Tìm gtln gtnn [giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất] của hàm ѕố lượng giác như thế nào? Trong bài ᴠiết nàу tôi ѕẽ giới thiệu đến các bạn cách tìm trong trường hợp không ѕử dụng đạo hàm. Đâу là cách mà các bạn học ѕinh lớp 11 ѕau khi học хong chương lượng giác cần nắm được. Nào hãу cùng đọc bài ᴠiết dưới đâу để tìm hiểu nhé.
Bạn đang хem: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm ѕố lượng giác
Đáp án: $2\le y\le 4$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$y=\sin^2x-2\sin x+3$
$\to y=\sin^2x-2\sin x+1+2$
$\to y=[\sin x-1]^2+2$
Vì $-1\le \sin x\le 1$
$\to -2\le \sin x-1\le 0$
$\to 0\le [\sin x-1]^2\le 4$
$\to 2\le [\sin x-1]^2+2\le 6$
$\to 2\le y\le 4$
Hàm số \[y = \sin x\] có tập xác định là:
Tập giá trị của hàm số \[y = \sin x\] là:
Hàm số \[y = \cos x\] nghịch biến trên mỗi khoảng:
Đồ thị hàm số \[y = \tan x\] luôn đi qua điểm nào dưới đây?
Hàm số nào sau đây không là hàm số lẻ?
Hàm số nào sau đây có đồ thị không là đường hình sin?
Đường cong trong hình có thể là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
Hàm số \[y = \dfrac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 3x - 1}}\] xác định trên:
Tìm chu kì của hàm số \[y = f\left[ x \right] = \tan 2x\].
Tìm chu kì của các hàm số sau \[f\left[ x \right] = \sin 2x + \sin x\]
Tìm chu kì của các hàm số sau \[y = \tan x.\tan 3x\].
Tìm chu kì của các hàm số sau \[y = \sin \sqrt x \]
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hàm số nào sau đây không chẵn, không lẻ?
Hàm số nào trong các hàm số sau có đồ thị nhận \[Oy\] làm trục đối xứng ?
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = 2{\cos ^2}x + \sin 2x\] là
Cho hàm số lượng giác \[f[x] = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}\].
Hàm số \[y = \sin x\] có tập xác định là:
Tập giá trị của hàm số \[y = \sin x\] là:
Hàm số \[y = \cos x\] nghịch biến trên mỗi khoảng:
Đồ thị hàm số \[y = \tan x\] luôn đi qua điểm nào dưới đây?
Hàm số nào sau đây không là hàm số lẻ?
Hàm số nào sau đây có đồ thị không là đường hình sin?
Đường cong trong hình có thể là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
Hàm số \[y = \dfrac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 3x - 1}}\] xác định trên:
Tìm chu kì của hàm số \[y = f\left[ x \right] = \tan 2x\].
Tìm chu kì của các hàm số sau \[f\left[ x \right] = \sin 2x + \sin x\]
Tìm chu kì của các hàm số sau \[y = \tan x.\tan 3x\].
Tìm chu kì của các hàm số sau \[y = \sin \sqrt x \]
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hàm số nào sau đây không chẵn, không lẻ?
Hàm số nào trong các hàm số sau có đồ thị nhận \[Oy\] làm trục đối xứng ?
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = 2{\cos ^2}x + \sin 2x\] là
Cho hàm số lượng giác \[f[x] = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}\].
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: y = 2sinx - sin3x trên [0;π]
A.
Min y = 0; Max y =
B.
Min y = 2; Max y =
C.
Min y = 3; Max y =
D.
Min y = 1; Max y =
Tìm gtln gtnn [giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất] của hàm số lượng giác như thế nào? Trong bài viết này tôi sẽ giới thiệu đến các bạn cách tìm trong trường hợp không sử dụng đạo hàm. Đây là cách mà các bạn học sinh lớp 11 sau khi học xong chương lượng giác cần nắm được. Nào hãy cùng đọc bài viết dưới đây để tìm hiểu nhé.
