Số tam giác cân tạo thành từ 2n đỉnh của đa giác bằng bao nhiêu
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây [435.97 KB, 14 trang ]
CHUYÊN ĐỀ :
CÁC BÀI TOÁN ĐẾM LIÊN QUAN ĐẾN ĐA GIÁC VÀ ĐA GIÁC ĐỀU
Tác giả : Lê Thảo
Nhóm giáo viên Toán tiếp sức Chinh phục kì thi THPT năm 2020
Trong các đề thi thử và đề minh họa của BGD&ĐT, các em học sinh gặp nhiều bài toán đếm liên
quan đến yếu tổ hình học. Bài viết sẽ giúp các em nhìn nhận và hiểu rõ cách làm các dạng bài tập
này và có hướng giải quyết khi gặp trong các đề thi.
MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG GẶP
Cho n điểm trong không gian, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
Số đường thẳng đi qua 2 điểm: Cn =
2
n [ n − 1]
.
2
Số vectơ khác 0 nối hai điểm bất kì: An .
2
Số tam giác tạo thành: Cn .
3
Nếu trong n điểm không có 4 điểm nào đồng phẳng, thì số tứ diện được tạo thành: Cn
4
.
Cho đa giác lồi n đỉnh:
Số đường chéo của đa giác: Cn − n .
2
Giải thích :
Nối 2 điểm trong n đỉnh có Cn cách nối [ trong các cách nối này ta nối được cả cạnh và cả
2
đường chéo]
Suy ra số đường chéo là : Cn − n
2
Nếu không có 3 đường chéo nào đồng qui thì số giao điểm giữa các đường chéo mà
giao điểm nằm trong đa giác là Cn .
4
Giải thích :
Cứ 1 tứ giác có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác thì ta nhận thấy 2 đường chéo của đa giác sẽ cắt
nhau tại 1 điểm nằm trong đa giác. Nên số giao điểm thỏa mãn yêu cầu bằng số tứ giác.
1
Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác: Cn .
3
Số tam giác có đúng 1 cạnh của đa giác 2 cạnh còn lại là đường chéo: n [ n − 4 ] .
Giải thích :
Chọn 1 cạnh có n cách chọn
Chọn 1 điểm còn lại không kề với cạnh có n − 4 cách chọn
Nên số tam giác thỏa mãn yêu cầu là n [ n − 4 ]
Số tam giác có 2 cạnh của đa giác, 1 cạnh còn lại là đường chéo: n .
Giải thích :
Tại 1 đỉnh của đa giác có 1 tam giác như vậy, nên số tam giác thỏa mãn là n .
Số tam giác có cạnh đều là các đường chéo của đa giác
Công thức 1 : Cn − n [ n − 4 ] − n .
3
Giải thích :
Số tam giác cần tìm = Số tam giác bất kỳ - [ Số tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh đa giác + Số
tam giác có 2 cạnh là cạnh đa giác]
Công thức 2 :
n 2
Cn − 4 .
3
Giải thích :
Chọn đỉnh thứ 1 có n cách
Chọn đỉnh thứ 2,3 không kề đỉnh thứ nhất và không kề nhau, nên giữa đỉnh số 1 và số 2 có
x điểm, giữa đỉnh số 2 và số 3 có y điểm, giữa đỉnh số 3 và số 1 có z điểm và
x + y + z = n − 3 [ với x, y, z ∈ * ]
Số bộ [ x; y; z ] thỏa mãn phương trình trên là : Cn −4
2
Nên số tam giác được chọn là nCn −4
2
Mà mỗi trong số các tam giác này bị lặp 3 lần nên ta có số tam giác cần tìm là
Cho đa giác đều n đỉnh:
2
n 2
Cn − 4
3
Trong các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác :
Số tam giác vuông :
Khi n chẵn: số tam giác vuông là 4.C n .
2
2
Khi n lẻ: số tam giác vuông là 0 .
Giải thích :
Khi n chẵn sô đường chéo đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đều là
n
, nên số
2
hình chữ nhật là C n , mà mỗi hình chữ nhật thì có 4 tam giác vuông. Nên số tam giác vuông thỏa
2
2
mãn yêu cầu là 4.C n
2
2
Khi n lẻ thì không có đường chéo nào đi qua tâm. Nên số tam giác vuông là 0
Số tam giác tù:
Khi n chẵn: số tam giác tù là n.C n−2 .
2
2
Khi n lẻ: số tam giác tù là n.C n −1 .
2
2
Giải thích :
Khi n chẵn : Chọn đỉnh A có n cách, khi đó đường kính đi qua đỉnh thứ nhất sẽ đi qua
đỉnh đối diện, để chọn được tam giác tù tại B thì 2 đỉnh B, C phải nằm cùng 1 nửa đường tròn
đường kính AA ' , trên nửa đường tròn ta có số điểm là
n−2
2
nên số cách chọn 2 điểm là C n −2 .
2
2
Do đó số tam giác tù là n.C n−2
2
2
Khi n lẻ : Chọn đỉnh A có n cách, khi đó đường kính đi qua đỉnh thứ nhất sẽ không đi qua
đỉnh nào khác, để chọn được tam giác tù tại B thì 2 đỉnh B, C phải nằm cùng 1 nửa đường tròn
đường kính AA ' , trên nửa đường tròn ta có số điểm là
Do đó số tam giác tù là n.C n −1
2
2
3
n −1
2
nên số cách chọn 2 điểm là C n −1 .
2
2
Số tam giác nhọn = số tam giác – [số tam giác vuông + số tam giác tù]
Cho đa giác đều 2n đỉnh n ≥ 2 :
Trong các tứ giác có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác :
số hình chữ nhật: Cn .
2
Số tam giác vuông: 4.Cn .
2
Cho đa giác đều 3n đỉnh n ≥ 1 :
Trong các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác :
Số tam giác đều : n
Số tam giác cân không đều
3n − 2
− 1
2
Khi n chẵn : 3n
3n − 1
− 1
2
Khi n lẻ : 3n
MỘT SỐ BÀI TOÁN QUEN THUỘC
Bài toán 1. Cho hai đường thẳng song song d1 , d 2 . Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm
phân biệt, trên d 2 lấy 15 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó
được chọn từ 25 vừa nói trên.
