Bài tập 1 sgk toán 11 trang 71 năm 2024

Trong tài liệu giải Toán lớp 11: Hai mặt phẳng song song những bài giải được tiến hành với nhiều phương pháp khác nhau giúp các em học sinh có thể giải toán nhanh chóng và tìm ra những phương pháp giải bài dễ dàng và tiện lợi nhất. Tất cả những kiến thức, bài tập liên quan đến hai mặt phẳng song song đều được cập nhật đầy đủ và hướng dẫn giải chi tiết. Thông qua những bài giải bài tập toán lớp 11 này cũng giúp cho học sinh ôn luyện và củng cố kiến thức đã học tốt hơn. Để học tốt Toán lớp 11 các em cần chăm chỉ học tập và làm bài cũng có thể sử dụng tài liệu Giải Toán lớp 11 : Hai mặt phẳng song song để so sánh kết quả và các cách làm toán để có thể học tập và trang bị kiến thức tốt nhất.

Sau bài Giải Toán lớp 11: Hai mặt phẳng song song chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về phép chiếu song song, hình biểu diễn của một hình không gian, là tài liệu giải toán lớp 11 phép chiếu song song mời các bạn cùng chú ý theo dõi nhé.

Chương II Hình học các em học bài Bài 1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng, hãy xem gợi ý Giải bài tập trang 53, 54 SGK Hình Học 11 của Bài 1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng để học tốt Toán 11.

Trong chương trình học môn Hình học 11 phần Giải toán lớp 11 Bài 1, 2, 3 trang 23, 24 SGK Hình Học- Phép khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau là một trong những nội dung rất quan trọng mà các em cần quan tâm và trau dồi để nâng cao kỹ năng giải Hình học 11 của mình.

Ngoài nội dung ở trên, các em có thể tìm hiểu thêm phần Giải toán lớp 11 Bài 1, 2, 3 trang 29 SGK Hình Học- Phép vị tự để nâng cao kiến thức môn Hình học 11 của mình.

Trong mặt phẳng (\( \alpha\)) cho hình bình hành \(ABCD\). Qua \(A, B, C, D\) lần lượt vẽ bốn đường thẳng \(a,b,c,d\) song song với nhau và không nằm trên (\( \alpha\)). Trên \(a, b, c\) lần lượt lấy ba điểm \(A', B', C'\) tùy ý

1. Hãy xác định giao điểm \(D'\) của đường thẳng \(d\) với mặt phẳng \((A'B'C')\)

2. Chứng minh \(A'B'C'D'\) là hình bình hành

Lời giải:

1. Gọi \(O = AC ∩ BD\); \(O'\) là trung điểm \(A'C'\) thì \(OO' // AA'\)

\(\Rightarrow OO'// d // b\) mà \(O \in BD \subset mp (b;d)\) ( mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng song song); \(d ∩ B'O' = D'\) là điểm cần tìm

2. \(mp(a;d) // mp( b;c)\) , mặt phẳng thứ 3 \((A'B'C'D')\) cắt hai mặt phẳng trên theo hai giao tuyến song song : \(A'D' // B'C'\). Chứng minh tương tự được \(A'B' // D'C'\). Từ đó suy ra \(A'B'C'D'\) là hình bình hành.

Bài 2 trang 71 sách giáo khoa hình học lớp 11

Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M\) và \(M'\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC\) và \(B'C'\)

1. Chứng minh rằng \(AM\) song song với \(A'M'\).

2. Tìm giao điểm của mặt phẳng \((AB'C')\) với đường thẳng \(A'M\)

3. Tìm giao tuyến \(d\) của hai mặt phẳng \((AB'C')\) và \((BA'C')\)

4. Tìm giao điểm \(G\) của đường thẳng \(d\) với mặt phẳng \((AM'M)\)

Chứng minh \(G\) là trọng tâm của tam giác \(AB'C'\).

Lời giải:

1. \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ tam giác nên ta có: \(AA'//MM'\) và \(AA'=MM'\) nên suy ra \(AA'M'M\) là hình bình hành.

Do đó: \(AM//A'M'\)

2. Trong \(mp (AA'M'M)\), gọi \(K=MA' ∩ AM' \),

\(K =A'M\cap (AB'C')\)

3. Trong \((ABB'A')\) gọi \(O= AB'\cap A'B\)

Do đó: \((AB'C')\cap (BA'C')=d ≡ C'O\)

4. Trong \((AB'C')\): gọi \(G= C'O ∩ AM'\),

\(G \in AM'\subset ( AMM')\) nên \(G=d\cap (AMM')\).