Bạn đang xem: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác trên đoạn
I. CÁCH TÌM GTLN GTNN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC BẬC NHẤT VÀ CHỨA CĂN
1.HÀM BẬC NHẤT ĐỐI VỚI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác có dạng bậc nhất y=at+b [trong đó t là một hàm số lượng giác] là ta đánh giá từ hàm t. Thường các hàm số t là các hàm số sin hoặc cos có miền giá trị là một đoạn. Chúng ta cũng cần nhớ lại kiến thức cơ bản sau: −1≤sinx≤1, −1≤cosx≤1 để làm bài nhé.
Ví dụ 1:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác y=2sinx+3.
Lời giải:
Tập xác định của hàm số là R.
Ta có: −1≤sinx≤1⇔−2≤2sinx≤2⇔1≤2sinx+3≤5.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y=2sinx+3 là 5 khi sinx=1.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2sinx+3 là 1 khi sinx=−1.
2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CÓ CHỨA CĂN BẬC 2
Đối với dạng toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác có chứa căn bậc hai thì cần lưu ý hàm số căn bậc 2 của x là hàm số đồng biến và có tập xác định là các số không âm.
Ví dụ 2:
Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số
Lời giải:
Điều kiện xác định của hàm số đã cho là 2cosx+1≥0.
Ta có: −1≤cosx≤1⇔−2≤2cosx≤2⇔−1≤2cosx≤3.
Suy ra: 0≤2cosx+1≤3
.Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là y=3 khi cosx=1.
Xem thêm: Văn Bản Báo Cáo Tình Hình Học Tập Và Rèn Luyện Đạo Đức Của Bản Thân Em
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0 khi cosx=−1/2.
II. TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Với hàm số dạng y=at²+bt+c [a≠0] trong đó t là một hàm số lượng giác thì ta giải bằng cách đặt ẩn phụ. Sau đó tiến hành tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn, khoảng.
Ví dụ 3:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sin²x+2sinx-3.
Lời giải:
Tập xác định của hàm số R.
Đặt t=sinx, −1≤t≤1. Ta có: y=t²+2t−3.
Dễ thấy hàm số y=t²+2t−3 đồng biến trên nên giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=t²+2t−3 lần lượt là y[−1]=−4 và y[1]=0. Đó cũng tương ứng là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y=sin²x+2sinx-3.
III. TÌM GTLN GTNN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
Với hàm số lượng giác có dạng hàm số bậc nhất đối với sinx và cosx thì ta sử dụng điều kiện có nghiệm. Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là:
Ví dụ 4:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=3sinx+4cosx+5.
Lời giải:
Tập xác định của hàm số là R.
Ta có: y=3sinx+4cosx+5⇔3sinx+4cosx=y−5.
Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là: [y-5]²≤3²+4²⇔−5≤y−5≤5⇔0≤y≤10.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 10.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 0.
Trên đây là cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác lớp 11 mà tôi giới thiệu đến các bạn. Chúc các bạn thành công!
Ta có: -1 ≤ sin x ≤ 1
⇒ -2 ≤ -2sin x ≤ 2
⇒ 1 ≤ 3 – 2sin x ≤ 5
hay 1 ≤ y ≤ 5.
Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 5.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Tìm tập xác định của hàm số: y = tanx - π3
Xem đáp án » 31/03/2020 26,108
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = 2cosx + 1
Xem đáp án » 31/03/2020 23,111
Tìm tập xác định của hàm số: y = cotx + π6
Xem đáp án » 31/03/2020 17,258
Dựa vào đồ thị của hàm số y = sin x, vẽ đồ thị của hàm số y = |sin x|
Xem đáp án » 31/03/2020 16,803
Tìm tập xác định của hàm số: y = 1 + cos xsin x
Xem đáp án » 31/03/2020 16,074
Hãy xác định giá trị của x trên đoạn [- π ; 3π/2] để hàm số y = tan x:
a. Nhận giá trị bằng 0
b. Nhận giá trị bằng 1
c. Nhận giá trị dương
d. Nhận giá trị âm
Xem đáp án » 31/03/2020 7,989
Video liên quan
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Quảng cáo
Để tìm được giá trị lớn nhất;giá trị nhỏ nhất của hàm số ta cần chú ý:
+ Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cosx ≤ 1; -1 ≤ sinx ≤ 1
+Với mọi x ta có: 0 ≤ |cosx| ≤ 1 ;0 ≤ |sinx| ≤ 1
+ Bất đẳng thức bunhia –copski: Cho hai bộ số [a1; a2] và [b1;b2] khi đó ta có:
[a1.b1+ a2.b2 ]2 ≤ [ a12+ a22 ].[ b12+ b22 ]
Dấu “=” xảy ra khi: a1/a2 = b1/b2
+ Giả sử hàm số y= f[x] có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Khi đó; tập giá trị của hàm số là [m; M].