A. 675 . B. 1050 .
C. 1725 .
D. 2300 .
Lời giải
Cách 1 : Vì 3 đỉnh của một tam giác là 3 điểm không thẳng hàng nên ta có :
Số tam giác lập được thuộc vào một trong hai loại sau
Loại 1: Gồm hai đỉnh thuộc vào d1 và một đỉnh thuộc vào d 2
Số cách chọn bộ hai điểm trong 10 thuộc d1 : C10
2
Số cách chọn một điểm trong 15 điểm thuộc d 2 : C15
1
Loại này có: C10C15 tam giác.
2
1
Loại 2: Gồm một đỉnh thuộc vào d1 và hai đỉnh thuộc vào d 2
Số cách chọn một điểm trong 10 thuộc d1 : C10
1
4
Số cách chọn bộ hai điểm trong 15 điểm thuộc d 2 : C15
2
Loại này có: C10 .C15 tam giác.
1
2
Vậy có tất cả: 1725 tam giác thỏa yêu cầu bài toán.
Cách 2 : Ta có thể sử dụng phương pháp phần bù [ ta lấy số cách lấy 3 điểm bất kỳ trừ
đi số cách lấy 3 điểm thẳng hàng, khi đó sẽ còn lại số cách lấy 3 điểm không thẳng hàng]
Số cách lấy 3 điểm trong 25 điểm đã cho là C25
3
Số cách lấy 3 điểm thẳng hàng : C15 + C10
3
3
[
]
1725
Do đó số cách lấy 3 điểm không thẳng hàng là C25 − C15 + C10 =
3
3
3
Vậy số tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài là 1725
Chọn C
Bài toán 2. Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Số cạnh của đa giác đều
là
A. 5 .
B. 6 .
C. 7 .
D. 8 .
Lời giải
Đa giác có n cạnh [ n ∈ , n ≥ 3] .
Số đường chéo trong đa giác là: Cn − n .
2
Ta có: Cn − n = 2n ⇔
2
n = 7
n!
= 3n ⇔ n [ n − 1] = 6n ⇔
⇔n= 7
[ n − 2 ]!.2!
n = 0
Chọn C
Bài toán 3. Cho đa giác đều A1 A2 ... A2 n nội tiếp trong đường tròn tâm O. Biết rằng số tam
giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh
là 4 trong 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n . Tìm n?
A. 3
B. 6
C. 8
D. 12
Lời giải
Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n là: C2n .
3
Ta thấy ứng với hai đường chéo đi qua tâm O của đa giác A1 A2 ... A2 n cho tương ứng một
hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 điểm trong 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n . Mà số đường chéo đi qua
tâm của đa giác là n nên số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm bằng Cn .
2
5
2n[2n − 1][2n − 2]
n[n − 1]
⇔n=
8.
=
20
3!
2
Theo giả thiết: C2 n =
20Cn ⇔
3
2
Chọn C
Bài toán 4. Cho đa giác đểu [ P ] có 20 đỉnh. Lấy tùy ý 3 đỉnh của [ P ] , tính xác suất để
3 đỉnh lấy được tạo thành một tam giác vuông sao cho, không có cạnh nào là cạnh của
[ P] .
A.
7
.
57
B.
3
.
38
C.
7
.
92
D.
5
.
114
Lời giải
Chọn 3 đỉnh bất kì từ 20 đỉnh để tạo thành một tam giác ⇒ n [ Ω ] =C20
3
Ta có đa giác [ P ] nội tiếp một đường tròn, nên tam giác vuông tạo ra từ một đường chéo
[qua tâm] bất kì và một điểm khác [tam giác nội tiếp có một cạnh là đường kính là tam
giác vuông]
Số cách chọn đường chéo qua tâm là 10 cách.
Một đường chéo đi qua 2 đỉnh, nên theo yêu cầu, đỉnh thứ ba không thể là 4 đỉnh nằm
cạnh hai đỉnh đã chọn → có 20 − 2 − 4 =
14 cách chọn [trừ hai đỉnh tạo thành đường
chéo nữa]
Vậy n [ A ] = 10 × 14 = 140 tam giác.
Vậy xác suất để 3 đỉnh lấy được tạo thành một tam giác vuông sao cho, không có cạnh
nào là cạnh của [ P ] là=
p
n [ A ] 140 7
= =
3
n [ Ω ] C20
57
Chọn A.
Bài toán 5. Cho đa giác đều A1 A2 .... A18 nội tiếp đường tròn [O]. Hỏi có bao nhiêu tam
giác có ba đỉnh lấy từ 18 đỉnh của đa giác mà không có cạnh nào là cạnh của đa giác?
A. 546
B. 798.
C. 654.
D. 18564
Lời giải
[Các em xem lại cách giải thích công thức 1 và công thức 2]
Cách 1 : Áp dụng công thức 1 : Cn − n [ n − 4 ] − n
3
Thay n = 18 ta có số tam giác cần tìm là C18 − 18.14 − 18 =
546 [ tam giác ]
3
Cách 2 : Áp dụng công thức 2 :
6
n 2
Cn − 4
3
18 2
C14 = 546 [ tam giác ]
3
Thay n = 18 ta có số tam giác cần tìm là
Chọn A
Bài toán 6. Cho đa giác đều A1 A2 .... A18 nội tiếp đường tròn [O]. Hỏi có bao nhiêu tam
giác vuông có ba đỉnh lấy từ 18 đỉnh của đa giác?
A. 72.
B. 144.
C. 162.
D. 288.
Lời giải
Ta có số đường chéo qua tâm là 9 đường
Cứ 2 đường chéo qua tâm ta có 4 đỉnh của đa giác tạo thành một hình chữ nhật
Số hình chữ nhật là C9 = 36
2
Một hình chữ nhật ta có 4 tam giác vuông có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác
Nên số tam giác vuông là : 4.36 = 144 [ tam giác].
Chọn B
Bài toán 7. Cho đa giác đều A1 A2 .... A18 nội tiếp đường tròn [O]. Hỏi có bao nhiêu tam
giác cân có ba đỉnh lấy từ 18 đỉnh của đa giác?
