Bài tập Chứng minh tính chất cấp số nhân

Đối với các bạn học sinh có lẽ không còn xa lạ gì với cấp số nhân, đây là phép toán cơ bản được sử dụng khá nhiều ở chương trình trung học phổ thông. Bài viết này VOH sẽ giúp bạn củng cố lại các lý thuyết và một số bài tập liên quan thường gặp về cấp số nhân.

Ôn tập cấp số nhân (Nguồn: Internet)

Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn). Trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q (công bội) không đổi.

Có nghĩa là:

unlà cấp số nhân n2,un-1.q, vớinN*

Ví dụ: Dãy số un, với un=2nlà một cấp số nhân với số hạng đầu u1=2và công bội q=2.

Tính chất

Nếu unlà một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy

Tức là: uuk=uk-1.uk+1

Ví dụ: Cho cấp số nhân unvới công bội q > 0. Biếtu1=1,u3=3.Tìmu4

Giải

Theo định lý 1, ta có:

u22=u1.u3(1)

u23=u2.u4(2)

Từ (1) ta có u2> 0 vì u1=1>0, q > 0

Suy ra u2=u1.u3. Từ đây ta đượcu4=u23u1.u3=321.3=33

Công bội q

q là công bội của cấp số nhân. Công bội q=un+1un

Ví dụ: Cho cấp số nhân uncóu1=2,u2=4. Tính công bội q

Áp dụng công thức ta có:

q=u2u1=42=2

Số hạng tổng quát

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầuunvà công bội q thì số hạng tổng quátunsẽ được tính bởi công thức:

un=u1.qn-1

Ví dụ: Cho cấp số nhân unvới u1=3,q=-12.Tìmu7

Giải:u7=u1.-127-1=364

Tổng n số hạng đầu tiên

Giả sử có cấp số nhân unvới công bội q . Với mỗi số nguyên dương n gọi Snlà tổng n số hạng đầu tiên của nó.

Sn=u1+u2+...+un=u11-qn1-qq1

Nếu q =1 thì cấp số nhân làSn=n.u1

Cấp số nhân lùi vô hạn

Với uncó công bội q q<1được gọi cấp số nhân lùi vô hạn.

Ví dụ: 12,14,18,116,...là một cấp số nhân lùi vô hạnq=12

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cho cấp số nhân lùi vô hạn uncó công bội q . Khi đó ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S bằng: S=u11-qvớiq<1.

Một số bài tập ví dụ

Bài tập cấp số nhân (Nguồn: Internet)

Ví dụ 1: Cho 3 số a,b,c lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằnga2+b2b2+c2=ab+bc2

Ta có: a,b,c lập thành một cấp số nhân ta được ac=b2

Khi:a2+b2b2+c2=a2b2+a2c2+b4+b2c2=a2b2+acb2+b2c2=a2b2+2ab2c+b2c2=ab+bc2

Vậy a2+b2b2+c2=ab+bc2

Ví dụ 2: Tính tổng cấp số nhân

S=2+6+18+...+13122

Xét cấp số nhân uncó u1=2và công bội q = 3.

Ta có:

13122=un=unqn-1=2.3n-1n=9S=S9=u1q9-1q-1=239-13-1=19682

Ví dụ 3: Tìm x để ba số x-2, x-4, x+2 lập thành một cấp số nhân.

Để 3 số x-2,x-4,x+2lập thành một cấp số nhân, điều kiện làx-42=x-2x+28x=20x=52

Vậy x=52là số cần tìm để ba số x-2,x-4,x+2trở thành một cấp số nhân.

Trên đây là những kiến thức về cấp số nhân và các bài tập ví dụ liên quan. Hy vọng qua bài viết này đã giúp bạn ôn lại được các kiến thức cơ bản về cấp số nhân để có thể áp dụng vào trong quá trình học tập. Chúc các bạn thành công!