Chủ đề 3 phương pháp đổi biến Tìm nguyên hàm
|
39
00:27:49 Bài 1: Tọa độ của vectơ trong không gian
40
00:40:44 Bài 2: Tọa độ của điểm trong không gian
45
00:18:23 Bài 7: Ứng dụng tích có hướng tính diện tích
46
00:22:03 Bài 8: Ứng dụng tích có hướng tính thể tích
48
00:32:07 Bài 9: Bài toán viết phương trình mặt phẳng
51
00:19:42 Bài 12: Bài toán góc giữa các mặt phẳng
53
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt phẳng
57
00:14:57 Bài 17: Góc giữa hai đường thẳng
58
00:15:13 Bài 18: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
60
Kiểm tra: Đề thi online phần Đường thẳng
61
00:19:21 Bài 20: Bài toán viết phương trình mặt cầu
65
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt cầu
66
00:37:14 Bài 24: Ôn tập, nâng cao Bài viết hướng dẫn tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số. Kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu nguyên hàm – tích phân và ứng dụng được đăng tải trên TOANMATH.com. Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau: Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến như sau: Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tìm nguyên hàm $I = \int {f(x)dx} $ Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là: + Dấu hiệu $\sqrt {{a^2} – {x^2}} $, đặt $x = |a|\sin t$ với $\frac{{ – \pi }}{2} \le t \le \frac{\pi }{2}$ hoặc $x = |a|\cos t$ với $0 \le t \le \pi .$ + Dấu hiệu $\sqrt {{x^2} – {a^2}} $, đặt $x = \frac{{|a|}}{{\sin t}}$ với $t \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}$ hoặc $x = \frac{{|a|}}{{\cos t}}$ với $t \in \left[ {0;\pi } \right]\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2}} \right\}.$ + Dấu hiệu $\sqrt {{a^2} + {x^2}} $, đặt $x = |a|\tan t$ với $ – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2}$ hoặc $x = |a|\cot t$ với $0 < t < \pi .$ + Dấu hiệu $\sqrt {\frac{{a + x}}{{a – x}}} $ hoặc $\sqrt {\frac{{a – x}}{{a + x}}} $, đặt $x = a\cos 2t.$+ Dấu hiệu $\sqrt {(x – a)(b – x)} $, đặt $x = a + (b – a){\sin ^2}t.$ Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm $I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{(1 – {x^2})}^3}} }}} .$ Đặt $x = sint$; $ – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2}.$ Suy ra: $dx = \cos tdt$ và $\frac{{dx}}{{\sqrt {{{(1 – {x^2})}^3}} }} = \frac{{\cos tdt}}{{{{\cos }^3}t}}$ $ = \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}} = d(\tan t).$ Khi đó: $I = \int {d(\tan t) = \tan t + C} $ ${ = \frac{x}{{\sqrt {1 – {x^2}} }} + C}.$ Chú ý: Trong ví dụ trên sở dĩ ta có: $\sqrt {{{(1 – {x^2})}^3}} = {\cos ^3}t$ và $\tan t = \frac{x}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}$ là bởi: $ – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos t > 0$ $ \Rightarrow \sqrt {{{\cos }^2}t} = \cos t$ và $\cos t = \sqrt {1 – {{\sin }^2}t} = \sqrt {1 – {x^2}} .$ Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm $I = \int {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}} .$ Vì điều kiện $|x| > 1$, ta xét hai trường hợp: + Với $x > 1$: Đặt $x = \frac{1}{{\sin 2t}}$; $0 < t < \frac{\pi }{4}.$ Suy ra: $dx = \frac{{2\cos 2tdt}}{{{{\sin }^2}2t}}.$ $\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }} = – \frac{{2dt}}{{{{\sin }^3}2t}}$ $ = – \frac{{2{{(co{s^2}t + {{\sin }^2}t)}^2}dt}}{{8{{\sin }^3}t{{\cos }^3}t}}$ $ = – \frac{1}{4}(\cot t.\frac{1}{{{{\sin }^2}t}}$ $ + \tan t.\frac{1}{{{{\cos }^2}t}} + \frac{2}{{\tan t}}.