Giải bài 5 trang 10 SGK Giải tích 12
Bài 5 [trang 10 SGK Giải tích 12]: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Bài giải:
- Xét hàm số y = f[x] = tanx – x trên khoảng [0; π/2]
Ta có: y’ = -1= > 0 với ∀ x ∈ R.
⇒ hàm số đồng biến trên khoảng [0; π/2]
⇒ f[x] > f[0] = 0 với ∀ x > 0
hay tan x – x > 0 với ∀ x ∈ [0; π/2]
⇔ tan x > x với ∀ x ∈ [0; π/2] [đpcm].
- Xét hàm số y = g[x] = tanx - x - trên
Theo kết quả câu a]: tanx > x ∀ x ∈
⇒ g'[x] > 0 ∀ x ∈
⇒ y = g'[x] đồng biến trên
⇒ g[x] > g[0] = 0 với ∀ x ∈
Với dạng bài tập ở bài 5 chứng minh \[g[x]>h[x]\] với x thuộc một miền cho trước ta thường tiến hành như sau:
Bước 1: \[g[x]>h[x]\Leftrightarrow g[x]-h[x]>0.\]
Bước 2: Đặt \[f[x]=h[x]-g[x]\], khảo sát tính đơn điệu của hàm số \[f[x]\].
Bước 3: Tìm x để \[f[x]=0\] [thường là hai đầu mút của miền đang xét].
Bước 4: Từ tính đơn điệu của hàm số \[f[x]\] đưa ra kết luận cho bài toán.
Lời giải:
Ta áp dụng các bước trên để giải câu a, b bài 5:
Câu a:
Để chứng minh \[tanx >x\] với mọi \[0 < x < \frac{\pi }{2}\] ta chứng minh tanx - x > 0 với mọi \[0 < x < \frac{\pi }{2}\]
Trước tiên ta cần kiểm tra xem có tồn tại giá trị nào của x đề tanx-x=0 hay không, mà trước hết ta cần thử với hai giá trị là x=0 và \[x=\frac{\pi}{2}.\]
Dễ thấy: \[tan[0]-0=0.\]
Khi đó ta tiến hành mở rộng khoảng đang xét thành nửa khoảng, cụ thể lời giải chi tiết như sau:
Xét hàm số f[x]= tanx–x liên tục trên nửa khoảng \[\left [0;\frac{\pi}{2} \right ]\]
\[f'[x] = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1 > 0\] với mọi \[x\in\left [ 0;\frac{\pi}{2} \right ]\].
\[f'[x]=0\Leftrightarrow x=0.\]
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên \[\left [0;\frac{\pi}{2} \right ]\].
Vậy với \[0 < x < \frac{\pi }{2}\] ta có \[f\left[ x \right] > f\left[ 0 \right] = 0 \Rightarrow tanx > x\] với mọi \[x\in\left [ 0;\frac{\pi}{2} \right ]\].
Câu b:
Chứng minh \[\tan x > x +\frac{x^3}{3} [0 < x < \frac{\pi }{2}]\]
Tương tự câu a.
Xét hàm số \[g[x] = \tan x - x - \frac{{{x^3}}}{3}\] liên tục trên \[\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\] có đạo hàm:
\[g'[x] = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1 - {x^2} = {\tan ^2}x - {x^2}\]
\[= [tanx - x][tanx + x] > 0,\,\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\] [Theo câu a]
\[g'[x]=0\Leftrightarrow x=0.\]
Bảng biến thiên:
.png]
Vậy hàm số đồng biến trên \[\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\].
Vậy với \[0 < x < \frac{\pi }{2}\] ta có \[g\left[ x \right] > g\left[ 0 \right] \Rightarrow tanx > x + \frac{{{x^3}}}{3}\] với mọi \[x\in\left [ 0;\frac{\pi}{2} \right ]\].
Nhận xét:
Với dạng bài tập chứng minh f[x]>0 với x thuộc khoảng [a;b]. Nếu f[a] và f[b] đề khác không, hoặc f[x] không xác định tại a và b. Thì f[x]=0 tại x0, với x0 là nghiệm của phương trình f'[x]=0, ta không cần mở rộng khoảng đang xét.
Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Bài 5 [trang 10 SGK Giải tích 12]: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Lời giải:
- Xét hàm số y = f[x] = tanx – x trên khoảng [0; π/2]
Ta có: y’ = > 0 với ∀ x ∈ R.
⇒ hàm số đồng biến trên khoảng [0; π/2]
⇒ f[x] > f[0] = 0 với ∀ x > 0
hay tan x – x > 0 với ∀ x ∈ [0; π/2]
⇔ tan x > x với ∀ x ∈ [0; π/2] [đpcm].
- Xét hàm số y = g[x] = tanx - x - trên
Theo kết quả câu a]: tanx > x ∀ x ∈
⇒ g'[x] > 0 ∀ x ∈
⇒ y = g'[x] đồng biến trên
⇒ g[x] > g[0] = 0 với ∀ x ∈
Kiến thức áp dụng
+ Hàm số y = f[x] có đạo hàm trên khoảng K xác định:
Nếu f’[x] < 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f[x] nghịch biến trên K.
Nếu f’[x] > 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f[x] đồng biến trên K.
+