Phương pháp giải phương trình tách biến
Phương trình vi phân tách biến Trong phần này, ta sẽ nhắc lại về định nghĩa và cách giải của phương trình vi phân tách biến. Phương trình vi phân tách biến là phương trình có dạng: f(x)dx = g(y)dy (1) hoặc y' = f(x)/g(y) (2) Để giải nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tách biến, ta lấy tích phân hai vế của (1). Để giải nghiệm riêng, ta giải nghiệm tổng quát sau đó thế giá trị x,y vào nghiệm tổng quát để tìm C. Ví dụ: Giải phương trình vi phân a. y' = 2x Ta chuyển về dạng: dy = 2xdx Lấy tích phân hai vế, ta được: y = x^2 +C : nghiệm tổng quát. b. y' = 1/x biết rằng y(e) = 2. Ta chuyển về dạng: dy = 1/xdx Lấy tích phân hai vế, ta được: y = ln|x| +C Thế x= e, y = 2 vào nghiệm tổng quát: 2 = ln|e| + C. suy ra C = 1 Vậy, nghiệm riêng của phương trình là: y = ln|x| +1
Home - Video - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN
Prev Article Next Article
source Xem ngay video PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN Các em xem video nếu thấy hay thì subcribe, like và share nhé! “PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN “, được lấy từ nguồn: https://www.youtube.com/watch?v=wzyCv4y_suE Tags của PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN: #PHƯƠNG #TRÌNH #PHÂN #TÁCH #BIẾN Bài viết PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN có nội dung như sau: Các em xem video nếu thấy hay thì subcribe, like và share nhé! Từ khóa của PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN: vi phân Thông tin khác của PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN: Cảm ơn bạn đã xem video: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN. Prev Article Next Article
Phương pháp tách biến Một trong những công cụ hiệu quả để giải Phương trinh vi phân đạo hàm riêng là Phương pháp tách biến. Vậy nội dung của Phương pháp tách biến là gì? Phương pháp tách biến nhằm tìm những nghiệm đặc biệt của Phương trình vi phân đạo hàm riêng bằng cách chuyển về các phương trình vi phân thường. Các nghiệm đặc biệt có một số tích chất đặc biệt. Thứ nhất, nó có dạng tích hay tổng của các hàm một biến. Thứ hai, và rất quan trọng, nó lập nên một cơ sở trực chuẩn của không gian nghiệm của Phương trình. Nghĩa là, mọi nghiệm của Phương trình đều có thể biểu diễn qua chuỗi vô hạn các nghiệm đặc biệt đó. Điều này rất có ý nghĩa khi ta tìm nghiệm của Bài toán biên (hỗn hợp) cho Phương trình elliptic (parabolic, hyperbolic). Các điều kiện biên giúp cho ta xác định hệ số của chuỗi vô hạn. Từ đó ta xác định được nghiệm của Bài toán biên (hỗn hợp). Chi tiết hơn, xin độc giả xem qua tài liệu “Phương pháp tách biến” trên.
Đây là bài viết thứ 2 trong loạt bài viết về phương trình vi phân. Sau bài thứ nhất thì chúng ta cũng có cái nhìn sơ bộ về phương trình vi phân cũng như những ứng dụng của nó. Quả là quá nhiều ứng dụng, tuy nhiên việc ứng dụng phương trình vi phân như thế nào thì công việc nghiên cứu cũng như chuyên ngành của ta sau này sẽ quyết định. Với mục tiêu chính của loạt bài viết này là cung cấp những kiến thức cơ bản nhất về phương trình vi phân, Caolac sẽ cố trình bày theo một cách dễ hiểu nhất có thể, viết một cách chi tiết và tỉ mỉ và thật nhiều ví dụ với hy vọng sẽ là tài liệu hoàn hảo cho mình sau này. OK! Cấu trúc của loạt bài viết đã được trình bày ở bài viết thứ nhất. Giờ thì ta bắt tay vào xử từng thằng thôi kakaka... dạng phương trình vi phân đầu tiên và dễ nhất đó là