A. 144.
B. 126.
C. 132.
D. 228.
Lời giải
Chọn đỉnh cân : có 18 cách chọn
Nhận thấy đường chéo qua tâm đi qua đỉnh cân sẽ đi qua đỉnh đối diện và đường chéo
này là trục đối xứng của tam giác cân, nên 2 đỉnh còn lại sẽ đối xứng qua trục
Đường chéo này chia đường tròn thành 2 nửa đường tròn, trên mỗi nửa đường tròn có 8
điểm nên sẽ có 8 cặp điểm đối xứng qua đường chéo, do đó sẽ có 8 tam giác cân tại đỉnh
đã chọn [ trong đó có 1 tam giác đều]
Vậy số tam giác cân [ không đều] là : 18.7 = 126
Số tam giác đều có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác là : 6 tam giác
Vậy tổng số tam giác cân là : 126 + 6 = 132 [ tam giác ]
Chú ý : Nếu trong bước chọn 8 tam giác cân các em chọn cả tam giác đều, thì tam giác đều đó
sẽ được tính 3 lần
Nên công thức tính sẽ là : 18.8 − 2.6 =
132 [ tam giác ]
Chọn C
7
Bài toán 8. Cho đa giác đều A1 A2 .... A18 nội tiếp đường tròn [O]. Hỏi có bao nhiêu tứ giác
có bốn đỉnh lấy từ 18 đỉnh của đa giác mà có đúng một cạnh là cạnh của đa giác?
A. 2160.
B. 1386.
Lời giải
C. 1404.
D. 1890.
Chọn 1 cạnh là cạnh đa giác có 18 cách chọn
2 đỉnh còn lại là 2 đỉnh không kề nhau chọn trong 14 đỉnh còn lại [ trừ 2 đỉnh kề với cạnh
đã chọn]
Số cách chọn 2 đỉnh trong 14 đỉnh còn lại : C14
2
Trong số cách chọn trên có 13 cách chọn 2 đỉnh kề nhau
Nên số cách chọn 2 đỉnh còn lại không kề nhau là : C14 − 13
2
[
]
1404 [ tứ giác]
Vậy tứ giác thỏa mãn đề bài là : 18 C14 − 13 =
2
Chọn C
Bài toán 9. Cho đa giác đều A1 A2 .... A18 nội tiếp đường tròn [O]. Hỏi có bao nhiêu tứ giác
có bốn đỉnh lấy từ 18 đỉnh của đa giác mà có đúng hai cạnh là cạnh của đa giác?
A. 153.
B. 351
C. 468
D. 234.
Lời giải
Trường hợp 1 : hai cạnh là cạnh của đa giác và 2 cạnh này kề nhau
Tại mỗi đỉnh của đa giác có 2 cạnh kề, nên số cách chọn 2 cạnh kề là 18 cách
Đỉnh còn lại không kề với 2 cạnh đã chọn nên có 13 cách
Số tứ giác thỏa mãn là : 18.13 = 234 [ tứ giác]
Trường hợp 2 : Hai cạnh là cạnh của đa giác nhưng không kề nhau
Chọn 1 cạnh của đa giác có 18 cách
Cạnh còn lại sẽ là đoạn nối 2 đỉnh kề trong 14 đỉnh còn lại có 13 cách
18.13
= 117 [ vì tứ giác này bị lặp lại 2 lần ]
2
Vậy số tứ giác thỏa mãn yêu cầu đề bài là : 234 + 117 =
351 [tứ giác]
Nên số tứ giác thỏa mãn là :
Chọn B
Bài toán 10. Cho đa giác đều A1 A2 .... A12 nội tiếp đường tròn [O]. Hỏi có bao nhiêu hình
thang cân [không là hình chữ nhật] có bốn đỉnh lấy từ 12 đỉnh của đa giác?
A. 135.
B. 87.
C. 63.
D. 120.
Lời giải
Trường hợp 1 : 2 đáy của hình thang song song [ hoặc trùng ] với cạnh của đa giác
8
Chọn 1 cạnh của đa giác có 6 cách [ vì có 2 cạnh song song với nhau ta tính 1 phương]
Có 6 đường chéo và cạnh đôi 1 song song theo phương của cạnh đã chọn
Cứ lấy 2 đường trong 6 đường trên ta có 1 hình thang cân, nên số hình thang cân là C6
2
Trong số hình thang cân này có 3 hình chữ nhật
[
Nên số hình thang cân [ không là hình chữ nhật] là : 6 C6 − 3
2
]
Trường hợp 2 : các đáy của hình thang vuông góc với 1 đường chéo là đường kính
Chọn 1 đường chéo là đường kính có 6 cách
Có 5 cặp đỉnh của đa giác đối xứng với nhau qua đường chéo
Chọn 2 trong 5 cặp đỉnh này ta được 1 hình thang cân, nên số hình thang cân là : C5
2
Trong số hình thang cân này có 2 hình chữ nhật
[
Nên số hình thang cân [ không là hình chữ nhật ] là : 6 C5 − 2
[
2
]
] [
]
120
Vậy số hình thang cân không là hình chữ nhật là : 6 C6 − 3 + 6 C5 − 2 =
2
2
Chú ý :
Nếu các em làm theo cách tính số hình thang – số hình chữ nhật thì các em phải trừ đi 2 lần số
hình chữ nhật [ vì mỗi hình chữ nhật được tính 2 lần]
Nên công thức sẽ là :
[ 6.C
2
6
+ 6.C52 ] − 2.C62 =
120
Chọn D
Bài toán 11. Cho đa giác 12 đỉnh A1 A2 ... A12 nội tiếp đường tròn tâm [O]. Biết rằng không
có ba đường chéo nào đồng quy tại một điểm bên trong đường tròn. Tính số giao điểm
nằm bên trong đường tròn của các đường chéo?
A. 495.
B. 11880.
Lời giải
C. 66.
D. 1431
Nhận thấy cứ 1 tứ giác có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác thì 2 đường chéo của tứ giác này cắt
nhau tại 1 điểm nằm trong đường tròn
Vậy số giao điểm nằm bên trong đường tròn của các đường chéo bằng số tứ giác có 4
đỉnh là đỉnh của đa giác
Vậy số giao điểm cần tìm là C12 = 495 điểm
4
Chọn A.
Bài toán 12. Cho đa giác 8 đỉnh A1 A2 ... A8 nội tiếp đường tròn tâm [O]. Biết rằng không
có ba đường chéo nào đồng quy tại một điểm bên trong đường tròn. Gọi S là tập hợp
9
các giao điểm nằm bên trong đa giác của các đường chéo. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh thuộc
tập S . Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác có các cạnh nằm trên đường chéo
là
A.
1
.
1955
1
689
B.
C.
55
6201
D.
55
.
2756
Lời giải
Số giao điểm của các đường chéo nằm bên trong đa giác là C8 = 70
4
Chọn 3 điểm trong S . Số phần tử của không gian mẫu là Ω =C70
3
Số cách chọn tam giác thỏa mãn yêu cầu : Cứ một lục giác bất kỳ thì 3 đường chéo của
các cặp đỉnh đối diện cắt nhau tại 3 điểm tạo thành 1 tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Do đó Ω A =
C8
6
Vậy P [=
A]
C86
1
=
C703 1955
Chọn A
Bài toán 13. Cho đa giác đều A1 A2 .... A18 nội tiếp đường tròn [O]. Hỏi có bao nhiêu tam
giác tù có ba đỉnh lấy từ 18 đỉnh của đa giác?
A. 240.
B. 504
C. 480
D. 180
Lời giải
Gọi tam giác tù cần chọn là ∆ABC tù tại B
Chọn đỉnh A có 18 cách. Khi đó đường kính đi qua A sẽ đi qua đỉnh đối diện.
Khi đó 2 đỉnh B, C nằm cùng 1 nửa đường tròn. Trên nửa đường tròn này có 8 đỉnh của
đa giác. Nên số cách chọn 2 đỉnh B, C là C8
2
Vậy số tam giác tù cần tìm là : 18.C8 = 504
2
Chọn B
Chú ý : Đường kính đi qua đỉnh A chia đường tròn thành 2 nửa đường tròn thì ta chỉ lấy 1
nửa đường tròn, nếu bạn chọn cả 2 nửa đường tròn thì mỗi tam giác tù sẽ bị lặp 2 lần, nên đáp
số phải chia 2. Do đó trong cách chọn ban đầu để tránh bị lặp ta chỉ chọn 1 nửa đường tròn.
Bài toán 14. Cho đa giác đều 2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của
đa giác và có một góc lớn hơn 100
10
°
B. 2018 ⋅ C896 .
A. C1009 .
3
2
C. 2018 ⋅ C897 .
3
D.
3
.
2018 ⋅ C895
Lời giải
Chọn đỉnh A có 2018 cách
Xét cung
AM có số đo 160o
o
360
Ta có cung tạo bởi 2 đỉnh kề nhau của đa giác có số đo :
2018
Nên trên cung
AM chứa được 896 đỉnh của đa giác [ không tính đỉnh A ]
360
[ vì 160 :
≈ 896,9 nên trên cung
AM có 896 đỉnh ]
2018
Chọn 2 đỉnh B, C trong 896 đỉnh có C896 cách
2
Khi đó
ABC chắn cung lớn
AC có số đo lớn hơn cung lớn
AM
Nên
ABC > 100o
Vậy số tam giác tù cần tìm là 2018 ⋅ C896
2
Chọn B
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1. Trên đường thẳng d cho 30 điểm A1 , A2 ,..., A30 . Có bao nhiêu vectơ khác 0 cùng
hướng với A1 A2 được lập từ các điểm trên.
A.59
B.450
C. 875
D. 435
Câu 2. Cho hai đường thẳng d1 / / d 2 . Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, trên
đường thẳng d 2 lấy 7 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác tạo thành từ 3 điểm
trong 17 điểm đã cho?
A. 525.
11
B. 680.
C. 3150.
D. 4080.
Câu 3. Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy 5 điểm phân biệt, trên BC lấy 3 điểm
phân biệt, CD lấy 7 điểm và trên DA lấy 4 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác tạo
thành từ 19 điểm [không lấy 4 đỉnh của hình vuông]
A. 5814.
B. 969.
C. 919.
D. 389.
Câu 4. Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy 5 điểm phân biệt, trên BC lấy 3 điểm
phân biệt, CD lấy 7 điểm và trên DA lấy 4 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác tạo
thành từ 19 điểm [không lấy 4 đỉnh của hình vuông] có đúng một cạnh là nằm trên cạnh
hình vuông?
A. 530.
B. 919.
C. 389.
D.969.
Câu 5. Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy 5 điểm phân biệt, trên BC lấy 3 điểm
phân biệt, CD lấy 7 điểm và trên DA lấy 4 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác tạo
thành từ 19 điểm [không lấy 4 đỉnh của hình vuông] không có cạnh nào nằm trên cạnh
hình vuông?
A. 165.
B. 530.
C. 140.
D. 389.
Câu 6. Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy 5 điểm phânn biệt, trên BC lấy 3 điểm
phân biệt, CD lấy 7 điểm và trên DA lấy 4 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tứ giác tạo
thành từ 4 điểm lấy từ 19 điểm [không lấy 4 đỉnh của hình vuông]
A. 3876.
B. 3835.
C. 3199.
D. 3240.
Câu 7. Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy 5 điểm phân biệt, trên BC lấy 3 điểm
phân biệt, CD lấy 7 điểm và trên DA lấy 4 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tứ giác tạo
thành từ 4 điểm lấy từ 19 điểm [không lấy 4 đỉnh của hình vuông] sao cho có một cạnh
nên trên cạnh hình vuông ban đầu?
A. 3199.
12
B. 2272.
C. 3240.
D. 3876
Câu 8. Trong hình bên, có bao nhiêu tam giác
A. 28
B. 16
C. 22
D.14
1
2
3
4
5
6
7
8
Câu 9. Trong hình bên, có bao nhiêu hình chữ nhật
A. 550
B.1100
C. 330
D. 440
Câu 10. Cho đa giác đều A1 A2 .... A2018 nội tiếp đường tròn [O] . Hỏi có bao nhiêu tam giác
có ba đỉnh lấy từ 2018 đỉnh của đa giác?
A. A2018 .
B. C2018 .
3
C. P2018
3
D. 3!.C2018 .
3
3
Câu 11. Cho đa giác đều A1 A2 .... A2018 nội tiếp đường tròn [O] . Hỏi có bao nhiêu tam giác
có ba đỉnh lấy từ 2018 đỉnh của đa giác mà có đúng một cạnh là cạnh của đa giác?
A. 2018.2016 .
B. 2018.672
C. 2018.2017.
D. 2018.2014
Câu 12. Cho đa giác đều A1 A2 .... A2018 nội tiếp đường tròn [O] . Hỏi có bao nhiêu tam giác
có ba đỉnh lấy từ 2018 đỉnh của đa giác mà có hai cạnh của đa giác?
A. 2018.2 .
B. 1009 .
C. 2018 .
D. 2018.2017
Câu 13. Cho đa giác đều A1 A2 .... A18 nội tiếp đường tròn [O] . Hỏi có bao nhiêu tam giác
có ba đỉnh lấy từ 18 đỉnh của đa giác mà không có cạnh nào là cạnh của đa giác?
