Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Phương trình đường tròn OXY - Luyện thi đại học", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền M 0 D R I Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN I- LÝ THUYẾT: 1. Phương trình đường tròn: Dạng 1: Phương trình đường tròn [ ]C có tâm [ ; ]I a b , bán kính 0R > : [ ] [ ]2 2 2x a y b R- + - = Dạng 2: Phương trình tổng quát: 2 2 2 2 0x y ax by c+ - - + = [*] có tâm [ ; ]I a b , bán kính 2 2R a b c= + - Lưu ý: Điều kiện để [*] là phương trình của một đường tròn là: 2 2 0a b c+ - > THUẬT TOÁN Lập phương trình đường tròn Bước 1: Xác định tâm [ ; ]I a b của [ ]C . Bước 2: Xác định bán kính 0R > . Kết luận: Phương trình đường tròn [ ]C có tâm [ ; ]I a b , bán kính 0R > : [ ] [ ]2 2 2x a y b R- + - = Nhận xét: Phương trình [*] hoàn toàn xác định nếu biết các hệ số , , a b c . Như vậy chúng ta cần 3 giả thiết để xác định , , a b c . 2. Tiếp tuyến của đường tròn: 2 2 2 2 0x y ax by c+ - - + = a. Tiếp tuyến của [ ]C tại 0 0 0[ ; ]M x y [ 0M : tiếp điểm] Tiếp tuyến của [ ]C tại 0 0 0[ ; ]M x y có phương trình: 0 0 0 0[ ] [ ] 0xx yy a x x b y y c+ - + - + + = [CT phân đôi toạ độ] Nhận xét: 0 0 0 0 0 0[ ; ] [ ; ]Râ rµng tiÕp tuyÕn ®i qua vµ cã 1 vect¬ ph¸p M x y IM x a y b 0 0 0 0: [ ] [ ][ ] 0 a x x x b y y y b. Điều kiện tiếp xúc: Đường thẳng : 0ax by cD + + = là tiếp tuyến của [ ] [ ];C d I RÛ D = Lưu ý: Để tiện trong việc tìm phương trình tiếp tuyến của [ ]C , chúng ta không nên xét phương trình đường thẳng dạng y kx m= + [tồn tại hệ số góc k ]. Vì như thế dẫn đến sót trường hợp tiếp tuyến thẳng đứng x C= [không có hệ số góc]. Nhắc: * §êng th¼ng cã hÖ sè gãc . * §êng th¼ng [vu«ng gãc ] kh«ng cã hÖ sè gãc. y kx m k x C Ox 0 0 [ ; ]0Do ®ã, trong qu¸ tr×nh viÕt pt tiÕp tuyÕn víi [C] tõ 1 ®iÓm M [ngoµi [C]] ta cã thÓ thùc hiÖn b»ng 2 p.ph¸p: x y * Ph¬ng ph¸p 1: 0 0[ ; ]0Gäi ®êng th¼ng bÊt k× qua M vµ cã h.s.g k: x y 0 0[ ] y y k x x R I www.VNMATH.com www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 0 ¸p dông ®k tiÕp xóc, gi¶i ®îc k. * NÕu kÕt qu¶ 2 hÖ sè gãc k [t¬ng øng 2 t.tuyÕn], bµi to¸n gi¶i quyÕt xong. * NÕu gi¶i ®îc 1 h.g.gãc k, th× xÐt ®êng th¼ng [®©y lµ tiÕp tuyÕn thø hai]x x . * Ph¬ng ph¸p 2: 2 2 0 0[ ; ] 0 [ ; ]0Gäi lµ 1 v.t ph¸p cña ®.th¼ng ®i qua Mn a b a b x y 0 0[ ] [ 0 ] a x x b y y , .¸p dông ®iÒu kiÖn tiÕp xóc, ta ®îc 1 ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai theo a b Nhận xét: Ph¬ng ph¸p 2 tá ra hiÖu qu¶ vµ khoa häc h¬n. 3. Vị trí tương đối của hai đường tròn-Số tiếp tuyến chung: Cho hai đường tròn [ ]1C có tâm 1I , bán kính 1R và [ ]2C có tâm 2I , bán kính 2R . Trường hợp Kết luận Số tiếp tuyến chung R 2R 1 I 2I 1 1 2 1 2+ > - [ ]1C cắt [ ]2C tại hai điểm phân biệt 2 I 1 I 2R 1 R 2 1 2 1 2R R I I- = [ ]1C tiếp xúc trong với [ ]2C 1 www.VNMATH.com www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền I 1 I 2 R 1 R 2 1 2 1 2R R I I- < [ ]1C không cắt [ ]2C [lồng vào nhau] 0 VẤN ĐỀ 1: Nhận dạng 1 phương trình bậc hai là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính đường tròn. Phương pháp: Cách 1: Đưa phương trình về dạng 2 2 2 2 0x y ax by c+ - - + = [1] Kiểm tra, nếu biểu thức: 2 2 0a b c+ - > thì [1] là phương trình đường tròn ìï í = + -ïî 2 2 T©m [ ; ]I a b R a b c Cách 2: Đưa phương trình về dạng: - + - =2 2[ ] [ ]x a y b m và kết luận. LUYỆN TẬP: Bài tập 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn. Tìm tâm và bán hính nếu có: + - + + = + + - - = + + + + = + - + - = + - = + - + + = + + + - = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ] 6 8 10 0 ] 4 6 12 0 ] 2 4 5 0 ] 2 2 4 8 2 0 ] 4 0 ] 2 4 8 1 0 ] 2 4 5 0 a x y x y b x y x y c x y x y d x y x y e x y y f x y x y g x y xy y Bài tập 2: Cho phương trình + - + + - =2 2 2 4 6 1 0x y mx my m [1] a. Với giá trị nào của m thì pt[1] là phương trình của đường tròn? b. Nếu [1] là phương trình đường tròn, hãy tìm toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn đó theo m . Bài tập 3: Cho phương tr×nh : 2 2 26 2[ 1] 11 2 4 0x y mx m y m m+ + - - + + - = . a. T×m điều kiện của m để pt trªn là l ph¬ng tr×nh đường trßn. b. T×m quỹ tÝch t©m đường trßn. Bài tập 4: Cho phương trình: 2 2 1] 2[sin 1] 2 02[cosx y x ya a . ;10 a. Víi gi¸ trÞ nµo cña th× ph¬ng tr×nh trªn lµ p.tr×nh cña mét ®êng trßn. b. T×m gi¸ trÞ ®Ó ®êng trßn cã b¸n kÝnh nhá nhÊt, lín nhÊt. c. T×m quü tÝch t©m ®êng trßn, khi thay ®æi trªn ®o¹n 0 a a a 080 . Bài tập 5: Cho phương tr×nh [ ]mC : 2 2 2[ 1] 2[ 3] 2 0x y m x m y+ + - - - + = . a. T×m m để [ ]mC là phương tr×nh của một đường trßn. b. T×m m để [ ]mC là đường trßn t©m [1; 3].I - Viết phương tr×nh đường trßn. c. T×m m để [ ]mC là đường trßn cã b¸n kÝnh 5 2.R = Viết phương tr×nh đường trßn. d. T×m tập hợp t©m c¸c đường trßn [ ]mC . www.VNMATH.com www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền VẤN ĐỀ 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Phương pháp: Cách 1: Tìm tâm [ ; ]I a b , bán kính > 0R . Suy ra [ ] [ ]- + - =2 2 2[ ] :C x a y b R Cách 2: Gọi phương trình đường tròn: 2 2 2 2 0x y ax by c+ - - + = - Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn số , , a b c . - Giải hệ phương trình tìm , , a b c . LUYỆN TẬP: Bài tập 1: Lập phương trình đường tròn [C] trong các trường hợp sau: a. [C] có tâm [ 1;2]I - và tiếp xúc với đường thẳng : 2 7 0x yD - + = . b. [C] có đường kính là AB với [1;1], [7;5]A B Bài tập 2: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm với [1;4], [ 7;4], [2; 5]A B C- - . Bài tập 3: Cho 3 điểm [1;2], [5;2], [1; 3]A B C - . a. Lập phương trình đường tròn [C] ngoại tiếp tam giác ABC. b. Xác định tâm và bán kính của [C]. Bài tập 4: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với [1;5], [4; 1],A B - [ 4; 5]C - - Bài tập 5: Lập phương trình đường tròn [C], có tâm [2;3]I trong các trường hợp sau: a. [C] có bkính là 5 b. [C] qua điểm [1;5]A . c. [C] tiếp xúc với trục Ox d. [C] tiếp xúc với trục Oy e. [C] tiếp xúc với đường thẳng : 4 3 12 0x yD + - = Bài tập 6: Lập phương trình đường tròn [C] đi qua hai điểm [ 1;2], [ 2;3]A B- - và có tâm ở trên đường thẳng : 3 10 0x yD - + = . Gợi ý: Cách 1: Gọi [ ;3 10] ΔI a a + Î . Do [C] qua A, B nên [ ]IA IB R= = Cách 2: Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d của đoạn AB. Bước 2: Tâm I của [C] là giao điểm của d và Δ . Bài tập 7: Lập phương trình của đường tròn [C] đi qua 2 điểm [1;2], [3;4]A B và tiếp xúc với đường thẳng : 3 3 0x yD + - = . Gợi ý: Cách 1: Gọi [ ; ]I a b là tâm đường tròn. Theo giả thiết: [ ];Δ IA IB d I IA =ìï Þí =ïî giải ra I. Cách 2: Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d của đoạn AB. Bước 2: Gọi tâm của [C] là I dÎ [tọa độ 1 ẩn]. Do Δ tiếp xúc với [C] nên [ ];Δd I IA= Þ giải ra I. Bài tập 8: Lập phương trình đường tròn [C] đi điểm [4;2]M và tiếp xúc với các trục toạ độ. Gợi ý: www.VNMATH.com www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Gọi [ ; ]I a b là tâm của [C]. Do [C] tiếp xúc với Ox, Oy nên a