Đề bài - bài 3.14 trang 139 sbt hình học 11

Đề bài

Cho hình hộp thoi \(ABCD.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(a\) và \(\widehat {ABC} = \widehat {B'BA} = \widehat {B'BC} = {60^0}\). Chứng minh tứ giác \(ABCD\) là hình vuông.

Lời giải chi tiết

Trước hết dễ thấy tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành, ngoài ra \(B'C = a = C{\rm{D}}\)nên nó là hình thoi.

Ta chứng minh hình thoi \(ABCD\) là hình vuông. Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {CB'} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BB'} } \right).\overrightarrow {BA} \cr
& = \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BA} \cr
& = - {{{a^2}} \over 2} + {{{a^2}} \over 2} = 0 \cr} \)

Vậy tứ giác \(ABCD\) là hình vuông.