A. 546
B. 798.
C. 654.
D.18564
Câu 14. Cho đa giác đều A1 A2 .... A18 nội tiếp đường tròn [O] . Hỏi có bao nhiêu tam giác
vuông có ba đỉnh lấy từ 18 đỉnh của đa giác?
A. 72.
13
B. 144.
C. 162.
D.288.
Câu 15. Cho đa giác đều A1 A2 .... A18 nội tiếp đường tròn [O] . Hỏi có bao nhiêu tam giác
cân có ba đỉnh lấy từ 18 đỉnh của đa giác?
A. 144.
B. 126.
C. 132.
D. 228.
Câu 16. Cho đa giác đều A1 A2 .... A18 nội tiếp đường tròn [O] . Hỏi có bao nhiêu tam giác
tù có ba đỉnh lấy từ 18 đỉnh của đa giác?
A.240.
B. 504
C.480
D.180
Câu 17. Cho đa giác đều A1 A2 .... A2018 nội tiếp đường tròn [O] . Hỏi có bao nhiêu tứ giác
có bốn đỉnh lấy từ 2018 đỉnh của đa giác?
A. C2018
B. A2018
4
C. 4!A2018
4
D. 4C2018 .
4
4
Câu 18. Cho đa giác đều A1 A2 .... A18 nội tiếp đường tròn [O] . Hỏi có bao nhiêu tứ giác có
bốn đỉnh lấy từ 18 đỉnh của đa giác mà có đúng một cạnh là cạnh của đa giác?
A. 18.C16
2
[
B. 18. C14 − 14
2
]
[
C. 18. C14 − 13
2
]
[
D.18. C16 − 15
2
]
Câu 19. Cho đa giác đều A1 A2 .... A18 nội tiếp đường tròn [O] . Hỏi có bao nhiêu tứ giác có
bốn đỉnh lấy từ 18 đỉnh của đa giác mà có đúng hai cạnh là cạnh của đa giác?
A. 153.
B. 351
C. 468
D. 234.
Câu 20. Cho đa giác đều A1 A2 .... A2018 nội tiếp đường tròn [O] . Hỏi có bao nhiêu tứ giác
có bốn đỉnh lấy từ 2018 đỉnh của đa giác mà có đúng ba cạnh là cạnh của đa giác?
A. 2018.
B. 4036.
C. 2017.
D. 4034
Câu 21. Cho đa giác đều A1 A2 .... A12 nội tiếp đường tròn [O] . Hỏi có bao nhiêu hình thang
cân [không là hình chữ nhật] có bốn đỉnh lấy từ 12 đỉnh của đa giác?
A. 150.
B. 87.
C. 63.
D.120.
Câu 22. Cho đa giác đều A1 A2 .... A12 nội tiếp đường tròn [O] . Hỏi có bao nhiêu hình chữ
nhật có bốn đỉnh lấy từ 12 đỉnh của đa giác?
A. 15.
14
B. 12.
C. 30.
D.48.
Cách tính xác suất bài toán liên quan đến hình học cực hay có lời giải
Trang trước
Trang sau
Quảng cáo
1. Cho đa giác có n đỉnh. Xét tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác và:
Có đúng 1 cạnh chung với đa giác: có n[n-4] tam giác
Có đúng 2 cạnh chung với đa giác: có n tam giác.
Không có cạnh chung với đa giác: có
2. Cho đa giác đều có 2n đỉnh.
Số tam giác vuông có 3 đỉnh là 3đỉnh của đa giác là: n[2n-2]
3. Cho đa giác đều có n đỉnh. Số tam giác tù được tạo thành từ 3 trong n đỉnh của đa giác là:
+ Nếu n chẵn có:
+ Nếu n lẻ có:
4. Cho đa giác đều có n đỉnh. Số tam giác nhọn được tạo thành từ 3 trong n đỉnh của đa giác là:
5. Cho đa giác có n đỉnh . Xét tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác.
Chứng minh.
+ Tứ giác có đúng 1 cạnh chung với đa giác
Chọn 1 cạnh trong n cạnh của đa giác nên có n cách.
Chọn 2 đỉnh còn lại trong n-4 đỉnh [tham khảo hình vẽ trên] nên có
Vậy trong trường hợp này có
+ Tứ giác có đúng 2 cạnh chung với đa giác
Trường hợp 1: Tứ giác có hai cạnh kề trùng với cạnh của đa giác
Vì hai cạnh kề cắt nhau tại 1 đỉnh, mà đa giác có n đỉnh nên có n cách chọn hai cạnh kề trùng với cạnh của đa giác.
Chọn 1 đỉnh còn lại trong n-5 đỉnh [bỏ 3 đỉnh tạo nên hai cạnh kề và 2 đỉnh hai bên, tham khảo hình vẽ].
Do đó trường hợp này có n[n-5] tứ giác.
Trường hợp 2: Tứ giác có hai cạnh đối thuộc cạnh của đa giác
Chọn 1 cạnh trong n cạnh của đa giác nên có n cách.
Trong n-4 đỉnh còn lại [bỏ 2 đỉnh tạo nên cạnh đã chọn ở trên và 2 đỉnh liền kề cạnh đã chọn, tham khảo hình vẽ] sẽ tạo nên n-5 cạnh. Chọn 1 cạnh trong n- 5 cạnh đó nên có n-5 cách.
Tuy nhiên trong trường hợp này số tứ giác mình đếm đến 2 lần.
Do đó trường hợp này có n[n-5]/2 tứ giác.
Vậy có n[n-5]+ n[ n-5]/2 tứ giác thỏa mãn.
+ Tứ giác có đúng 3 cạnh chung với đa giác
Đánh số thứ tự các đỉnh của đa giác, ta có n bộ 4 số:
[ 1,2,3,4];[ 2,3,4,5]; ....[ n-3; n- 2;n-1; n]; [n-2; n-1; n;1]; [ n-1; n;1;2] và [n;1;2;3]
Vậy trường hợp này có n tứ giác thỏa mãn.
6. Cho đa giác đều có 2n đỉnh. Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác và tạo thành hình chữ nhật là: C2n.
