Viết phương trình tiếp tuyến đạo hàm
16:29:2429/09/2021 Show
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y0 thực ra là bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm. Vì vậy cách viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ y0 cho trước cũng sẽ vận dụng tương tự cách viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm, cụ thể: I. Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y0 như sau - Bước 1: Gọi M(x0, y0) là tiếp điểm. Từ y0 ta giải phương trình f(x) = y0 tìm được các nghiệm x0. - Bước 2: Tính đạo hàm y' = f'(x) của hàm số f(x) ⇒ f'(x0). - Bước 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (x0, y0) có dạng: y - y0 = f'(x0).(x - x0) > Lưu ý: Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x0. II. Bài tập minh họa viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y0 * Bài tập 1: Cho hàm số y= x3 + 4x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ bằng 2. > Lời giải: Hàm số y= x3 + 4x + 2. - Xét phương trình: x3+ 4x+ 2= 2 ⇔ x3+ 4x = 0 ⇔ x= 0 - Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’ = 3x2 + 4 ⇒ y’(0) = 2.02 + 4 = 4 ⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 2 có dạng: y - y0 = f'(x0).(x - x0) ⇔ y - 2 = 4(x – 0) ⇔ y= 4x + 2 Vậy phương trình tiếp tuyến của hàm số y= x3 + 4x + 2 tại điểm có tung độ bằng 2 là: y= 4x + 2. * Bài tập 2: Cho hàm số y = x3 + x2 + 3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 3. > Lời giải: - Hàm số y = x3 + x2 + 3 - Tung độ y0 = 3, xét phương trình: x3+ x2 + 3= 3 ⇔ x3+ x2 = 0 ⇔ x2(x + 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -1 Như vậy sẽ có 2 tiếp tuyến tại hai điểm có tung độ bằng 3 là (0;3) và (-1;3). - Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’ = 3x2 + 2x ⇒ y’(0) = 3.02 + 2.0 = 0 và y'(-1) = 3.(-1)2 + 2.(-1) = 3 - 2 = 1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 2 có dạng: y - y0 = f'(x0).(x - x0) * Với điểm có tọa độ (0;3) là: y - 3 = 0.(x - 0) ⇔ y = 3 * Với điểm có tọa độ (-1;3) là: y - 3 = 1.(x - (-1)) ⇔ y = x + 4 Vậy tại điểm có tung độ bằng 3 hàm số y = x3 + x2 + 3 có 2 phương trình tiếp tuyến là: y = 3 và y = x + 4.
Trên đây KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em về cách viết về cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y0 cho trước, hy vọng giúp các em hiểu bài hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết nhé, chúc các em thành công. TagsBài viết khác
I. Các dạng bài tập về cách viết phương trình tiếp tuyến+ Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M. +Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước. +Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k. Phương trình tiếp tuyếntại tiếp điểmM(x0,y0)có dạng: y=f‘(x0)(x−x0)+y0(1) Trong đóf‘(x0)là đạo hàm của hàm số tại điểmx0. x0;y0là hoành độ, tung độ của tiếp điểm M. Như vậy với bài tập yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến thì ta phải tìm 3 đại lượng, là:f′(x0);x0vày0. 1. Cách viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểmĐể viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm cho trướcM(x0,y0) Cách làm:Bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểmM(x0,y0)thì công việc cần làm là tìmf′(x0);x0vày0, trong đóx0,y0chính là tọa độ của điểm M, vì vậychỉ cần tínhf′(x0), rồi thay vào phương trình (1) là xong. 2. Cách viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểmCho đồ thị hàm số y=f(x), viết phương trình tiếp tuyếnΔcủa đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua A(a,b) Phương pháp: Gọi phương trình tiếp tuyến củaΔcó dạng: y = f’x0(x – x0) + y0 (2) Và có tiếp điểmM0(x0,y0) Vì A(a,b) thuộc tiếp tuyến nên thay tọa độ A vào phương trình ta có: b=f′x0(a–x0)+fx0vớifx0=y0 Phương trình này chỉ chứa ẩnx0, do đó chỉ cần giải phương trình trên để tìmx0. Sau đó sẽ tìm đượcf′x0 và y0. Tới đây phương trình tiếp tuyến của chúng ta đã tìm được. 3. Cách viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc kĐể viết phương trình tiếp tuyếnΔcủa đồ thị(C) y = f(x) khihệ số góc k ta làm theo các bước sau:
y=f′(x0)(x–x0)+y0 ***Chú ý:Tính chất của hệ số góc k của tiếp tuyến 4. Phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳngVì tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b nên tiếp tuyến có hệ số góc k=a. Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua tiếp điểmM(x0,y0)lày=a(x−x0)+y0
II. BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CÓ ĐÁP ÁNBài tập 1:Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 + 3x tại: a) ĐiểmA(1;4). b) Điểm có hoành độx0=−1 c) Điểm có tung độy0=14. d) Giao điểm của(C)với đường thẳngd:y=3x−8. Lời giải chi tiết a) Ta có:f'(x) + 3x2 + 3 => f'(1) = 6 Do vậy phương trình tiếp tuyến tại A (1;4) là y = 6(x-1) + 4 = 6x - 2 b) Với x = x0 = -1 => f(x0) = -4 => f'(x0) = 6 Do vậy phương trình tiếp tuyến lày = 6(x+1) − 4 = 6x + 2 c) Với y0 = 14 => x3 + 3x = 14 <=> x0 = 2; f'(2) = 15 Do vậy phương trình tiếp tuyến là:y = 15(x−2) + 14 = 15x − 16 d) Hoành độ giao điểm của(C)vàdlà x3 + 3x = 3x - 8 <=> x= -2 Vớix = −2 ⇒ y = −14 ⇒ f′(−2) = 15. Do đó phương trình tiếp tuyến lày = 15(x+2) − 14 = 15x + 16. Bài tập 2:Cho hàm số a) Viết phương trình tiếp tuyến của(C)tại điểm có tung độy0=3. b) Viết phương trình tiếp tuyến của(C)tại giao điểm của(C)với đường thẳngd:y=x−2. Lời giải chi tiết Bài tập 3:Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 - 4x + 2 tại điểm có hoành độ bằng 1 là: A.y=−x−2 B.y=x−2 C.y=−x D.y=−x+1 Lời giải chi tiết Ta có x0 = 1 => y0 = -1; f'(x) = 3x2 -4 => f'(1) = -1 Do vậy PTTT là:y=−(x−1)−1=−x.Chọn C. Bài tập 4: A.y=−3x−1 B.y=−3x−3 C.y=−3x D.y=−3x+3 Lời giải chi tiết (C)∩Oy=A(0;−1). Lại có y' = -3/(x-1)2 => y'(0) = -3 Do vậy phương trình tiếp tuyến là:y=−3x−1.Chọn A. Bài tập 5: Lời giải chi tiết |