Mà \(O, M'\) lần lượt là trung điểm \(AB'\) và \(B'C'\) nên \(G\) là trọng tâm của tam giác \(AB'C'\).

Bài 3 trang 71 sách giáo khoa hình học lớp 11

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\)

1. Chứng minh rằng hai mặt phẳng \((BDA')\) và \((B'D'C)\) song song với nhau

2. Chứng minh rằng đường chéo \(AC'\) đi qua trọng tâm \({G_{1},{G_{2}}}\) của hai tam giác \(BDA'\) và \(B'D'C\)

3. Chứng minh \({G_{1},{G_{2}}^{}}{}\) chia đoạn \(AC'\) thành ba phần bằng nhau

4. Gọi \(O\) và \(I\) lần lượt là tâm của các hình bình hành \(ABCD\) và \(AA'C'C\). Xác định thiết diện của mặt phẳng \((A'IO)\) với hình hộp đã cho

Lời giải:

1. Tứ giác \(BDD'B'\) và \(A'BCD\) là hình bình hành nên: \(BD // B'D'\) \(\Rightarrow BD // (B'D'C)\)

và \(BA' // CD' \Rightarrow BA' // ( B'D'C)\)

Từ đó suy ra \(( BDA') //(B'D'C)\)

2. Gọi \(O,O'\) lần lượt là tâm của hình bình hành \(ABCD,A'B'C'D'\)

Gọi \({G_{1}}^{{}\), \({G_{2}}}{}\) là giao điểm của \(AC'\) với \(A'O\) và \(CO'\)

\(\Delta {G_1}OA\) đồng dạng \(\Delta {G_1}A'C'\)

\( \Rightarrow {{{G_1}O} \over {{G_1}A'}} = {{OA} \over {A'C'}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{A{G_1}} \over {A'O}} = {2 \over 3}\)

\(\Rightarrow G_1\) là trọng tâm \(\Delta A'BD\).

Chứng minh tương tự ta có: \(G_2\) là trọng tâm \(\Delta B'D'C\).

Vậy \(AC'\) đi qua \(G_1,G_2\).

3. Chứng minh

\( \frac{A{G_{1}}^{}}{{G_{1}C}{}}\) = \( \frac{AO}{A'C'} = \frac{1}{2}\) (vì \(\Delta G_1OA\) đồng dạng \(\Delta G_1 A'C'\))

Từ đó suy ra: \( {AG_{1} = {G_{1}{G_{2}= {G_{2}C'}^{}}{}}^{}}{}\)

4. \((A'IO) ≡ (AA'C'C)\) suy ra thiết diện là \(AA'C'C\)

Bài 4 trang 71 sách giáo khoa hình học lớp 11

Cho hình chóp \(S.ABCD\). Gọi \(A_1\) là trung điểm của cạnh \(SA\) và \(A_2\) là trung điểm của đoạn \(AA_1\). Gọi \((α)\) và \((β)\) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng \((ABCD)\) và lần lượt đi qua \(A_1,A_2\). Mặt phẳng \((α)\) cắt các cạnh \(SB, SC, SD\) lần lượt tại \(B_1, C_1, D_1\). Mặt phẳng \((β)\) cắt các cạnh \(SB, SC, SD\) lần lượt tại \(B_2, C_2, D_2\). Chứng minh:

1. \(B_1, C_1, D_1\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SB, SC, SD\)

2. \(B_1B_2 = B_2B\), \(C_1C_2 = C_2C\), \(D_1D_2 = D_2D\)

3. Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác \(ABCD\).

Lời giải:

1. \((α) // (ABCD) ⇒ A_1 B_1 // AB\) Mặt khác \(A_1\) là trung điểm của \(SA\) nên \(A_1B_1\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\) \( ⇒B_1\) là trung điểm của \(SB\). Chứng minh tương tự với các điểm còn lại.

2. Ta có \(A_2B_2\) là đường trung bình hình thang \(ABB_1A_1\) nên \(B_1B_2=B_2B\). Chứng minh tương tự ta được: \(C_1C_2 = C_2C\), \(D_1D_2 = D_2D\).