phương trình vi phân tách biến. L3t's go! 1. Dạng.phương trình vi phân tách biến (hay còn có thể goi là "biến phân li") là phương trình vi phân có dạng: hay $$M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0 \quad (2)$$ hay $$y'=f(x)g(y) \quad (3)$$ Nhìn thì có vẻ khác nhau nhưng thực chất chỉ là một. Một cách hình thức ta có thể xem $y'=\frac{dy}{dx}$ và một vài phép biến đổi ta có thể chuyển qua lại giữa các dạng nói trên. Có thể nói tóm gọn lại một câu là phương trình vi phân tách biến thì có dạng hàm nhân (tức là tích của hai hàm biến $x,y$ rời nhau). Biến đổi một chút ở 3 dạng trên để dễ hình dung hơn. $$(1)\Leftrightarrow y'=\frac{dy}{dx}=-M(x)\times \frac{1}{N(y)} \quad \text{có dạng hàm nhân}$$ $$(2)\Leftrightarrow y'=\frac{dy}{dx}=-\frac{M(x)}{P(x)}\times \frac{N(y)}{Q(y)} \quad \text{có dạng hàm nhân}$$ $$(3)\Leftrightarrow y'=\frac{dy}{dx}=f(x)\times g(y) \quad \text{có dạng hàm nhân}$$ Khi hiểu và hình dung được thì ghi nhớ cái này sẽ hay hơn (mới học thì có thể không quan tâm cũng được) phương trình vi phân tách biến (biến phân ly) là phương trình vi phân có dạng: $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$ Trong đó các hàm $M(x,y), N(x,y)$ có dạng hàm nhân. Dễ dàng thấy 3 trường hợp trên đều nằm trong này hết. Trong bài tập thì nhìn vào phương trình vi phân ta sẽ dễ thấy 1 trong 3 dạng trên hơn. 2. Cách giải.Cách giải phương trình vi phân dạng này rất dễ, vì hai biến $x,y$ là độc lập với nhau nên ta đưa $x$ về một vế, $y$ về một vế rồi ta lấy tích phân hai vế là xong. Ở đây ta chỉ bàn về hướng giải quyết, còn việc trong quá trình giải đôi khi ta chia cho một hàm nào đó thì dĩ nhiên ta phải xét hàm đó khác không rồi. Bằng không sao mà chia được @@. Cụ thể: $$(1) \Leftrightarrow M(x)dx=-N(y)dy \Rightarrow \int{M(x)dx}= -\int{N(y)dx}$$ $$(2) \Leftrightarrow \frac{M(x)}{P(x)}dx=-\frac{Q(y)}{N(y)}dy \Rightarrow \int{\frac{M(x)}{P(x)}dx}=- \int{\frac{Q(y)}{N(y)}dy}$$ $$(3) \Leftrightarrow f(x)dx=\frac{1}{g(y)}dy \Rightarrow \int{f(x)dx}=\int{\frac{1}{g(y)}dy}$$ 3. Ví dụ.Nhìn trên thì có vẻ rườm rà, nhưng thử bài ví dụ xem, thấy dễ ngay và liền :) Ví dụ 1. Giải phương trình: $x(y^2-1)dx+y(x^2-1)dy=0\quad (1)$ Thật không có gì phải bàn để kết luận đây là phương trình vi phân tách biến. Tuy nhiên ta vẫn phân tích một chút. Sẽ là thừa với một số người, nhưng sẽ là cực kỳ dễ hiểu với một số người khác. Caolac nằm trong tốp thứ 2 kakaka... $M(x,y)=x(y^2-1)$ có dạng hàm nhân. $N(x,y)=y(x^2-1)$ cũng có dạng hàm nhân. Theo như phương pháp giải ở trên thì ta cứ quăng hết thằng $x$ về một vế, quăng hết thằng $y$ về một vế và sau đó lấy tích phân. Với $x^2-1\ne 0, y^2-1 \ne 0$ ta có: $$(1)\Leftrightarrow \frac{xdx}{x^2-1}=-\frac{ydy}{y^2-1} \Leftrightarrow \int{\frac{xdx}{x^2-1}}=-\int{\frac{ydy}{y^2-1}}\Leftrightarrow \frac{1}{2}\int{\frac{d(x^2-1)}{x^2-1}}=-\frac{1}{2}\int{\frac{d(y^2-1)}{y^2-1}}$$ $$\Leftrightarrow \ln|x^2-1|=-\ln|y^2-1|+\ln C \Leftrightarrow (x^2-1)(y^2-1)=C^2$$ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: $(x^2-1)(y^2-1)=C^2$ Nhận xét. Việc giải phương trình vi phân tách biến hay còn gọi là biến phân ly này thực chất chỉ là tính tích phân. Do vậy cần phải nắm vững cách tính tích phân của một số hàm, lớp hàm đặc biệt. Khi đó thì tốc độ làm của chúng ta sẽ tăng lên đáng kể. Caolac sẽ viết riêng một bài về cách tính tích phân của một số lớp hàm đặc biệt và đính kèm link ở đây khi bài viết hoàn thành. Kết luậnXem thêm các bài viết khác
