Giải toán 8 mở đầu về phương trình

§1. MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH Kiến thức cần nhó Một phương trình với ấn X có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B( X) là hai biếu thức của cùng một biến X. Sô' X = a là nghiệm của phương trình A(x) = B(x) nếu khi thay X = a vào ta được một đẳng thức dứng. Tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình gọi là tập nghiệm của phương trình đó. Giái phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình đó. Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập ị nghiệm. Ví dụ giải toán Ví dụ 1. Điền vào chỗ trống (...) dể có mệnh đề đúng: Phương trình: -2x + l - 0 có tập nghiệm là ... Phương trình 4x2 - 9 = 0 có hai nghiệm là: ... Phương trình 3(x + l) = 3(x - l) có nghiệm là ... Phương trình (x.+ 3)2 = X2 + 6x + 9 có tập nghiệm là ... Giải A. (B) x = ±|-; (C) Vô nghiệm; (D) R. Ví dụ 2. Phương trình nào sau đây có nghiệm' X = 6 ? (A) x+6=0; (B)ịx = 0; (C)ịx-l = 0; (D)x-ị = o. 6 6 6 Giải. c. Ví dụ 3. Tạp nghiệm của phương trình X + |x| = 0 là: (A) {0}; (B) {—l}; (C) {x e R, X < 0}; (D) {x e R,x < 0}. Giải: D. Ví dụ 4. Các cặp phương trình sau có tương đương không? Tại sao? lx -1| = 1 và X -1 = 1; b) X2 + 1 = 0 và ——- = 0 ; X + 1 c) x(x2 - 1) = 0 và x(x - 1) = 0. Giải : a) Không, vì phương trình thứ nhất có hai nghiệm còn phương trình thứ hai chi có một nghiệm. Có, vì cả hai phương trình đều vô nghiệm. Không, vì phương trình thứ nhất có ba nghiệm phãn biệt còn phương trình thứ hai có hai nghiệm. Ví dụ 5. Tìm m đế hai phương trình sau tương đương: x + 2 = 0(l) mx + 3 = 0(2). 3 Giai: Phương trình (1) có nghiệm X = -2 thay vào (2) được m = 2 • Vậy để hai phương trình tương đương thì m = — . c. Hưóng dẫn giải các bài tạp trong sách giáo khoa Bài 1. G7í/7': a) Có; b) Không; c) Có. Bài 2. Đáp số': t = - 1; t = 0 là nghiệm của phương trình. Bài 3. Đáp sô': K . Bài 4. Giải: (a) nối với (2); (b) nối với (3); (c) nối với (-1) và (3). Bài 5. Hướng clẫn : Không tương đương vì không có cùng tập nghiệm. D. Bài tạp luyện thêm Chứng minh rằng: Các sô' X = 3, X =1 là nghiệm của phương trình X2 - 2x - 5 = 2x - 8 (1); Số X - 1; X = -4 là nghiệm của phương trình -X2 - 3x = -4 (2). Với giá trị nào của m thì phương trình 2mx - 1= -X + 1 nhận X = - là nghiệm? Các cập phương trình sau có tương đương không? Tại sao? , a) X -1 = 2 và X2 -9 = 0; b) X - 4 = 0 và 16 - 4x = 0 . Hướng dẫn - Đáp sô a) Với X = 3 ta có giá trị vế trái của (1) bằng -2, giá trị vế phải của (1) bằng -2. Vậy X = 3 là nghiệm của phương trình (1). Làm tương tự với X = 1. b) Tương tự câu a). 2 Phương trình nhận X = —L là nghiệm khi 3 4f)-‘=-T+i b) Có, vì đều có nghiệm duy nhất X = 4.

Để quá trình tiếp thu kiến thức mới trở nên dễ dàng và đạt hiệu quả nhất, trước khi bắt đầu bài học mới các em cần có sự chuẩn bị nhất định qua việc tổng hợp nội dung kiến thức lý thuyết trọng tâm, sử dụng những kiến thức hiện có thử áp dụng giải các bài toán, trả lời câu hỏi liên quan. Dưới đây chúng tôi đã soạn sẵn Lời giải Bài 1: Mở đầu về phương trình (Tập 2) chi tiết nhất, giúp các em tiết kiệm thời gian. Nội dung chi tiết được chia sẻ dưới đây.

Bài 1: Mở đầu về phương trình (Tập 2)

Câu hỏi ứng dụng

Câu hỏi 1 trang 5:

Hãy cho ví dụ về:

a) Phương trình với ẩn y.

b) Phương trình với ẩn u.