7. Cho đa giác đều có 4n đỉnh. Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác và tạo thành hình vuông là n.
Quảng cáo
Ví dụ 1: Cho đa giác có 12 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó. Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho bằng
A.24/55 B.31/55 C.28/55 D.27/55
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
+ Số tam giác được tạo từ 3 đỉnh trong 12 đỉnh:
+ Trường hợp 1 : Số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác và 2 cạnh là cạnh của đa giác: cứ 3 đỉnh liên tiếp cho 1 tam giác thỏa mãn đề bài, nên có 12 tam giác
+ Trường hợp 2: Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và 1 cạnh là cạnh của đa giác: Trước tiên ta chọn 1 cạnh trong 12 cạnh của đa giác nên có 12 cách chọn; tiếp theo chọn 1 đỉnh còn lại trong 8 đỉnh [trừ 2 đỉnh tạo nên cạnh đã chọn và 2 đỉnh liền kề với cạnh đã chọn]. Do đó trong trường hợp này có 8.12= 96 tam giác.
⇒ Số tam giác có 3 cạnh không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho là:
-12-96= 112 tam giác
⇒ xác suất cần tìm là:
Ví dụ 2: : Cho đa giác đều 12 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 12 đỉnh của đa giác. Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều là
A.P= 1/55 B.P= 1/220 C.P= 1/4 D.P= 1/14
Hướng dẫn giải :
Đáp án : A
+ Số phần tử không gian mẫu: n[Ω]= =220.
[chọn 3 đỉnh bất kì từ 12 đỉnh của đa giác ta được một tam giác]
+ Gọi A: “3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều ”.
Chia 12 đỉnh thành 3 phần. Mỗi phần gồm 4 đỉnh liên tiếp nhau. Mỗi đỉnh của tam giác đều ứng với 1 điểm của một phần.Chỉ cần chọn 1 đỉnh thì 2 đỉnh còn lại xác định là duy nhất.
Khi đó: P[A]= 4/220= 1/55.
Ví dụ 3: Cho đa giác [H] có n đỉnh [n> 4] .Biết số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của [H] và không có cạnh nào là cạnh của [H] gấp 5 lần số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của [H] và có đúng 1 cạnh là cạnh của [H]. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.n∈[ 4,12] B.n∈ [13; 21] C.n∈ [22; 30] D.n∈ [31; 38]
Hướng dẫn giải :
Đáp án : D
Số tam giác tạo thành có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác là C3n
Số tam giác tạo thành có đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác là n..
Số tam giác tạo thành có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là n[n-4] [điều kiện n> 4].
=> số tam giác tạo thành không có cạnh nào là cạnh của đa giác là :
Quảng cáo
Ví dụ 4: Cho một đa giác đều gồm 2n đỉnh [n>3]. Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số 2n đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là 1/5. Tìm n.
A.n= 4 B.n= 5 C.n= 8 D.n= 10
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
Ta có số phần tử của không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông.
Để ba đỉnh được chọn tạo thành tam giác vuông khi và chỉ khi có hai đỉnh trong ba đỉnh là hai đầu mút của một đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác và đỉnh còn lại là một trong số [2n-2] đỉnh còn lại của đa giác.
Đa giác đều có 2n đỉnh nên có 2n/2=n đường kính.
+ Số cách chọn 1 đường kính là n.
+ Số cách chọn 1 đỉnh còn lại trong 2n- 2 đỉnh là 2n- 2.
Suy ra n[A]= n[2n- 2]
Theo đề bài ta có phương trình:
Ví dụ 5: Cho đa giác đều có 20 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều, xác suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuông, không cân là
A.3/19 B.2/35 C.8/57 D.17/114
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
Số phần tử của không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố chọn được 3 đỉnh là 3 đỉnh của một tam giác vuông, không cân.
+ Để ba đỉnh được chọn tạo thành tam giác vuông khi và chỉ khi có hai đỉnh trong ba đỉnh là hai đầu mút của một đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác và đỉnh còn lại là một trong số 18 đỉnh còn lại của đa giác.
Đa giác đều có 20 đỉnh nên có 20/2=10 đường kính.
+ Số cách chọn 1 đường kính là 10.
+ Số cách chọn 1 đỉnh còn lại trong 20- 2= 18 đỉnh là 18.
⇒ Số tam giác vuông là 10.18= 180
+ Số tam giác vuông cân: Cứ mỗi cách chọn 1 đường kính là có 2 tam giác cân [ 2điểm tạo nên tam giác cân là giao điểm của đường thẳng qua tâm vuông góc với đường kính đã chọn với đường tròn]. Do đó có 10.2 =20 tam giác vuông cân.
⇒ Số tam giác vuông; không cân là: n[A]= 180 – 20= 160
Xác suất của biến cố A là: P[A]= 160/1140= 8/57
Ví dụ 6: Cho đa giác đều có 15 đỉnh. Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M, xác suất để tam giác được chọn là một tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều là
A.8/91 B.18/91 C.20/91 D.73/91
Hướng dẫn giải :
Đáp án : B
- Số phần tử của không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố tam giác được chọn là tam giác cân nhưng không phải tam giác đều.
- Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đều. Xét một đỉnh A bất kỳ của đa giác: Có 7 cặp đỉnh của đa giác đối xứng với nhau qua đường thẳng OA, hay có 7 tam giác cân tại đỉnh A.
Như vậy, với mỗi một đỉnh của đa giác có 7 tam giác nhận nó làm đỉnh tam giác cân.
- Số tam giác đều có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác là 15: 3= 5 tam giác.
- Tuy nhiên, trong các tam giác cân đã xác định ở trên có cả tam giác đều, do mọi tam giác đều thì đều cân tại 3 đỉnh nên tam giác đều được đếm 3 lần.
Suy ra n[A]= 7.15- 3.5= 90
Xác suất của biến cố A là:
P[A]= 90/455= 18/91
Ví dụ 7: Có 5 đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 2cm; 4 cm; 6 cm; 8 cm và 10 cm. Lấy ngẫu nhiên 3 đoạn thẳng trong 5 đoạn thẳng trên, tính xác suất để 3 đoạn thẳng lấy ra lập thành một tam giác.
A.3/10 B.2/3 C.7/10 D.2/5
Hướng dẫn giải :
Đáp án : A
+ Không gian mẫu là số cách lấy 3 đoạn thẳng từ 5 đoạn thẳng.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là :
+ Gọi A là biến cố “3 đoạn thẳng lấy ra lập thành một tam giác”. Để ba đoạn thẳng tạo thành một tam giác chỉ có các trường hợp: [4; 6; 8] hoặc [6; 8; 10] hoặc[ 4; 8; 10].
Suy ra số phần tử của biến cố A là n[A]= 3.
