac {3}{2}}y.}

Sau đó thế hệ thức này vào phương trình dưới:

4 ( 3 − 3 2 y ) + 9 y = 15. {\displaystyle 4\left(3-{\frac {3}{2}}y\right)+9y=15.}

Ta được một phương trình bật nhất theo $y {\displaystyle y}$ . Giải ra, ta được $y = 1 {\displaystyle y=1}$ , và tính lại $x {\displaystyle x}$ được $x = 3 / 2 {\displaystyle x=3/2}$ .

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Hình thức tổng quátSửa đổi

Hệ phương trình trên có thể được viết theo dạng phương trình ma trận:

Ax=b

Với A là ma trận chứa các hệ số ai, j (ai, j là phần tử ở hàng thứ i, cột thứ j của A); x là vector chứa các biến xj; b là vector chứa các hằng số bi. Tức là:

[ a 1 , 1 a 1 , 2 ⋯ a 1 , k a 2 , 1 a 2 , 2 ⋯ a 2 , k ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n , 1 a n , 2 ⋯ a n , k ] [ x 1 x 2 ⋮ x k ] = [ b 1 b 2 ⋮ b n ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,k}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,k}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{k}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}}

Nếu các biến số của hệ phương trình tuyến tính nằm trong các trường đại số vô hạn (ví dụ số thực hay số phức), thì chỉ có ba trường hợp xảy ra:

hệ không có nghiệm (vô nghiệm)
hệ có duy nhất một nghiệm
hệ có vô số nghiệm

Hệ phương trình tuyến tính có thể thấy trong nhiều ứng dụng trong khoa học.

Điều kiện có nghiệm trong trường hợp tổng quátSửa đổi

Trong trường hợp tổng quát, ta xét các ma trận hệ số A và ma trận hệ số bổ sung thêm cột các số hạng ở vế phải A' .

A = [ a 1 , 1 a 1 , 2 ⋯ a 1 , k a 2 , 1 a 2 , 2 ⋯ a 2 , k ⋅ ⋅ ⋯ ⋅ a n , 1 a n , 2 ⋯ a n , k ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,k}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,k}\\\cdot &\cdot &\cdots &\cdot \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,k}\end{bmatrix}}}

;

A ′ = [ a 1 , 1 a 1 , 2 ⋯ a 1 , k b 1 a 2 , 1 a 2 , 2 ⋯ a 2 , k b 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a n , 1 a n , 2 ⋯ a n , k b n ] {\displaystyle A'={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,k}&b_{1}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,k}&b_{2}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,k}&b_{n}\end{bmatrix}}}

Khi đó hệ có nghiệm khi và chỉ khi hạng của hai ma trận này bằng nhau.

r a n k ( A ) = r a n k ( A ′ ) = r {\displaystyle rank(A)=rank(A')=r}

Chi tiết hơn ta có:

Nếu $r = r a n ( A ) < r a n ( A ′ ) {\displaystyle r=ran(A) thì hệ vô nghiệm$
Nếu r a n ( A ) = r a n ( A ′ ) = r {\displaystyle ran(A)=ran(A')=r} hệ có nghiệm và
1. Nếu $r a n k ( A ) = r a n k ( A ′ ) = r = k {\displaystyle rank(A)=rank(A')=r=k}$ hệ có nghiệm duy nhất
2. Nếu $r a n k ( A ) = r a n k ( A ′ ) = r < k {\displaystyle rank(A)=rank(A')=r hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào k-r ẩn tự do.$

(không xảy ra trường hợp $r = r a n k ( A ) > r a n k ( A ′ ) {\displaystyle r=rank(A)>rank(A')}$ hay $r = r a n k ( A ) > n {\displaystyle r=rank(A)>n}$ )

Ví dụ:
- Hệ

{ x + y = 2 x − y = 0 x − 3 y = − 2 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x&+&y&=&2\\x&-&y&=&0\\x&-&3y&=&-2\\\end{matrix}}\right.}

có nghiệm duy nhất

{ x = 1 y = 1 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x&=&1\\y&=&1\\\end{matrix}}\right.}

;

- Hệ

{ x + y + 2 z = 3 y − z = 5 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x&+&y&+&2z&=&3\\\;&\;&y&-&z&=&5\\\end{matrix}}\right.}

có vô số nghiệm phụ thuộc một ẩn tự do z:

{ x = − 2 − 3 z y = 5 + z z ∈ R {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x&=&-2&-&3z\\y&=&5&+&z\\z&\in &\mathbb {R} \\\end{matrix}}\right.}

- Hệ

{ x + y = 2 x − y = 0 x − 3 y = 3 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x&+&y&=&2\\x&-&y&=&0\\x&-&3y&=&3\\\end{matrix}}\right.}

vô nghiệm.

Các trường hợp đặc biệtSửa đổi

Nếu k bằng n, và ma trận A là khả nghịch (hay định thức của ma trận A khác không) thì hệ có nghiệm duy nhất:

x = A−1 b với A−1 là ma trận nghịch đảo của A.

Nếu b=0 (mọi bi bằng 0), hệ được gọi là hệ thuần nhất. Tập tất cả các nghiệm của một hệ phương trình thuần nhất lập thành một không gian vecter con của $R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , nó được gọi là hạt nhân của ma trận A, viết là Ker(A).(Cũng là hạt nhân của phép biến đổi tuyến tính xác định bởi ma trận A). Nếu hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có k=n và ma trận A khả nghịch thì nó có nghiệm duy nhất là nghiệm không.

Các phương pháp giảiSửa đổi

Dưới đây liệt kê vài phương pháp tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính:

Phép khử Gauss
Phép phân rã Cholesky
Phép đệ quy Levinson
Phép đệ quy Schur
Phép phân rã giá trị dị thường

Xem thêmSửa đổi

Phương trình tuyến tính
Hệ phương trình
Phương trình ma trận
Ma trận nghịch đảo

Tham khảoSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi

(tiếng Anh) Simultaneous Linear Equations Solver

Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học \| Đại số \| Giải tích \| Hình học \| Lý thuyết số \| Toán học rời rạc \| Toán học ứng dụng \| Toán học giải trí \| Toán học tô pô \| Xác suất thống kê

Hỏi Đáp Là gì

Hệ thuần nhất là gì

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Hình thức tổng quátSửa đổi

Điều kiện có nghiệm trong trường hợp tổng quátSửa đổi

Các trường hợp đặc biệtSửa đổi

Các phương pháp giảiSửa đổi

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi

Bài Viết Liên Quan

Quảng Cáo

Có thể bạn quan tâm

Toplist được quan tâm

Quảng cáo

Xem Nhiều

Quảng cáo

Chúng tôi

Điều khoản

Trợ giúp

Mạng xã hội