+ Phương trình : a. sinx+ b. cosx= c có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 ≥ c2
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 1- 2|cos3x|.
A. M=3 ; m= - 1.
B. M= 1 ; m= -1.
C. M=2 ;m= -2.
D. M=0 ; m= -2.
Lời giải:.
Chọn B.
Với mọi x ta có : - 1 ≤ cos3x ≤ 1 nên 0 ≤ |cos3x| ≤ 1
⇒ 0 ≥ -2|cos3x| ≥ -2
Ví dụ 2: Hàm số y= 1+ 2cos2x đạt giá trị nhỏ nhất tại x= x0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.x0=π+k2π, kϵZ .
B.x0=π/2+kπ, kϵZ .
C.x0=k2π, kϵZ .
D.x0=kπ ,kϵZ .
Lời giải:.
Chọn B.
Ta có - 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ - 0 ≤ cos2x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 1+2cos2x ≤ 3
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1 .
Dấu ‘=’ xảy ra khi cosx=0 ⇒ x=π/2+kπ, kϵZ .
Quảng cáo
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= sin2x+ 2cos2x.
A.M= 3 ;m= 0
B. M=2 ; m=0.
C. M=2 ; m= 1.
D.M= 3 ; m= 1.
Lời giải:.
Chọn C.
Ta có: y = sin2 x+ 2cos2x = [sin2x+ cos2x] + cos2x = 1+ cos2 x.
Do: -1 ≤ cosx ≤ 1 nên 0 ≤ cos2 x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ cos2 x+1 ≤ 2
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là M= 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là m= 1
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 4sinx - 3
A.M= 1; m= - 7
B. M= 7; m= - 1
C. M= 3; m= - 4
D. M=4; m= -3
Lời giải
Chọn A
Ta có : - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên - 4 ≤ 4sinx ≤ 4
Suy ra : - 7 ≤ 4sinx-3 ≤ 1
Do đó : M= 1 và m= - 7
Ví dụ 5: Tìm tập giá trị T của hàm số y= -2cos2x + 10 .
A. [5; 9]
B.[6;10]
C. [ 8;12]
D. [10; 14]
Lời giải:
Chọn C
Với mọi x ta có : - 1 ≤ cos2x ≤ 1 nên-2 ≤ -2cos2x ≤ 2
⇒ 8 ≤ -2cos2x+10 ≤ 12
Do đó tập giá trị của hàm số đã cho là : T= [ 8 ;12]
Quảng cáo
Ví dụ 6: Tính độ dài giá trị của hàm số y= 10- 2cos2x
A. 10
B. 8
C.6
D. 4
Lời giai
Với mọi x ta có: - 1 ≤ cos2x ≤ 1 nên-2 ≤ -2cos2x ≤ 2
Suy ra: 8 ≤ 10-2cos2x ≤ 12
Do đó; tập giá trị của hàm số đã cho là: [8; 12] và độ dài đoạn giá trị của hàm số là : 12 – 8= 4
Chọn D.
Ví dụ 7: Tính tổng giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số sau: y= √3 sin[ 2016x+2019]
A. - 4032
B. √3
C. -√3
D. 0
Lời giải:
Chọn D
Với mọi x ta có :- 1 ≤ sin[2016x+2019] ≤ 1
⇒ -√3 ≤ √3sin[2016x+2019] ≤ √3
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -√3 và giá trị lớn nhất của hàm số là √3
⇒ Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là - √3+ √3=0
Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 1/[1+sinx]
A. m= 1/2
B. m= 1/√2
C. m= 1
D. m= √2
Lời giải:
Chọn A
Điều kiện xác định : sinx ≠ -1 hay x ≠ [- π]/2+k2π
+ Với mọi x thỏa mãn điều kiện ta có : - 1 0
+ Nếu mẫu 1+ sinx > 0 thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 1+ sinx đạt giá trị lớn nhất
Hay 1+ sinx=2 < ⇒ sinx= 1[ thỏa mãn điều kiện] .
