Viết phương trình đường thẳng delta qua M vuông góc với d và song song với B

Lời giải chi tiết

Giả sử đường thẳng cắt trục Oz tại B[0;0;a]. Ta có $\overrightarrow{AB}=[-1;-2;a-3]$

Mà d song song với [P] $\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{n}_{P}}}=0\Leftrightarrow 2.[-1]+1.[-2]-4[a-3]=0\Leftrightarrow a=2\Rightarrow B[0;0;2]$

Khi đó $\overrightarrow{AB}=[-1;-2;-1]\Rightarrow AB:\left\{ \begin{array} {} x=t \\ {} y=2t \\ {} z=2+t \\ \end{array} \right.$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Gọi [P] là mặt phẳng qua $A[1;2;3]$và vuông góc với ${{d}_{1}}\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=[2;-1;1]\Rightarrow [P]:2x-y+z-3=0$

Khi đó gọi $B=[P]\cap {{d}_{2}}$. Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ PT sau:

$\left\{ \begin{array} {} 2x-y+z-3=0 \\ {} \frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{1} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x=2 \\ {} y=-1\Rightarrow B[2;-1;-2] \\ {} z=-2 \\ \end{array} \right.$

Đường thẳng cần lập chính là đường thẳng AB: qua $A[1;2;3]$và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{AB}}}=[1;-3;-5]$

$\Delta \equiv AB:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-3}{-5}$là đường thẳng cần tìm. Chọn D.

Chú ý: Đối với bài toán viết phương trình đường thằng $\Delta $ nằm trong mặt phẳng [P], đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d ta làm như sau :

n Bước 1: Tìm giao điểm A của d và mặt phẳng [P]

n Bước 2: Do $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{n}_{[P]}}} \\ {} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{[P]}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]$, dường thẳng cần tìm đi qua A và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}$

Lời giải chi tiết

Gọi $M=[\Delta ]\cap [d]\Rightarrow M\in d\Rightarrow M[2t-1;t;3t-2]$

Mà $M\in [P]\Leftrightarrow 2t-1+2t+3t-2-4=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow M[1;1;1]$

Ta có $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{n}_{[P]}}} \\ {} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{[P]}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=[5;-1;-3]\Rightarrow $phương trình $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{-3}$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Gọi $M=[\Delta ]\cap [d]\Rightarrow M\in d\Rightarrow M[-1+2t;-t;-2+2t]$

Mà $M\in [P]\Leftrightarrow [-1+2t]+[-t]-[-2+2t]+1=0\Rightarrow t=2\Rightarrow M[3;-2;2]$

Ta có $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{n}_{[P]}}} \\ {} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{[P]}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=[-1;4;3]\Rightarrow $phương trình $\Delta :\left\{ \begin{array} {} x=3+t \\ {} y=-2-4t \\ {} z=2-3t \\ \end{array} \right.$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Gọi d là đường thẳng cần tìm, gọi $A=d\cap [\alpha ]\Rightarrow A\in d'$

Ta có $d:\left\{ \begin{array} {} x=1+t \\ {} y=2+2t \\ {} z=3+t \\ \end{array} \right.[t\in \mathbb{R}]\Rightarrow A[t+1;2t+2;t+3]$

Mà $A\in [\alpha ]\Rightarrow [t+1]+[2t+2]-[t+3]-2=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow A[2;4;4]$

Lại có $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}=[1;2;1] \\ {} \overrightarrow{{{n}_{[\alpha ]}}}=[1;1;-1] \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{[\alpha ]}}} \right]=[-3;2;-1]$là một VTCP của d

Kết hợp với d qua $\Rightarrow A\left[ 2;4;4 \right]\Rightarrow d:\frac{x-2}{-3}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-4}{-1}\Leftrightarrow \frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-5}{1}$. Chọn A.