Phương trình đường thẳng của Oyz

Câu hỏi

Nhận biết

Trong không gian \[{\rm{Ox}}yz\], mặt phẳng \[Oyz\] có phương trình là

A.

B.

C.

D.

Tải trọn bộ tài liệu tự học tại đây

Bài viết phương trình đường thẳng trong không gian bao gồm: các dạng phương trình đường thẳng trong không gian, cách viết phương trình đường thẳng trong không gian, ví dụ bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian…

Các dạng phương trình đường thẳng trong không gian

Bao gồm 2 dạng là phương trình chính tắc và phương trình tham số.

Đường thẳng d đi qua điểm

và có vec tơ chỉ phương có:

Phương trình tham số

Với

Phương trình chính tắc

Với

Phương trình tổng quát đường thẳng trong không gian

Để viết được phương trình đường thẳng d ta quy d thành giao tuyến của mặt phẳng [P] và [Q]. Với

[P]:

[Q]:

Thì phương trình tổng quát của d là:

Khi đó vector chỉ phương của d là

Phương trình đường thẳng Ox trong không gian

Đường thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng Oyz nên nhận véc tơ [1,0,0] của trục Ox làm vector chỉ phương. Mặt khác Ox lại đi qua điểm O [0,0,0] nên phương trình đường thẳng Ox là:

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Đường thẳng

đi qua và có vectơ chỉ phương và đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương . Khi đó:
+ và cùng nằm trong một mặt phẳng .
+ và cắt nhau .
+ .
+
+ và chéo nhau

Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng

Đường thẳng

đi qua và có vectơ chỉ phương và mặt phẳng có vectơ pháp tuyến . Khi đó:
+ cắt
+
+
+

Góc giữa hai đường thẳng

Cho đường thẳng

có vectơ chỉ phương và đường thẳng có vectơ chỉ phương . Gọi là góc giữa hai đường thẳng đó ta có:

Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

Cho đường thẳng

có vectơ chỉ phương và mặt phẳng có vectơ pháp tuyến . Gọi là góc hợp bởi đường thẳng và mặt phẳng ta có:

Khoảng cách từ điểm

đến đường thẳng

có vectơ chỉ phương

+ Cách

– Viết phương trình mặt phẳng qua và vuông góc với .
– Tìm tọa độ giao điểm của và mặt phẳng .
– d .
+ Cách Sử dụng công thức: d

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau

đi qua và có vectơ chỉ phương và đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương .
+ Cách
– Viết phương trình mặt phẳng chứa và song song với .
– Tính khoảng cách từ tới mặt phẳng .
– dd .
+ Cách Sử dụng công thức: d .

Ví dụ bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian

Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm

và song song với giá của vectơ .

Giải

Vì d song song với giá của vectơ

nên d nhận làm vectơ chỉ phương.

d đi qua điểm

và có vectơ chỉ phương là nên có phương trình tham số:

Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm

, .

Giải

Vì d đi qua hai điểm M và N nên vectơ

có giá trùng với d là vectơ chỉ phương của d.

d đi qua điểm

và có vectơ chỉ phương là nên có phương trình tham số:

Ví dụ 3. Cho đường thẳng d có phương trình:

. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho OM vuông góc với d [với O là góc tọa độ].

Giải

Từ phương trình tham số của d, ta thấy d đi qua điểm

và có VTCP là nên có phương trình tham số là:

Vì

.

Vì

Vậy

Cách viết phương trình đường thẳng trong không gian

Dạng I: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương

Ví dụ

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
và mặt phẳng . Viết phương trình đường thẳng đi qua , song song với mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng Lời giải :

Để tìm một VTCP của

ta phải tìm hai VTPT không cùng phương của nó rồi tìm tích có hướng của hai vectơ này.

Như vậy,
Trong đó
đi qua và có VTCP nên có phương trình

Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
và mặt phẳng . Viết phương trình đường thẳng đi qua , cắt và vuông góc với . Lời giải :

. Gọi .

Do nên có thể giả sử .