Vậy xác suất cần tìm là: P[A]= 3/10.
Ví dụ 8: Cho đa giác đều 100 đỉnh nội tiếp một đường tròn. Số tam giác tù được tạo thành từ 3 trong 100 đỉnh của đa giác là
A.44100 B.58800 C.78400 D.117600
Hướng dẫn giải :
Đáp án : D
Đánh số các đỉnh là A1; A2; ...;A100
Xét đường chéo A1A51 của đa giác là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đều chia đường tròn ra làm hai phần, mỗi phần có 49 điểm: từ A2 đến A50 và A52 đến A100.
Khi đó, mỗi tam giác có dạng A1AiAj là tam giác tù nếu Ai và Aj cùng nằm trong nửa đường tròn
+ Chọn nửa đường tròn: có 2 cách chọn.
+ Chọn hai điểm Ai; Aj là hai điểm tùy ý được lấy từ 49 điểm A2; A3;..; A50 có:
Giả sử Ai nằm giữa A1 và Aj thì tam giác A1AiAj tù tại đỉnh A1.
Mà ∆AjAiA1= ∆A1AiAj nên kết quả bị lặp hai lần.
+ Có 100 cách chọn đỉnh.
Vậy số tam giác tù là 2.117600/2=117600
Ví dụ 9: Cho đa giác có 20 đỉnh. Có bao nhiêu tứ giác được tạo thành mà có các đỉnh là các đỉnh của đa giác và có đúng 1 cạnh chung với đa giác ?
A.1700 B.2100 C.2400 D.3500
Hướng dẫn giải :
Đáp án : B
Số các tứ giác được tạo thành mà có các đỉnh là các đỉnh của đa giác và có đúng 1 cạnh chung với đa giác là:
Ví dụ 10: Cho đa giác đều có 20 đỉnh. Tính xác suất mà hai đường chéo được chọn một cách ngẫu nhiên sẽ cắt nhau bên trong đa giác.
A.57/169 B.43/169 C.59/248 D.62/165
Hướng dẫn giải :
Đáp án : A
Gọi A là biến cố hai đường chéo được chọn sẽ cắt nhau bên trong đa giác.
Đa giác có 20 đỉnh nên có:
⇒ Số phần tử của không gian mẫu là: n[Ω]=
Biến cố chính là số tứ giác có 4 đỉnh được chọn từ 20 đỉnh của đa giác [vì cứ mỗi tứ giác tạo thành sẽ có đúng một cặp đường chéo cắt nhau trong đa giác] nên số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: n[A] =
⇒ Xác suất của biến cố A là:
Ví dụ 11: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật OMNP với M[0; 10]; N[100;10] và P[100; 0]. Gọi S là tập hợp tất cả các điểm A[x;y] với x; y∈Z nằm bên trong [kể cả trên cạnh] của OMNP. Lấy ngẫu nhiên một điểm A[ x;y]∈S. Xác suất để x+ y≤90 bằng
A.169/200 B.213/765 C.86/101 D.125/469
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
- Nhận thấy các điểm cần tìm nằm trên các đường thẳng y= m với m= 0; 1; 2...; 10
Ứng với mỗi đường thẳng y= m tương ứng có101 giá trị của x thỏa mãn
x∈{0,1,2,..., 100.
Suy ra tập S có: 11. 101= 1111 phần tử.
- Số phần tử của không gian mẫu là:
- Gọi B là biến cố lấy được điểm A[x; y]∈S;x+y≤90
+ Trên đường y=0 lần lượt có 91 điểm thỏa mãn x∈ {0,1,2..,90}.
+ Trên đường y= 1 lần lượt có 90 điểm thỏa mãn x ∈ { 0;1; 2; ...;89}.
+ Trên đường y=10 lần lượt có 81 điểm thỏa mãn x∈ { 0,1,2,..., 80}.
Suy ra n[B]= 91+ 90+ ...+ 81= 946
Xác suất của biến cố B là: P[B]= 946/1111= 86/101
Ví dụ 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ở góc phần tư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân biệt; cứ thế ở các góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lần lượt lấy 3,4,5 điểm phân biệt [các điểm không nằm trên các trục tọa độ]. Trong 14 điểm đó ta lấy 2 điểm bất kỳ. Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm đó cắt hai trục tọa độ. [ biết rằng đường thẳng đi qua 2 điểm bất kì không song song với hai trục tọa độ]
A.8/91 B.23/91 C.68/91 D.83/91
Hướng dẫn giải :
Đáp án : B
+ Không gian mẫu là số cách chọn 2 điểm bất kỳ trong 14 điểm đã cho.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
+ Gọi A là biến cố “ Đoạn thẳng nối 2 điểm được chọn cắt hai trục tọa độ”.
+ Để xảy ra biến cố A thì hai đầu đoạn thẳng đó phải ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba hoặc phần tư thứ hai và thứ tư.
+ Hai đầu đoạn thẳng ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba, có
+ Hai đầu đoạn thẳng ở góc phần tư thứ hai và thứ tư, có
Suy ra số phần tử của biến cố A là n[A]= 8+ 15= 23.
Vậy xác suất cần tính P[A]= 23/91
Câu 1: Cho đa giác [H] có 12 cạnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của của đa giác [H]. Tính xác suất để tam giác được chọn có 2 cạnh là cạnh của đa giác [H]?
A.4/55 B.3/25 C.7/25 D.3/55
Đáp án : D
+ Số phần tử của không gian mẫu là: n[Ω]=
+ Gọi A là biến cố tam giác được chọn có 2 cạnh là cạnh của đa giác [H].
⇒ n[A] = 12.
Xác suất của biến cố A là:
P[A]=12/[]= 3/55
Câu 2: Cho đa giác đều 18 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 12 đỉnh của đa giác. Xác suất để đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều là
A.P = 1/204 B. P = 1/220 C.P = 1/136 D.P = 1/142
Đáp án : D
+ Số phần tử không gian mẫu:
[chọn 3 đỉnh bất kì từ 18 đỉnh của đa giác ta được một tam giác]
+ Gọi A: “3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều ”.
Chia 18 đỉnh thành 3 phần. Mỗi phần gồm 6 đỉnh liên tiếp nhau. Mỗi đỉnh của tam giác đều ứng với 1 điểm của một phần.Chỉ cần chọn 1 đỉnh thì 2 đỉnh còn lại xác định là duy nhất.
Khi đó: P[A]= 6/816= 1/136.
