Bài toán về biến đổi laplace trong mạch điện năm 2024
|
Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân và cùng với biến đổi Fourier là hai biến đổi rất hữu ích và thường được sử dụng trong giải các bài toán vật lý. Qua biến đổi Laplace, các phép toán giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành các phép tính đại số (giống như cách mà hàm logarit chuyển một phép toán nhân các số thành phép cộng các logarit của chúng). Vì vậy nó đặc biệt hữu ích trong giải các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, những phương trình thường xuất hiện trong các bài toán vật lý, trong phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hòa, các hệ cơ học. Bởi vì qua biến đổi Laplace các phương trình này có thể chuyển thành các phương trình đại số đơn giản hơn. Giải ra nghiệm là các hàm ảnh trong không gian p, chúng ta dùng biến đổi Laplace ngược để có lại hàm gốc trong không gian thực t. Show
[sửa]Lịch sửTừ năm 1744, Leonhard Euler đã đưa ra các tích phân để giải các phương trình vi phân. Joseph Louis Lagrange, người rất ngưỡng mộ Euler, khi nghiên cứu cách tính tích phân của hàm mật độ xác suất, ông đã đưa ra biểu thức tích phân Những dạng tích phân này đã thu hút sự chú ý của Laplace vào năm 1782 khi ông tiếp tục công trình của Euler là sử dụng phép tính tích phân để giải các phương trình. Năm 1785, vượt ra khỏi giới hạn giải quyết các phương trình bằng phương pháp tích phân, ông đã bắt đưa ra các biến đổi mà sau này đã trở nên rất phổ biến. Ông sử dụng tích phân - tương tự với biến đổi Mellin, để biến đổi phương trình sai phân để tìm ra lời giải cho phương trình biến đổi. Với cách tương tự như vậy, ông đã suy ra các tính chất của biến đổi Laplace. Laplace cũng nhận ra rằng phương pháp của Joseph Fourier trong chuỗi Fourier để giải phương trình khuếch tán chỉ có thể áp dụng trong một vùng không gian giới hạn. [sửa]Định nghĩaGiả sử f là một hàm (có thể là hàm phức) của biến số thực t (t ≥ 0) sao cho tích phân Một số trường hợp để đảm bảo cho cả những trường hợp hàm gốc f(t) không xác định tại t=0, ta có thể định nghĩa một cách chính xác hơn. [sửa]Biến đổi Laplace hai phíaMột khi nói "biến đổi Laplace" mà không chú ý thêm gì, thường là ta nói đến biến đổi một phía. Biến đổi Laplace có thể được định nghĩa là biến đổi Laplace hai phía bằng cách mở rộng giới hạn của tích phân đến âm vô cực. Nếu như vậy, biến đổi Laplace một phía đơn giản trở thành một trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace hai phía, xác định bằng cách lấy hàm đã chuyển đổi nhân với hàm bước nhảy Heaviside. than [sửa]Biến đổi Laplace ngượcBiến đổi Laplace ngược giúp chúng ta tìm lại hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(p). Biến đổi Laplace ngược được định nghĩa bởi tích phân sau. Nhưng thông thường chúng ta ít dùng đến tích phân này để tính hàm gốc mà dùng bảng "các hàm gốc – hàm ảnh tương ứng" đã có sẵn để tìm lại hàm gốc f(t). [sửa]Tính chất hàm gốcTập hợp các hàm f của biến số thực t sao cho tích phân Ta có thể chứng minh được lớp các hàm gốc phải thỏa mãn các tính chất sau. [sửa]Tính chất của biến đổi Laplace
[sửa]Biến đổi Laplace của phép đạo hàm của một hàmThường dùng phép tính vi phân của biến đổi Laplace để tìm dạng đạo hàm của một hàm. Ta có thể thu được từ biểu thức cơ bản đối với biến đổi Laplace như sau: Trong trường hợp 2 bên, ta có  [sửa]Liên hệ với các biến đổi khác[sửa]Biến đổi FourierBiến đổi Fourier liên tục tương đương với giá trị của biến đổi Laplace hai bên với argument là số phức s = iω hay ![ \begin{array}{rcl} F(\omega) & = & \mathcal{F}\left{f(t)\right} \[1em] & = & \mathcal{L}\left{f(t)\right}|{s = i \omega} = F(s)|{s = i \omega}\[1em] & = & \int_{-\infty}{+\infty} e{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.