\frac{2}{{{{\cos }^2}t}})$ $ = – \frac{1}{4}[ – \cot t.d(\cot t)$ $ + \tan t.d(\tan t) + 2\frac{{d(\tan t)}}{{\tan t}}].$ Khi đó: $I = – \frac{1}{4}[ – \int {\cot t.d(\cot t)} $ $ + \int {\tan t.d(\tan t)} + 2\int {\frac{{d(\tan t)}}{{\tan t}}} ]$ $ = – \frac{1}{4}( – \frac{1}{2}{\cot ^2}t + \frac{1}{2}{\tan ^2}t$ $ + 2\ln |\tan t|) + C$ $ = \frac{1}{8}\left( {{{\cot }^2}t – {{\tan }^2}t} \right)$ $ – \frac{1}{2}\ln |\tan t| + C$ $ = \frac{1}{2}x\sqrt {{x^2} – 1} $ $ – \frac{1}{2}\ln |x – {x^2} – 1| + C.$ + Với $x < –1$: Bạn đọc biến đổi tương tự. Chú ý: Trong ví dụ trên sở dĩ ta có: ${\cot ^2}t – {\tan ^2}t = 4x\sqrt {{x^2} – 1} $ và $\tan t = x – \sqrt {{x^2} – 1} $ là bởi: ${\cot ^2}t – {\tan ^2}t = \frac{{{{\cos }^4}t – {{\sin }^4}t}}{{{{\cos }^2}t.{{\sin }^2}t}}$ $ = \frac{{4\cos 2t}}{{{{\sin }^2}2t}} = \frac{{4\sqrt {1 – {{\sin }^2}2t} }}{{{{\sin }^2}2t}}$ $ = \frac{4}{{\sin 2t}}\sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}2t}} – 1} .$$\tan t = \frac{{\sin t}}{{\cos t}}$ $ = \frac{{2{{\sin }^2}t}}{{2\sin t.\cos t}} = \frac{{1 – \cos 2t}}{{\sin 2t}}$ $ = \frac{1}{{\sin 2t}} – \sqrt {\frac{{{{\cos }^2}2t}}{{{{\sin }^2}2t}}} $ $ = \frac{1}{{\sin 2t}} – \sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}2t}} – 1} .$ Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm $I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{(1 + {x^2})}^3}} }}} .$ Đặt $x = tant$; $ – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2}.$ Suy ra: $dx = \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}.$ $\frac{{dx}}{{\sqrt {{{(1 + {x^2})}^3}} }}$ $ = \frac{{{{\cos }^3}tdt}}{{{{\cos }^2}t}} = \cos tdt.$ Khi đó: $I = \int {\cos tdt = \sin t + C} $ ${ = \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + C}.$ Chú ý: 1. Trong ví dụ trên sở dĩ ta có: $\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \cos t$ và $\sin t = \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$ là bởi: $ – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos t > 0$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {{{\cos }^2}t} = \cos t\\ \sin t = \tan t.\cos t = \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} \end{array} \right.$ 2. Phương pháp trên được áp dụng để giải bài toán tổng quát: $I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)}^{2k + 1}}} }}} $ với $k ∈ Z.$ [ads]Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tìm nguyên hàm $I = \int {f(x)dx} $ PHƯƠNG PHÁP CHUNG Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là: + Dấu hiệu $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {(x + a)(x + b)} }}$: với $x + a > 0$ và $x + b > 0$, đặt $t = \sqrt {x + a} + \sqrt {x + b} $; với $x + a < 0$ và $x + b < 0$, đặt $t = \sqrt { – x – a} + \sqrt { – x – b} .$ Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm $I = \int {{x^3}{{\left( {2 – 3{x^2}} \right)}^8}dx} .$ Đặt $t = 2 – 3{x^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} dt = – 6xdx\\ {x^2} = \frac{{2 – t}}{3} \end{array} \right.$ Khi đó: ${x^3}{\left( {2 – 3{x^2}} \right)^8}dx$ $ = {x^2}{\left( {2 – 3{x^2}} \right)^8}xdx$ $ = \frac{{2 – t}}{3}{t^8}\left( { – \frac{1}{6}dt} \right)$ $ = \frac{1}{{18}}\left( {{t^9} – 2{t^8}} \right)dt.$ Nên: $I = \frac{1}{{18}}\int {\left( {{t^9} – 2{t^8}} \right)dt} $ ${ = \frac{1}{{180}}{t^{10}} – \frac{1}{{81}}{t^9} + C}.$ Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm $I = \int {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {1 – x} }}} .