Khi đó ymin = 1/2
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là 1/2 khi sinx= 1
Ví dụ 9: Tìm giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m của hàm số: y= 2018sin[ 9x+π/100]+2000
A. m=18 ; M=4018
B. m = -18; M= 18
C. m=-18; M= 4018
D. Đáp án khác
Lời giải:
Chọn C
Hàm số xác định trên R.
Với mọi x ta có: - 1 ≤ sin[ 9x+π/100] ≤ 1 nên - 2018 ≤ 2018sin[ 9x+π/100] ≤ 2018
⇒ -18 ≤ 2018sin[ 9x+π/100]+2000 ≤ 4018
⇒ giá trị nhỏ nhất của hàm số là -18 khi sin[ 9x+π/100]=-1
Giá trị lớn nhất của hàm số là 4018 khi sin[ 9x+π/100]=1
Ví dụ 10: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= ∜sinx- √cosx.
A. m= -1; M=1.
B. m = 0; M=1
C. m= -1;M=0
D. m= -1 và M không tồn tại.
Lời giải:
Chọn A
Với mọi x thỏa mãn điều kiện : sinx > 0 và cosx > 0 .Ta có:
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là m= – 1 khi: [sinx=0 và cosx=1 ⇒ x= k2π.
Hàm số đạt giá trị lớn nhất là M=1 khi [sinx=1 và cosx=0 ⇒ x= π/2+k2π.
Ví dụ 11. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y= cos2 x – 6cosx + 11. Tính M.m
A.30
B.36
C.27
D.24
Lời giải:
Ta có: cos2 x – 6cosx +11 = [ cos2x – 6cosx + 9] +2 = [cosx -3]2 + 2
Do - 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ - 4 ≤ cosx-3 ≤ -2
⇒ 0 ≤ [cosx-3]^2 ≤ 16
⇒ 2 ≤ [cosx-3]^2+2 ≤ 18
Suy ra:M= 18 và m= 2 nên M. m= 36.
Chọn B.
Ví dụ 12. Gọi M và lần lượt là giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của hàm số
y=[cosx+2sinx+3]/[2cosx-sinx+4]. Tính S= M+11m
A.4
B.5
C. 6
D. 8
Lời giải:.
Gọi y0 là một giá trị của hàm số.
Khi đó phương trình y0=[cosx+2sinx+3]/[2cosx-sinx+4] có nghiệm.
⇒ y0.[ 2cosx- sinx + 4] = cosx +2sinx + 3 có nghiệm
⇒ 2y0.cosx – sinx.y0 + 4y0- cosx – 2sinx – 3=0 có nghiệm
⇒ [ 2y0 -1]cosx – [ y0+2].sinx =3- 4y0 [*]
Phương trình [*] có nghiệm khi và chỉ khi :
[2y0-1]2 + [ y0 + 2]2 ≥ [3-4y0]2
⇒ 4y02 – 4y0 +1 +y02 +4y0 + 4 ≥ 9-24y0+16y02
⇒ 11y02 – 24y0 + 4 ≤ 0 2/11 ≤ y0 ≤ 2
Suy ra: M=2 và m=2/11 nên S= M+ 11m= 4
Chọn A.
Ví dụ 13. Cho hàm số y= √[1+2sin2 x]+ √[1+2〖cos2 x]-1. Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số. Khi đó; giá trị M+ m gần với giá trị nào nhất?
A. 3,23
B. 3,56
C. 2,78
D.2,13
Lời giải:
+ Xét t= √[1+2sin2 x]+ √[1+2cos2 x]
⇒ t2 = 1+ 2sin2 x+ 1+ 2cos2 x+ 2. √[[1+2sin2 x].[ 1+2cos2 x] ]
=4+2√[3+ sin2 2x]
Mà sin22x ≥ 0 nên t2 ≥ 4+ 2√3
Mà t > 0 nên t ≥ √[4+2√3] =1+ √3
Suy ra: y= t-1 ≥ √3
Dấu “=” xảy ra khi sin2x=0 .