Shortlink: http://wp.me/P8gtr-MB
Chú ý quan trọng: – Thông thường, ta nên tìm cách biến đổi phương trình về dạng (1) và phân tích f(x,y) ở vế phải để biết dạng. Đa số, các phương trình đều có thể đưa được về 1 trong 6 dạng sau: phân ly biến số, đẳng cấp (thuần nhất), phương trình đưa về pt đẳng cấp được, pt tuyến tính, pt Bernoulli và pt vi phân toàn phần. – Nếu từ (1) ta không đưa pt về 1 trong 6 dạng trên được thì thử nghịch đảo phương trình (2) đưa phương trình về dạng x là hàm số theo biến y. Nghĩa là: thì sẽ tìm được cách giải. 1. Bài toán cauchy (Bài toán điều kiện đầu):
Nghĩa là: tìm đường cong y = y(x) đi qua điểm (x0;y0) và thỏa mãn pt (1) 2. Định lý Peano – Cauchy – Picard (định lý tồn tại và duy nhất nghiệm):
(ta công nhận định lý này, vì việc chứng minh vượt quá những kiến thức chúng ta được trang bị) 3. Nghiệm tổng quát: Nghiệm tổng quát của pt (1) là hàm số , phụ thuộc biến x, và hằng số C, và thỏa mãn các điều kiện: 1. Nghiệm đúng ptvp với mọi giá trị cụ thể của C. 2. Với bất kỳ điều kiện đầu ta cũng có thể tìm được sao cho hàm số thỏa mãn điều kiện đầu – Trong quá trình tìm nghiệm: nếu ta đi đến biểu thức (*) mà không giải được đối với y thì y là hàm ẩn theo x, C xác định bởi pt (*) và (*) được gọi là tích phân tổng quát. – Các nghiệm của phương trình không suy ra được từ nghiệm tổng quát được gọi là nghiệm kỳ dị. 4. Phương trình phân ly biến số (tách biến) Là phương trình có dạng: (hoặc ) Nghĩa là: ở vế phải ta gom được x đứng riêng và y đứng riêng (hoặc M(x) chỉ là hàm theo 1 biến số x và N(y) chỉ là hàm theo 1 biến số y) 4.1 Cách giải: Ta biến đổi như sau: Bằng cách lấy tích phân (vế trái theo y, vế phải theo x) ta được nghiệm tổng quát:
4.2 Ví dụ: 1. Giải phương trình: Chuyển phương trình về dạng (1) ta có:
Vậy: x tách riêng, và y tách riêng nên đây là phương trình tách biến. Khi đó ta có:
Ở đây do 2 vế đều có chứa ln nên thay vì ta chọn hằng số C thì ta chọn hằng số là lnC để dễ dàng rút gọn Vậy nghiệm phương trình: Hay: 2. Giải phương trình Ta có: (phương trình tách biến) Do đó: Suy ra: Bài này, ta cần xét thêm trường hợp tgy = 0. 3. Ví dụ tự giải: 4.3 Nhận xét:
Thật vậy, ta có: Vậy vế phải là biểu thức chỉ phụ thuộc z. Nghĩa là z tách riêng và x tách riêng nên nó là phương trình tách biến. 5. Phương trình đẳng cấp: – Hàm F(x,y) được gọi là hàm đẳng cấp bậc k nếu: với mọi λ > 0, ta có: – Ví dụ: Các hàm lần lượt là các hàm đẳng cấp bậc 0, bậc 1, bậc 3. Hàm không là hàm đẳng cấp 5.1 Phương trình vi phân đẳng cấp: Phương trình được gọi là phương trình đẳng cấp nếu: f(x,y) là hàm đẳng cấp bậc 0, nghĩa là – Lưu ý: một số giáo trình gọi tên dạng phương trình này là phương trình thuần nhất – Nhận xét: Giả sử thì để (1) là phương trình đẳng cấp thì tất cả mọi số hạng có trong M(x,y) và N(x,y) phải cùng bậc. – Ví dụ: phương trình: là phương trình đẳng cấp vì các số hạng đều là bậc 2. Phương trình: là phương trình đẳng cấp vì đều là các số hạng bậc 1. 5.2 Cách giải: Theo định nghĩa pt đẳng cấp ta có: . Chọn thì pt (1) có dạng: (*) Vế phải của pt (*) là 1 biểu thức luôn phụ thuộc y/x . Do vậy: Đặt Thế vào phương trình (5) ta có: – Th1: Nếu Khi đó: Do đó pt (5) trở thành: – Th2: Nếu Khi đó: : pt tách biến. 5.3 Ví dụ: Giải phương trình vi phân: Rõ ràng đây là phương trình đẳng cấp. Ta viết lại phương trình như sau:
Đặt: . Ta có: , và thay vào phương trình ta có:
Lấy tích phân 2 vế ta được:
Hay: Vậy nghiệm của phương trình có dạng: |