Hướng dẫn giải chi tiết:

a) Phương trình với ẩn y: 15y + 1 = 16

b) Phương trình với ẩn u: 2u – 11 = 3(u+1)

Câu hỏi 2 trang 5:

Khi x = 6, tính giá trị mỗi vế của phương trình: 2x + 5 = 3(x – 1) + 2.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Khi x= 6, ta có:

VT = 2x + 5 = 2.6 + 5 = 12 + 5 = 17

VP = 3(x – 1) + 2 = 3(6– 1) + 2 = 3.5 + 2 = 15 + 2 = 17

Câu hỏi 3 trang 5:

Cho phương trình 2(x + 2) – 7 = 3 – x

a) x = - 2 có thỏa mãn phương trình không ?

b) x = 2 có là một nghiệm của phương trình không ?

Hướng dẫn giải chi tiết:

a) Tại x = -2 ta có:

Vế trái = 2(x + 2) – 7 = 2(– 2 + 2) – 7 = 2.0 – 7 = -7.

Vế phải = 3 – x = 3 – (– 2) = 5 ≠ -7

Suy ra: x = - 2 không thỏa mãn phương trình

b)Tại x = 2 ta có:

Vế trái = 2(2 + 2) – 7 = 2.4 – 7 = 8 – 7 = 1

Vế phải = 3 – x = 3 – 2 = 1

⇒ vế trái = vế phải = 1 nên x = 2 có là một nghiệm của phương trình

Bài tập ứng dụng

Bài 1 (trang 6 SGK Toán 8 tập 2):

Với mỗi phương trình sau, hãy xét xem x = -1 có là nghiệm của nó không:

a) 4x - 1 = 3x - 2;

b) x + 1 = 2(x - 3);

c) 2(x + 1) + 3 = 2 - x

Hướng dẫn giải chi tiết:

Thay giá trị x = -1 vào từng vế của phương trình, ta được:

a) Vế trái = 4x - 1 = 4(-1) - 1 = -5

Vế phải = 3x - 2 = 3(-1) - 2 = -5

Vế trái = Vế phải nên x = -1 là nghiệm của phương trình.

b) Vế trái = x + 1 = -1 + 1 = 0

Vế phải = 2(x - 3) = 2(-1 - 3) = -8

Vế trái ≠ Vế phải nên x = -1 không là nghiệm của phương trình.

c) Vế trái = 2(x + 1) + 3 = 2( -1 + 1) + 3 = 3

Vế phải = 2 - x = 2 - (-1) = 3

Vế trái = Vế phải nên x = -1 là nghiệm của phương trình.

Kiến thức áp dụng

Để kiểm tra xem a có phải là nghiệm của một phương trình hay không, ta thay x = a vào từng biểu thức vế trái và vế phải.

Nếu tại x = a, VT = VP thì a là nghiệm của phương trình.

Bài 2 (trang 6 SGK Toán 8 tập 2):

Trong các giá trị t = -1, t = 0 và t = 1, giá trị nào là nghiệm của phương trình: (t + 2)2 = 3t + 4?

Hướng dẫn giải chi tiết:

Lần lượt thay các giá trị của t vào hai vế của phương trình ta được:

- Tại t = -1 :

(t + 2)2 = (-1 + 2)2 = 1

3t + 4 = 3(-1) + 4 = 1

⇒ t = -1 là nghiệm của phương trình (t + 2)2 = 3t + 4.

- Tại t = 0

(t + 2)2 = (0 + 2)2 = 4

3t + 4 = 3.0 + 4 = 4

⇒ t = 0 là nghiệm của phương trình (t + 2)2 = 3t + 4.

- Tại t = 1

(t + 2)2 = (1 + 2)2 = 9

3t + 4 = 3.1 + 4 = 7

⇒ t = 1 không là nghiệm của phương trình (t + 2)2 = 3t + 4.

Kiến thức áp dụng

Để kiểm tra xem a có phải là nghiệm của một phương trình hay không, ta thay x = a vào từng biểu thức vế trái và vế phải.

Nếu tại x = a, VT = VP thì a là nghiệm của phương trình.

Bài 3 (trang 6 SGK Toán 8 tập 2):

Xét phương trình x + 1 = 1 + x. Ta thấy mọi số đều là nghiệm của nó. Người ta còn nói: Phương trình này nghiệm đúng với mọi x. Hãy cho biết tập nghiệm của phương trình đó.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Vì phương trình nghiệm đúng với mọi x nên tập nghiệm của nó là S = R.