+ Lại có:
√[1+2sin2 x]+ √[1+2cos2 x] ≤ √[[1^2+ 1^2 ].[ 1+2sin2x+ 1+2cos2 x] ]= 2√2
⇒ y= √[1+2sin2 x]+ √[1+2cos2 x]-1 ≤ 2√2-1
Dấu “=” xảy ra khi sin2 x= cos2x
Vậy {[m= √3 và M=2√2-1] ⇒ M+ m≈3,56
Chọn B.
Câu 1:Gọi M; m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=8sin2x+3cos2x . Tính P= M- 2m.
A. P= - 1
B. P= 1
C. P= 2
D. P=0
Chọn A.
Ta có: y = 8sin2 x + 3cos2x = 8sin2x + 3[ 1 – 2sin2x ] = 2sin2x+ 3.
Mà -1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ 0 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ 3 ≤ 2sinx+3 ≤ 5 ⇒ 3 ≤ y ≤ 5.
Suy ra: M= 5 và m= 3
Do đó: P = 5- 2.3= - 1
Câu 2:Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y= 4sin2x + 3.cos2x .
A. M= 3
B. M= 1
C. M= 5
D. M= 4
Chọn C.
Ta có: y = 4sin2x+ 3cos2x = 5.[ 4/5.sin2x+ 3/5 cos2x].
Đặt cosα= 4/5 và sinα= 3/5
Khi đó: y= 5[ cosα.sin2x+sinα.cos2x]=5.sin[ α+2x]
⇒ - 5 ≤ y ≤ 5
Suy ra M= 5.
Câu 3:Gọi M ; m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= sin2x – 4sinx+ 5. Tính M+ m.
A.3
B.8
C.10
D.12
Chọn D.
Ta có: y= sin2x – 4sinx+ 5= [ sinx- 2]2 + 1.
Do: -1 ≤ sinx ≤ 1 nên-3 ≤ sinx-2 ≤ -1
⇒ 1 ≤ [ sinx-2]2 ≤ 9 ⇒ 2 ≤ [ sinx-2]2+1 ≤ 10 .
Suy ra: M=10 và m = 2
Do đó; M+ m = 12
Câu 4:Cho hàm số y= cos2x- cosx có tập giá trị là T. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc T.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Chọn C.
Ta có: cos2x- cosx = [cosx- 1/2]2- 1/4 .
Do - 1 ≤ cosx ≤ 1 nên [- 3]/2 ≤ cosx- 1/2 ≤ 1/2
⇒ 0 ≤ [ cosx- 1/2]2 ≤ 9/4 ⇒ [- 1]/4 ≤ [ cosx- 1/2]2- 1/4 ≤ 2.
Do đó [- 1]/4 ≤ y ≤ 2. Vậy tập giá trị của hàm số là [[- 1]/4;2]
⇒ Trong đoạn [ -1/4;2] có ba giá trị nguyên thỏa mãn là 0; 1 và 2.
Do đó có 3 giá trị thỏa mãn.
Câu 5:Hàm số y= cos2x+ 2sinx+ 2 đạt giá trị nhỏ nhất tại x0. Mệnh đề nào sau đây là đúng.
A. x= [-π]/2+k2π.
B. x= π/2+k2π.
C. x= k π
D. x= k2π
Chọn B.
Ta có: cos2x+ 2sinx+ 2 = 1- sin2x+ 2sinx + 2= - sin2x + 2sinx+ 3 = - [sinx-1]2 + 4
Mà - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên-2 ≤ sinx-1 ≤ 0
Suy ra: 0 ≤ [ sinx-1]2 ≤ 4 ⇒ -4 ≤ - [sinx-1]2 ≤ 0
⇒ 0 ≤ 4 - [sinx-1]2 ≤ 4
Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi sinx= 1 ⇒ x= π/2+k2π.
Câu 6:Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của hàm số y= sin4x -2 cos2x+ 1.
A.M= 2; m= - 2
B.M=1; m=0
C.M=4;m= - 1
D M=2;m= - 1
Chọn D.
Ta có: sin4x- 2cos2x + 1= sin4x – 2[ 1- sin2x] + 1
= sin4x + 2sin2x - 1 = [ sin2 x +1]22 - 2
Mà: 0 ≤ sin2 x ≤ 1 nên 1 ≤ sin2 x+1 ≤ 2
Suy ra: 1 ≤ [ sin2 x+1]2 ≤ 4 ⇒ -1 ≤ [ sin2 x+1]2-2 ≤ 2 .
