- LG a
- LG b
- LG c
Cho hai hàm số: \[f[x] = - {1 \over 4}{x^2} + x + {1 \over 4}\]và \[g[x] = \sqrt {{x^2} - x + 1} \]
LG a
Chứng minh rằng đồ thị [P] của hàm số f và đồ thị [C] của hàm số g tiếp xúc với nhau tại điểm A có hoành độ x = 1.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}f'\left[ x \right] = - \frac{1}{2}x + 1\\g'\left[ x \right] = \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\end{array}\]
[P] và [C ] tiếp xúc nhau \[ \Leftrightarrow \] hệ \[\left\{ \begin{array}{l}f\left[ x \right] = g\left[ x \right]\\f'\left[ x \right] = g'\left[ x \right]\end{array} \right.\] có nghiệm
Xét hệ: \[\left\{ \begin{array}{l}f\left[ x \right] = g\left[ x \right]\\f'\left[ x \right] = g'\left[ x \right]\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{4}{x^2} + x + \frac{1}{4} = \sqrt {{x^2} - x + 1} \\ - \frac{1}{2}x + 1 = \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\end{array} \right.\]
Thay \[x = 1\] vào hệ trên ta thấy thỏa mãn.
Do đó hệ có nghiệm \[x = 1\].
Vậy [P] và [C ] tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ \[x = 1\].
LG b
Viết phương trình tiếp tuyến chung [D] của [P] và [C] tại điểm A.
Lời giải chi tiết:
Tại \[A\left[ {1;1} \right]\] có: \[f'\left[ 1 \right] = g'\left[ 1 \right] = \frac{1}{2}\] nên phương trình tiếp tuyến là:
\[y = \frac{1}{2}\left[ {x - 1} \right] + 1\] hay \[y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\].
LG c
Chứng minh rằng [P] nằm phía dưới đường thẳng [D] và [C] nằm phía trên [D].
Lời giải chi tiết:
Đặt \[h[x] = {x \over 2} + {1 \over 2}\] ta có
\[g[x] - h[x] = \sqrt {{x^2} - x + 1} - {{x + 1} \over 2}\]
- Với \[x + 1 \le 0\] hay \[x \le - 1\] , ta có \[g[x] - h[x] > 0\]
- Với \[x + 1 > 0\] hay \[x > - 1\] ta có:
\[g[x] - h[x] > 0\]
\[\eqalign{& \Leftrightarrow g[x] > h[x] \cr& \Leftrightarrow {g^2}[x] > {h^2}[x] \cr& \Leftrightarrow 4[{x^2} - x + 1] > {\left[ {x + 1} \right]^2} \cr& \Leftrightarrow 3{\left[ {x - 1} \right]^2} > 0 \cr} \]
Do đó, \[g[x] - h[x] \ge 0\] với mọi \[x \in R\] và chỉ có đẳng thức khi x = 1 hay [C] luôn nằm phía trên [D].
Lại có:
\[\begin{array}{l}
f\left[ x \right] - h\left[ x \right]\\
= - \frac{1}{4}{x^2} + x + \frac{1}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\\
= - \frac{1}{4}{x^2} + \frac{x}{2} - \frac{1}{4}\\
= - \frac{1}{4}\left[ {{x^2} - 2x + 1} \right]\\
= - \frac{1}{4}{\left[ {x - 1} \right]^2} \le 0,\forall x
\end{array}\]
Nên [P] luôn nằm phía dưới [D].
Vậy ta có đpcm.