Phương trình mặt phẳng vuông góc với 2 mặt phẳng
|
I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Show
Định nghĩa Cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Nếu vectơ $\overrightarrow n \ne 0$ và có giá vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thì $\overrightarrow n $ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\alpha $ .  II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng 1. Định nghĩa Phương trình có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. * Nhận xét: a) Nếu mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình tổng quát là $Ax + By + Cz + D = 0$ thì nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$. b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm ${M_o}\left( {{x_o};{y_o};{z_o}} \right)$ nhận vectơ $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ làm vectơ pháp tuyến là $A\left( {x - {x_o}} \right) + B\left( {y - {y_o}} \right) + C\left( {z - {z_o}} \right) = 0$. 2. Các trường hợp riêng Vị trí đặc biệt của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ so với trục tọa độ:
III. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc 1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song $\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\left( {{\alpha _1}} \right)//\left( {{\alpha _2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {{n_1}} = k\overrightarrow {{n_2}} }\\{{D_1} \ne k{D_2}}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right) = k\left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right)}\\{{D_1} \ne k{D_2}}\end{array}} \right.\end{array}\\\begin{array}{l}\left( {{\alpha _1}} \right) \equiv \left( {{\alpha _2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {{n_1}} = k\overrightarrow {{n_2}} }\\{{D_1} = k{D_2}}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right) = k\left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right)}\\{{D_1} = k{D_2}}\end{array}} \right.\end{array} \end{array}$ 2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
$\begin{array}{l}\left( {{\alpha _1}} \right) \bot \left( {{\alpha _2}} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0\\ \Leftrightarrow {A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2} = 0 \end{array}$ IV. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Định lí: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$ và điểm ${M_o}\left( {{x_o};{y_o};{z_o}} \right)$. Khoảng cách từ điểm ${M_o}$ đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, kí hiệu là $d\left( {{M_o},\left( \alpha \right)} \right)$, được tính theo công thức: $d\left( {{M_o},\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$ Page 2SureLRN
Viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz hay viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm là những dạng toán quan trọng trong chương trình toán học THPT. Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề viết phương trình mặt phẳng trong không gian, cùng tìm hiểu nhé! Phương trình mặt phẳng trong không gianPhương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian OxyzPhương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong không gian Oxyz có dạng: Ax + By + Cz + D = 0 với \(A^{2}+B^{2}+C^{2}> 0\) Muốn viết phương trình mặt phẳng trong không gian ta cần xác định được 2 dữ kiện:
Vị trí tương đối của hai mặt phẳngCho 2 mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 thì: Hai mặt phẳng cắt nhau khi và chỉ khi: \(\frac{A}{A’} \neq \frac{B}{B’} \neq \frac{C}{C’}\) Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi: \(\frac{A}{A’} = \frac{B}{B’} = \frac{C}{C’} \neq \frac{D}{D’}\) Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi: \(\frac{A}{A’} = \frac{B}{B’} = \frac{C}{C’} = \frac{D}{D’}\) Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi: \(AA’ + BB’ + CC’ = 0\) Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳngCho điểm M(a, b, c) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó khoảng cách từ điểm M tới (P) được xác định như sau: \(d(A, (P)) = \frac{\left | Aa + Bb + Cc + D \right |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}\) Tổng kết lý thuyết viết phương trình mặt phẳng trong không gianCác dạng bài viết phương trình mặt phẳng trong không gian OxyzDạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết 1 điểm thuộc mặt phẳng và vector pháp tuyếnVì mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M(x_{0}; y_{0}; z_{0})\) Mặt phẳng (P) có vector pháp tuyến \(\vec{n}(A, B, C)\) Khi đó phương trình mặt phẳng (P): \(A(x-x_{0}) + B(y-y_{0}) + C(z-z_{0}) = 0\) Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M (3;1;1) và có VTPT \(\vec{n} = (1; -1; 2)\) Cách giải: Thay tọa độ điểm M và VTPP \(\vec{n}\) ta có: (P): \((1)(x – 3) + (-1)(y – 1) + 2(z – 1) = 0 \Leftrightarrow x – y + 2z – 4 = 0\) Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm không thẳng hàngVì mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, C. Nên mặt phẳng (P) có 1 cặp vector chỉ phương là \(\vec{AB} ; \vec{AC}\) Khi đó ta gọi \(\vec{n}\) là một vector pháp tuyến của (P), thì \(\vec{n}\) sẽ bằng tích có hướng của hai vector \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\). Tức là \(\vec{n} = \left [ \vec{AB};\vec{AC} \right ]\) Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(1,1,3); B(-1,2,3); C(-1;1;2) Cách giải: Ta có: \(\vec{AB} = (-2;1;0); \vec{AC} = (-2,0,-1) \Rightarrow \left [ \vec{AB},\vec{AC} \right ] = (-1,-2,2)\) Suy ra mặt phẳng (P) có VTPT là \(\vec{n} = \left [ \vec{AB},\vec{AC} \right ] = (-1,-2,2)\) và đi qua điểm A(1,1,3) nên có phương trình: \((-1)(x – 1) – 2(y – 1) + 2(z – 3) = 0\Leftrightarrow -x – 2y + 2z – 3 = 0\) Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 mặt phẳng khácMặt phẳng (P) đi qua điểm \(M(x_{0}; y_{0}; z_{0})\) và song song với mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz + m =0 Vì M thuộc mp(P) nên thế tọa độ M và pt (P) ta tìm được M. Khi đó mặt phẳng (P) sẽ có phương trình là: \(A(x – x_{0}) + B(y – y_{0}) + C(z – z_{0}) = 0\) Chú ý: Hai mặt phẳng song song có cùng vector pháp tuyến. Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1;-2;3) và song song với mặt phẳng (Q): 2x – 3y + z + 5 = 0 Cách giải: Vì (P) song song với (Q) nên VTPT của (P) cùng phương với VTPT của (Q). Suy ra (P) có dạng: 2x – 3y + z + m = 0 Mà (P) đi qua M nên thay tọa độ M (1;-2;3) ta có: \(2.1 + (-3).(-2) + 3 + m = 0 \Leftrightarrow m = -11\) Vậy phương trình (P): 2x – 3y + z – 11 = 0 Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 đường thẳng và 1 điểm cho trướcMặt phẳng (P) đi qua điểm \(M(x_{0}; y_{0}; z_{0})\) và đường thẳng d. Lấy điểm A thuộc đường thẳng d ta tìm được vector \(\vec{MA}\) và VTCP \(\vec{u}\), từ đó tìm được VTPT \(2.1 \vec{n} = \left [ \vec{MA};\vec{u} \right ]\). Thay tọa độ ta tìm được phương trình mặt phẳng (P) Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (3;1;0) và đường thẳng d có phương trình: \(\frac{x – 3}{-2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 1}{1}\) Cách giải: Lấy điểm A (3;-1;-1) thuộc đường thẳng d. Suy ra \(\vec{MA} (0; -2; -1)\) và VTCP \(\vec{u} (-2; 1; 1)\) Mặt phẳng (P) chứa d và đi qua M nên ta có VTPT: \(\vec{n} = \left [ \vec{MA};\vec{u} \right ] = (-1; 2; 4)\) Vậy phương trình mặt phẳng (P): \(-1(x – 3) + 2(y – 1) – 4z = 0\Leftrightarrow -x + 2y – 4z + 1 = 0\) Xem thêm >>> Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz Xem thêm >>> Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian: Lý thuyết và Bài tập Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức về viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz. Nếu có băn khoăn thắc mắc hay góp ý về chủ đề viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz, các bạn để lại bình luận bên dưới để chúng mình cùng trao đổi nhé. Cảm ơn các bạn, nếu thấy hay thì chia sẻ nha <3 Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây (Nguồn: Youtube.com) Please follow and like us:
|