$ Đặt $t = \sqrt {1 – x} \Rightarrow x = 1 – {t^2}.$ Suy ra: $dx = – 2tdt.$ $\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {1 – x} }} = \frac{{{{\left( {1 – {t^2}} \right)}^2}( – 2tdt)}}{t}$ $ = – 2\left( {{t^4} – 2{t^2} + 1} \right)dt.$ Khi đó: $I = – 2\int {\left( {{t^4} – 2{t^2} + 1} \right)dt} $ $ = – 2\left( {\frac{{{t^5}}}{5} – \frac{{2{t^3}}}{3} + t} \right) + C$ $ = \frac{{ – 2}}{{15}}\left( {3{x^2} + 4x + 8} \right)\sqrt {1 – x} + C.$ Ví dụ 6: Tìm nguyên hàm $I = \int {{{\sin }^3}x\sqrt {\cos x} dx} .$ Đặt $t = \sqrt {\cos x} \Rightarrow {t^2} = \cos x.$ Suy ra: $2tdt = – \sin xdx.$ ${\sin ^3}x\sqrt {\cos x} dx$ $ = {\sin ^2}x\sqrt {\cos x} \sin xdx$ $ = \left( {1 – {{\cos }^2}x} \right)\sqrt {\cos x} \sin xdx$ $ = (1 – {t^4})t( – 2tdt)$ $ = (2{t^6} – 2{t^2})dt.$ Khi đó: $ I = \int {(2{t^6} – 2{t^2})dt} $ $ = \frac{{2{t^7}}}{7} – \frac{{2{t^3}}}{3} + C$ $ = \frac{{2{{\left( {\sqrt {\cos x} } \right)}^7}}}{7} – \frac{{2{{\left( {\sqrt {\cos x} } \right)}^3}}}{3} + C.$ Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm $I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 + {e^x}} }}} .$ Đặt $t = \sqrt {1 + {e^x}} \Rightarrow {t^2} = 1 + {e^x}.$ Suy ra: $2tdt = {e^x}dx \Rightarrow dx = \frac{{2tdt}}{{{t^2} – 1}}.$ $\frac{{dx}}{{\sqrt {1 + {e^x}} }} = \frac{{2tdt}}{{t\left( {{t^2} – 1} \right)}}$ $ = \frac{{2dt}}{{{t^2} – 1}} = \left( {\frac{1}{{t – 1}} – \frac{1}{{t + 1}}} \right)dt.$ Khi đó: $I = \int {\left( {\frac{1}{{t – 1}} – \frac{1}{{t + 1}}} \right)dt} $ $ = \ln \left| {\frac{{t – 1}}{{t + 1}}} \right| + C$ $ = \ln \left| {\frac{{\sqrt {1 + {e^x}} – 1}}{{\sqrt {1 + {e^x}} + 1}}} \right| + C.$ Ví dụ 8: Tìm nguyên hàm $I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + a} }}} $, với $a ≠ 0.$ Đặt $t = x + \sqrt {{x^2} + a} .$ Suy ra: $dt = \left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + a} }}} \right)dx$ $ = \frac{{\sqrt {{x^2} + a} + x}}{{\sqrt {{x^2} + a} }}dx$ $ \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + a} }} = \frac{{dt}}{t}.$ Khi đó: $I = \int {\frac{{dt}}{t} = \ln \left| t \right|} + C$ $ = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + a} } \right| + C.$ Ví dụ 9: Tìm nguyên hàm $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} }}} .$ Ta xét hai trường hợp: + Với $\left\{ \begin{array}{l} x + 1 > 0\\ x + 2 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > – 1.$ Đặt $t = \sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} .$ Suy ra: $dt = \left( {\frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x + 2} }}} \right)dx$ $ = \frac{{\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right)dx}}{{2\sqrt {(x + 1)(x + 2)} }}$ $ \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {(x + 1)(x + 2)} }} = \frac{{2dt}}{t}.$ Khi đó: $I = 2\int {\frac{{dt}}{t} = 2\ln \left| t \right| + C} $ ${ = 2\ln \left| {\sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right|} + C.$ + $\left\{ \begin{array}{l} x + 1 < 0\\ x + 2 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x < – 2.$ Đặt $t = \sqrt { – \left( {x + 1} \right)} + \sqrt { – \left( {x + 2} \right)} .$ Suy ra: $ \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {(x + 1)(x + 2)} }} = – \frac{{2dt}}{t}.$ Khi đó: $I = – 2\int {\frac{{dt}}{t} = – 2\ln \left| t \right|} + C$ $ = – 2\ln \left| {\sqrt { – \left( {x + 1} \right)} + \sqrt { – \left( {x + 2} \right)} } \right| + C.$
|