Nên M= 2; m= - 1
Câu 7:Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 4sin4x – cos4x.
A. - 3
B. - 1
C. 3
D. 5
Chọn B.
Ta có: y= 4sin4x – cos4x= 4.[[1-cos2x]/2]2-[2cos2 2x-1]
= 1- 2cos2x+ cos22x – 2cos2x + 1
= - cos42x - 2cos2x + 2 = - [cos2x+ 1]2 + 3
Mà -1 ≤ cos2x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ cos2x+1 ≤ 2 ⇒ 0 ≤ [cos2x+1]2 ≤ 4 ⇒ -1 ≤ -[cos2x+1]2+3 ≤ 3
Suy ra m= - 1.
Câu 8:Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 2[ sinx - cosx]. Tính P= M+ 2m.
A. 2
B. - 2√2
C. - √2
D. 4√2
Chọn B
Ta có : 2[ sinx- cosx]=2√2 sin[ x- π/4]
Với mọi x thì : - 1 ≤ sin[ x- π/4] ≤ 1
⇒ - 2√2 ≤ 2√2.sin[ x- π/4] ≤ 2√2
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là M= 2√2 và m= -2√2
⇒ P= M+ 2m= - 2√2
Câu 9:Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= √[1- cos2 x]+1là:
A. 2 và 1
B. 0 và 3
C. 1 và 3
D.1 và 1+ √2
Ta có : √[1- cos2 x]= √[sin2 x]= |sinx|
Do đó; hàm số y= √[1- cos2 x]+1=|sinx|+1
Với mọi x ta có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên 0 ≤ |sinx| ≤ 1
⇒ 1 ≤ |sinx|+1 ≤ 2
⇒ giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 2 và 1.
Chọn A
Câu 10:Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 4sin2 x+ 6cos2x+ 2 là
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
Ta có: 4sin2x + 6cos2 x+ 1= 2[ 1- cos2x] + 3[ 1+cos2x] + 2 = cos2x+ 7
Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cos2x ≤ 1 nên 6 ≤ cos2x+7 ≤ 8
Suy ra: giá trị nhỏ nhất của hàm số là 6
Chọn B.
Câu 11:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
A.max y=4,min y=3/4
B.max y=3,min y=2
C.max y=4,min y=2
D.max y=3,min y=3/4
Đặt t=sin2x, 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ cos2x=1-2t
⇒ y= 2t+[1-2t]2=42-2t+1=[2t-1/2]2+3/4
Do 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ -1/2 ≤ 2t-1/2 ≤ 3/2 ⇒ 0 ≤ [2t-1/2]2 ≤ 9/4 ⇒ 3/4 ≤ y ≤ 3 .
Vậy max y=3 đạt được khi x=π/2+kπ .
min y=3/4 đạt được khi sin2x=1/4 .
Chọn D.Câu 12:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3sinx + 4cosx + 1
A. max y=6,min y=-2
B. max y=4,min y=-44
C. max y=6,min y=-4
D.max y=6,min y=-1
Áp dụng bất đẳng thức bunhia- xcopski: [ac+bd]2 ≤ [c2+d2][a2+b2] .
Đẳng thức xảy ra khi a/c=b/d .
Ta có: [3sinx+4cosx]2 ≤ [32+42][sin2+cos2]=25
⇒ 5 ≤ 3sinx+4cosx ≤ 5 ⇒ -4 ≤ y ≤ 6
Vậy max y=6 , đạt được khi tanx=3/4 .
min y=-4 , đạt được khi tanx=-3/4.
Chọn C.
Câu 13:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y=2sin2x+3sin2x-4cos2x
A. min y= -3√2 -1, max y=3√2 +1
B. min y= -3√2 -1, max y=3√2 -1
C. min y= -3√2 , max y=3√2 -1
D. min y= -3√2 -2, max y=3√2 -1
Ta có: y= 2sin2 x + 3sin2x - 4cos2x
= 1 – cos2x + 3sin2x - 2[ 1+ cos2x]
=3sin2x-3cos2x-1=3√2sin[2x-π/4]-1
Mà -1 ≤ sin[2x- π/4] ≤ 1 ⇒ - 3√2 ≤ 3√2sin[2x- π/4] ≤ 3√2
⇒ - 3√2-1 ≤ 3√2sin[ 2x- π/4]-1 ≤ 3√2-1
Suy ra min y= -3√2 -1, max y=3√2 -1 .