Câu 3: Cho đa giác [H] có n đỉnh [n> 4] .Biết số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của [H] và không có cạnh nào là cạnh của [H] gấp 5/6 lần số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của [H] và có đúng 1 cạnh là cạnh của [H]. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.n∈[ 4,12] B.n∈ [13; 21] C.n∈ [22; 30] D.n∈ [31; 38]
Đáp án : A
Số tam giác tạo thành có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác là C3n.
Số tam giác tạo thành có đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác là n..
Số tam giác tạo thành có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là n[n-4] [điều kiện n> 4].
=> số tam giác tạo thành không có cạnh nào là cạnh của đa giác là :
Câu 4: Cho đa giác có 60 đỉnh. Người ta lập một tứ giác tùy ý có 4 đỉnh là các đỉnh của đa giác. Xác suất để lập được một tứ giác có 4 cạnh đều là đường chéo của đa giác đã cho gần nhất với số nào trong các số sau?
A.43,48% B.40,45% C.80,7% D.64,5%
Đáp án : C
Câu 5: Cho một đa giác đều 12 đỉnh nội tiếp đường tròn. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác, xác suất để 4 đỉnh được chọn ra tạo thành một hình chữ nhật bằng:
A.2/15 B.13/15 C.1/33 D.13/33
Đáp án :
Gọi A là biến cố 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của hình chữ nhật.
+ Số phần tử của không gian mẫu là :
+ Đa giác đều đã cho có: 12: 2= 6 đường chéo lớn.
+ Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 đỉnh trong 12 đỉnh có các đường chéo là hai đường chéo lớn. [ chú ý: tứ giác có 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình chữ nhật].
Suy ra số phần tử của biến cố A là :
+ Xác suất của biến cố A là :
Câu 6: Cho một đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn. Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh. Tìm n.
A.14 B.n= 8 C. n= 12 D. n= 10
Đáp án : B
+ Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong số 2n đỉnh của đa giác đã cho là: C32n
+ Đa giác đều đã cho có: 2n : 2= n đường chéo lớn.
+ Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 đỉnh trong 12 đỉnh có các đường chéo là hai đường chéo lớn. [ chú ý: tứ giác có 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình chữ nhật] .
Câu 7: Cho đa giác đều có 20 cạnh. Có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành nhưng không phải là hình vuông, có các đỉnh là đỉnh của đa giác đều đã cho ?
A. 35 B. 40 C. 45 D. 50
Đáp án : B
Số hình chữ nhật được tạo thành [bao gồm cả hình vuông] là C210=45
Số hình vuông được tạo thành là 20/4=5
Vậy số hình chữ nhật thõa mãn yêu cầu bài toán là: 45- 5= 40
Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy; ở góc phần tư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân biệt; cứ thế ở các góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lần lượt lấy 3,4,5 điểm phân biệt [các điểm không nằm trên các trục tọa độ]. Trong 14 điểm đó ta lấy 2 điểm bất kỳ. Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm đó cắt hai trục tọa độ.
A.68/91 B.23/91 C.18/91 D.72/91
Đáp án : B
- Không gian mẫu là số cách chọn 2 điểm bất kỳ trong 14 điểm đã cho.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là :
- Gọi A là biến cố “ Đoạn thẳng nối 2 điểm được chọn cắt hai trục tọa độ”.
Để xảy ra biến cố A thì hai đầu đoạn thẳng đó phải ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba hoặc phần tư thứ hai và thứ tư.
- Hai đầu đoạn thẳng ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba, có:
- Hai đầu đoạn thẳng ở góc phần tư thứ hai và thứ tư, có :
Suy ra số phần tử của biến cố A là: n[A]=8+15= 23
Vậy xác suất cần tính: P[A]= 23/91
Câu 9: Trên mặt phẳng Oxy; ta xét một hình chữ nhật ABCD có các điểm A[ -2;0]; B[-2;2]; C[ 4; 2] và D[ 4; 0]. Một con bọ ngựa nhảy trong hình chữ nhật đó tính cả trên cạnh hình chữ nhật sao cho chân nó luôn chạm xuống mặt phẳng tại các điểm có tọa độ nguyên. Tính xác suất để nó chạm xuống điểm M[x; y ]mà x+ y < 2?
A.1/3 B.3/7 C.4/7 D.10/17
Đáp án : B
+ Số các điểm có tọa độ nguyên thuộc hình chữ nhật là 7.3= 21 điểm vì :
+ Để con bọ ngựa chạm xuống các điểm M[x ; y] có x+ y < 2 thì con bọ ngựa sẽ nhảy trong khu vực hình thang BEIA
Để M[x ;y] có tọa độ nguyên thì :
+ Nếu x∈{-2; -1}thì y∈ {0,1,2} ⇒ có 2.3= 6 điểm.
+ Nếu x= 0 thì y∈ {0 ; 1} ⇒ có 2 điểm.
+ Nếu x= 1 ⇒ y=0 ⇒ có 1 điểm.
Suy ra : có tất cả 6+ 2+ 1 = 9 điểm thỏa mãn.
Vậy xác suất cần tính:P= 9/21= 3/7.
Câu 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, chọn ngẫu nhiên một điểm mà tọa độ là số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn hay bằng 4. Nếu các điểm đều có cùng xác suất được chọn như nhau, vậy thì xác suất để chọn được một điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2 là:
Đáp án : C
Gọi tọa độ điểm M[x; y] thỏa mãn x; y∈Z và |x|≤4;|y|≤4
⇒ x;y∈ { -4; -3; -2; -1; 0; 1;2; 3; 4}
⇒ có 9 cách chọn x; 9 cách chọn y.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là: n[Ω]= 9.9= 81
Gọi điểm M’[x;y] thỏa mãn x;y ∈Z và OM≤2.
+ Nếu x= 0 ⇒ y∈ { -2; -1;0; 1;2}. Do đó có 1.5= 5 cách chọn.
+ Nếu x= ± 1 ⇒y∈{ 0; ±1}. Do đó có 2.3= 6 cách chọn.
+ Nếu x= ± 2 ⇒ y=0 . Do đó có 2.1= 2 cách chọn.
Suy ra n[A]= 5+ 6+ 2= 13.
Vậy xác suất cần tín:P= 13/81
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước
Trang sau
Các bài toán đếm liên quan đến đa giác và đa giác đều – Lê Thảo
- Tổ hợp và xác suất
Facebook Youtube Facebook-messenger