Đối với các bạn học sinh có lẽ không còn xa lạ gì với cấp số nhân, đây là phép toán cơ bản được sử dụng khá nhiều ở chương trình trung học phổ thông. Bài viết này VOH sẽ giúp bạn củng cố lại các lý thuyết và một số bài tập liên quan thường gặp về cấp số nhân.
Ôn tập cấp số nhân [Nguồn: Internet]
Định nghĩa
Cấp số nhân là một dãy số [hữu hạn hay vô hạn]. Trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q [công bội] không đổi.
Có nghĩa là:
unlà cấp số nhân n2,un-1.q, vớinN*
Ví dụ: Dãy số un, với un=2nlà một cấp số nhân với số hạng đầu u1=2và công bội q=2.
Tính chất
Nếu unlà một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng [trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn] bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy
Tức là: uuk=uk-1.uk+1
Ví dụ: Cho cấp số nhân unvới công bội q > 0. Biếtu1=1,u3=3.Tìmu4
Giải
Theo định lý 1, ta có:
u22=u1.u3[1]
u23=u2.u4[2]
Từ [1] ta có u2> 0 vì u1=1>0, q > 0
Suy ra u2=u1.u3. Từ đây ta đượcu4=u23u1.u3=321.3=33
Công bội q
q là công bội của cấp số nhân. Công bội q=un+1un
Ví dụ: Cho cấp số nhân uncóu1=2,u2=4. Tính công bội q
Áp dụng công thức ta có:
q=u2u1=42=2
Số hạng tổng quát
Nếu một cấp số nhân có số hạng đầuunvà công bội q thì số hạng tổng quátunsẽ được tính bởi công thức:
un=u1.qn-1
Ví dụ: Cho cấp số nhân unvới u1=3,q=-12.Tìmu7
Giải:u7=u1.-127-1=364
Tổng n số hạng đầu tiên
Giả sử có cấp số nhân unvới công bội q . Với mỗi số nguyên dương n gọi Snlà tổng n số hạng đầu tiên của nó.
Sn=u1+u2+...+un=u11-qn1-qq1
Nếu q =1 thì cấp số nhân làSn=n.u1
Cấp số nhân lùi vô hạn
Với uncó công bội q q