Chọn B.
Câu 14:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sin2x+3sin2x+3cos2x
A. min y= 2+√10 , max y=2-√10
B. min y= 2+√5, max y=2+√5
C. min y= 2+√2, max y=2-√2
D. min y= 2+√7, max y=2-√7
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức bunhia- xcopki ta có :
- √[32+ 12 ] ≤ 3sin2x+cos2x ≤ √[32+ 12 ]
Suy ra : -√10 ≤ 3sin2x+cos2x ≤ √10
⇒ 2-√10 ≤ y ≤ 2+√10
Từ đó ta có được: maxy=2+√10;miny=2-√10.
Chọn A.
Câu 15:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y=sinx+ √[2-sin2]
A.min y= 0, max y=3
B.min y= 0, max y=4
C.min y= 0, max y=6
D.min y= 0, max y=2
Ta có 0 ≤ y ∀x và y2=2+2sin√[2-sin2]
Mà 2|sin√[2-sin2]| ≤ sin2+2-sin2=2
Suy ra 0 ≤ y2 ≤ 4 ⇒ 0 ≤ y ≤ 4
min y=0 đạt được khi x=-π/2+k2π
max y=2 đạt được khi x=π/2+k2π
Chọn D.
Câu 16:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y=[sin2x+2cos2x+3]/[2sin2x-cos2x+4]
A. min y= -2/11, max y=2
B. min y= 2/11, max y=3
C. min y= 2/11, max y=4
D. min y= 2/11, max y=2
+ Áp dụng bất đẳng thức bunhia-xcopski ta có:
[2sin2x – cos2x]2 ≤ [22+[-1]2]. [ sin22x + cos22x] = 5
⇒ -√5 ≤ 2sin2x-cos2x ≤ √5
⇒ 4-√5 ≤ 4+ 2sin2x-cos2x ≤ 4+√5
⇒ 4+ 2sin2x- cos2x > 0 với mọi x.
+ Ta có:
y=[sin2x+2cos2x+3]/[2sin2x-cos2x+4]
⇒ y. 2sin2x – y.cos2x + 4y = sin2x +2cos2x + 3
⇔ [2y-1]sin2x-[y+2]cos2x=3-4y [*]
Phương trình [*] có nghiệm khi và chỉ khi:
⇒ [2y-1]2+[y+2]2 ≥ [3-4y]2
⇔ 11y2-24y+4 ≤ 0 ⇔ 2/11 ≤ y ≤ 2
Suy ra: min y= 2/11, max y=2 .
Chọn D.
Câu 17:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=[2sin23x+4sin3xcos3x+1]/[sin6x+4cos6x+10]
A. min y= [11-9√7]/83, max y=[11+9√7]/83
B. min y= [22-9√7]/11, max y=[22+9√7]/11
C. min y= [33-9√7]/83, max y=[33+9√7]/83
D. min y= [22-9√7]/83, max y=[22+9√7]/83
+Áp dụng bất đẳng thức bunhia- xcopski ta có:
[ sin6x+4cos6x]2 ≤ [12+42]. [ sin26x+ cos26x]= 17
⇒ -√17 ≤ sin6x+4cos6x ≤ √17
⇒ sin6x+4cos6x+10 ≥ 10-√17 > 0 ∀x thuộc R
Do đó; hàm số xác định với mọi x.
+ ta có: y=[2sin6x-cos6x+2]/[sin6x+4cos6x+10]
⇒ [y-2]sin6x+[4y+1]cos6x=2-10y
Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi:
⇒ [y-2]2+[4y+1]2 ≥ [2-10y]2 ⇔ 83y2-44y-1 ≤ 0
⇒ [22-9√7]/83 ≤ y ≤ [22+9√7]/83.
Suy ra: min y= [22-9√7]/83, max y=[22+9√7]/83
Chọn D.
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.