\ \end{array} ](http://https://i0.wp.com/upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/math/b/7/2/b72b8a44048c87f6a3c88cdc1bb5ea9e.png) Chú ý biểu thức này không tính đến hệ số tỉ lệ Mối quan hệ này giữa biến đổi Laplace và biến đổi Fourier thường được dùng để xác định quang phổ tần số của một tín hiệu hay hệ thống động lực học (dynamic system). [sửa]Biến đổi MellinBiến đổi Mellin và phép nghịch đảo của nó liên hệ với biến đổi Laplace hai bên bằng cách thay đổi biến. Trong biến đổi Mellin Ta đặt θ = e-t, ta sẽ thu được biến đổi Laplace hai bên. [sửa]Biến đổi ZBiến đổi Z là biến đổi Laplace của một tín hiệu thử lý tưởng bằng cách thay thế đặt và là sự biểu diễn liên tục thời gian (continuous-time) của x(t) còn Biến đổi Laplace đối với tín hiệu thử xq(t) là Đây là định nghĩa chính xác của biến đổi Z đối với hàm x[n]. So sánh 2 phương trình cuối ta thấy mối liên hệ giữa biến đổi Z và biến đổi Laplace của tín hiệu thử [sửa]Biến đổi BorelDạng tích phân của biến đổi Borel có liên hệ với biến đổi Laplace; thật sự, có một số nhầm lẫn khi cho rằng chúng tương tự như nhau. Biến đổi Borel tổng quát tạo ra biến đổi Laplace cho những hàm không phải hàm mũ. [sửa]Mối quan hệ cơ bảnTừ biến đổi Laplace ban đầu có thể xem như là trường hợp đặc biệt của biến đổi hai bên, và từ biến đổi hai bên có thể xem như là tổng của hai biến đổi một bên, điểm khác biệt riêng của các biến đổi Laplace, Fourier, Mellin, Z ở trên là sự liên quan của từng biến đổi đối với biến đổi tích phân. [sửa]Bảng các biến đổi LaplaceVì biến đổi Laplace là một toán tử tuyến tính nên
Tính đơn ánh của biến đổi Laplace chỉ đúng khi t là số không âm, vì thế các hàm trong miền thời gian ở bảng dưới là bội của hàm bậc thang Heaviside u(t).
[sửa]Trở kháng và sơ đồ mạch điện tương đương trong mạch miền sBiến đổi Laplace được sử dụng để biến đổi các yếu tố mạch điện từ miền thời gian t sang mạch miền s Bảng so sánh giữa mạch miền t và mạch miền s Mối quan hệ dòng áp trong miền s của các yếu tố mạch điện RLC Chú ý: đối với điện trở R, mạch miền t và mạch miền s giống nhau. Riêng đối với cuộn cảm L và tụ điện C cần phải kể đến nguồn điều kiện ban đầu (dòng ban đầu đối với cuộn cảm và áp ban đầu đối với tụ điện) [sửa]Ứng dụng các tính chất và định lý của biến đổi LaplaceBiến đổi Laplace được sử dụng nhiều trong kỹ thuật và vật lý học. Việc tính toán được chuyển sang không gian Laplace nhằm chuyển phép nhân chập về phép nhân thông thường, khi đó ta có thể giải quyết vấn đề bằng phương pháp đại số. Biến đổi Laplace còn được sử dụng để giải phương trình vi phân và được ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật điện (electrical engineering). Phương pháp sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân được phát triển bởi kỹ sư người Anh Oliver Heaviside. Những ví dụ dưới đây được sử dụng trong hệ đơn vị SI [sửa]Giải phương trình vi phânBài toán trong vật lý hạt nhân nguyên tử Phương trình biểu diễn sự phân rã phóng xạ của một chất đồng vị phóng xạ Ta sẽ sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình này Từ (1) ta có Thực hiện biến đổi Laplace cho cả 2 vế của phương trình Với Giải phương trình ta có Cuối cùng ta thực hiện biến đổi ngược để chuyển về miền t  [sửa]Tổng trở Z(s) của tụ điện và cuộn cảmVí dụ này dựa vào lí thuyết giải tích mạch điện (electrical circuit) Quan hệ dòng áp của các phần tử RLC trong miền thời gian t Với i(t) là lượng điện tích chạy qua các thành phần RLC trong một đơn vị thời gian và V(t) là điện áp giữa 2 đầu từng thành phần RLC, cũng là hàm theo thời gian t Dùng biến đổi Laplace để chuyển sang miền s Với Tổng trở Z(s) được định nghĩa là tỷ số giữa áp V và dòng i khi điều kiện ban đầu bằng 0 Từ đây ta suy ra tổng trở của các thành phần RLC  [sửa]Hàm truyềnSự liên hệ giữa miền thời gian t và miền tần số được biểu diễn thông qua bảng sau: Chú ý rằng ký hiệu * trong miền thời gian chính là phép nhân chập Xét hệ tuyến tính bất biến theo thời gian với Ta biến đổi (1) Với Hàm truyền H(s) được suy ra bằng cách dùng biến đổi Laplace đối với hàm h(t) với [sửa]Phương pháp khai triển thừa số riêng phầnXét hệ tuyến tính bất biến với thời gian và hàm truyền Để thực hiện biến đổi Laplace ngược, ta bắt đầu khai triển H(s) bằng cách sử dụng phương pháp khai triển riêng phần P, R là các hằng số chưa biết. Để tìm hằng số này ta dùng đồng nhất thức Từ đây suy ra và Thay vào H(s) ta tìm được Cuối cùng sử dụng tính chất và bảng biến đổi Laplace, ta thực hiện biến đổi Laplace ngược cho hàm H(s) |