Bài 4 (trang 7 SGK Toán 8 tập 2):

Nối mỗi phương trình sau với các nghiệm của nó (theo mẫu):

Hướng dẫn giải chi tiết:

+ Xét phương trình (a): 3(x – 1) = 2x – 1

Tại x = -1 có:

VT = 3(x – 1) = 3(-1 – 1) = -6;

VP = 2x – 1 = 2.(-1) – 1 = -3.

⇒ -6 ≠ -3 nên -1 không phải nghiệm của phương trình (a).

Tại x = 2 có:

VT = 3(x – 1) = 3.(2 – 1) = 3;

VP = 2x – 1 = 2.2 – 1 = 3

⇒ VT = VP = 3 nên 2 là nghiệm của phương trình (a).

Tại x = 3 có:

VT = 3(x – 1) = 3.(3 – 1) = 6;

VP = 2x – 1 = 2.3 – 1 = 5

⇒ 6 ≠ 5 nên 3 không phải nghiệm của phương trình (a).

+ Xét phương trình (b): 

Tại x = -1, biểu thức 

⇒ -1 không phải nghiệm của phương trình (b)

Tại x = 2 có:

⇒ Do 

Tại x = 3 có:

⇒ 

+ Xét phương trình (c) : x2 – 2x – 3 = 0

Tại x = -1 có: VT = x2 – 2x – 3 = (-1)2 – 2.(-1) – 3 = 0 = VP

⇒ x = -1 là nghiệm của phương trình x2 – 2x – 3 = 0

Tại x = 2 có: x2 – 2x – 3 = 22 – 2.2 – 3 = -3 ≠ 0.

⇒ x = 2 không phải nghiệm của phương trình x2 – 2x – 3 = 0.

Tại x = 3 có: x2 – 2x – 3 = 32 – 2.3 – 3 = 0

⇒ x = 3 là nghiệm của phương trình x2 – 2x – 3 = 0.

Vậy ta có thể nối như sau:

Bài 5 (trang 7 SGK Toán 8 tập 2):

Hai phương trình x = 0 và x(x - 1) = 0 có tương đương không? Vì sao?

Hướng dẫn giải chi tiết:

- Phương trình x = 0 có tập nghiệm S1 = {0}.

- Xét phương trình x(x - 1) = 0. Vì một tích bằng 0 khi một trong hai thừa số bằng 0 tức là:

Nên phương trình này có tập nghiệm S2 = {0; 1}.

Vì S1 ≠ S2 nên hai phương trình không tương đương.

Kiến thức áp dụng

Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Lý thuyết trọng tâm

1. Phương trình một ẩn

+ Một phương trình với ẩn x là hệ thức có dạng A( x ) = B( x ), trong đó A( x ) gọi là vế trái, B( x ) gọi là vế phải.

+ Nghiệm của phương trình là giá trị của ẩn x thoả mãn (hay nghiệm đúng) phương trình.

Chú ý:

Hệ thức x = m (với m là một số nào đó) cũng là một phương trình. Phương trình này chỉ rõ rằng m là nghiệm duy nhất của nó.

Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm,….nhưng cũng có thể không có nghiệm nào hoặc có vô số nghiệm. Phương trình không có nghiệm nào được gọi là phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 1:

3x + 2 = 2x là phương trình với ẩn x.

2y - 1 = 4( 1 - y ) + 3 là phương trình với ẩn y.

Ví dụ 2:

Phương trình x2 = 1 có hai nghiệm x = 1 và x = - 1.

Phương trình x2 = - 1 vô nghiệm

2. Giải phương trình

+ Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình.

+ Tìm tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó. Tập hợp các nghiệm của phương trình kí hiệu là S.

Ví dụ:

Phương trình x = 3 có tập nghiệm là S = { 3 }.

Phương trình vô nghiệm có tập nghiệm là

3. Phương trình tương đương.

Hai phương trình tương đương nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm.

Kí hiệu ⇔ đọc là tương đương.

Ví dụ:

x + 3 = 0 ⇔ x = -3.

x - 1 = 3 ⇔ x = 4.

File tải hướng dẫn giải Bài 1: Mở đầu về phương trình (Tập 2):

Hy vọng tài liệu sẽ hữu ích cho các em học sinh và quý thầy cô giáo tham khảo.

►Ngoài ra các em học sinh và thầy cô có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu hữu ích hỗ trợ ôn luyện thi môn toán như đề kiểm tra học kì, 1 tiết, 15 phút trên lớp, hướng dẫn giải sách giáo khoa, sách bài tập được cập nhật liên tục tại chuyên trang của chúng tôi.