b R= = . TH 1: [ ; ], a b I a a R a= Þ = Phương trình [C]: [ ] [ ]2 2 2x a y a a- + - = Do [ ] [ ] [ ]2 2 2 2 2[4;2] 4 2 12 20 0 10 =éÎ Û - + - = Û - + = Û ê =ë a M C a a a a a a Vậy có 2 đường tròn: [ ] [ ] [ ]2 21 : 2 2 4 C x y- + - = và [ ] [ ] [ ] 2 2 2 : 10 10 100 C x y- + - = . TH 2: [ ; ], a b I a a R a= - Þ - = Phương trình [C]: [ ] [ ]2 2 2x a y a a- + + = Do [ ] [ ] [ ]2 2 2 2[4;2] 4 2 4 20 0 v« nghiÖmÎ Û - + + = Û - + =M C a a a a a Bài tập 9: Cho 3 đường thẳng: 1 2: 3 4 1 0, : 4 3 8 0, : 2 1 0D + - = D + - = + - =x y x y d x y . Lập phương trình đường tròn [C] có tâm I nằm trên đường thẳng d và [C] tiếp xúc với 1 2, D D . Gợi ý: Cách 1: Gọi [ ;1 2 ]I a a d- Î là tâm của đường tròn [C]. Do 1 2, D D là các tiếp tuyến của [C] nên suy ra: [ ] [ ]1 2; ;D = D Þd I d I giải ra I. Cách 2: Bước 1: Lập phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng 1D và 2D . 2 2 2 2 3 4 1 4 3 8 3 4 1 4 3 8 3 4 4 3 + - + - = Û + - = + - + + x y x y x y x y [ ] 1 2 3 4 1 4 3 8 : 7 0 3 4 1 4 3 8 : 7 7 9 0 + - = + - - - =é é Û Ûê ê+ - = - + - - - =ëë x y x y T x y x y x y T x y Bước 2: Tâm I của đường tròn tương ứng là giao điểm của d và 1 2, . T T Bài tập 10: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm [0;1], [2; 3] A B và có bán kính 5R . Gợi ý: Cách 1: Gọi [ ; ]I a b là tâm đường tròn [C]. Theo giả thiết 5 IA IB IA R =ì í = =î Cách 2: Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d của AB. Bước 2: Gọi I dÎ [tọa độ 1 ẩn]. Theo giả thiết 5IA = Þ giải ra I. Bài tập 11: Lập phương trình đường tròn [C] có tâm [1;1]I , biết đường thẳng : 3 4 3 0 x y cắt [C] theo dây cung AB với 2.AB Gợi ý: www.VNMATH.com www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Dễ thấy [ ] 22;Δ 4 ABR d I= é ù +ë û Bài tập 12: [ĐH A-2007] Cho tam giác ABC có [0;2], [ 2; 2]A B - - và [4; 2]C - . Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Viết phương trình đường tròn qua các điểm H, M, N. Gợi ý: Bước 1: Xác định tọa độ M, N. Bước 2: Lập phương trình đường trung trực d của MN. Dễ thấy tâm I của [C] thuộc d . Bước 3: Tâm I của [C] là giao điểm của BH và d . Suy ra IM R= . Bài tập 13: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm [1;1]A và có bán kính 10R , tâm [C] nằm trên Ox. Gợi ý: Gọi [ ;0]I a OxÎ là tâm của [C]. Theo giả thiết, 10IA = , từ đây giải ra I. Bài tập 14: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm [2;3]M và tiếp xúc đồng thời với hai đường thẳng 1 2: 3 4 1 0, : 4 3 7 0. x y x y Gợi ý: Gọi [ ; ]I a b là tâm của [C]. Theo giả thiết [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 2 ;Δ ;Δ ;Δ IM d I R d I d I ì = =ï Þí =ïî giải ra I. Bài tập 15: Viết phương trình đường tròn đi qua gốc toạ độ, bán kính 5R và tiếp xúc với đường thẳng : 5 0 2x y . Gợi ý: Gọi [ ; ]I a b là tâm của [C]. Theo giả thiết [ ] [ ] 5 ;Δ 5 OI R d I ì = =ï Þí =ïî giải ra I. Bài tập 16: Cho đường thẳng : 3 0 d x y và đường tròn 2 2[ ] : 7 0. C x y x y Chứng minh rằng d cắt [ ]C . Hãy viết phương trình đường tròn [ ']C đi qua [ 3;0]M và các giao điểm ... ^ IM tại trung điểm H của đoạn AB. Ta có 2 3 2 ABBHAH === . Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I. Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB. Gọi H' là trung điểm của A'B' Ta có: 2 2 2 3 3' 3 2 2 IH IH IA AH æ ö = = - = - =ç ÷ è ø Ta có: [ ] [ ]2 25 1 1 2 5MI = - + + = và 2 7 2 35HIMIMH =-=-= 3 13' ' 5 2 2 MH MI H I= + = + = Ta có: 2 2 2 21 3 49 52 13 4 4 4 R MA AH MH= = + = + = = 43 4 172 4 169 4 3'MH'H'A'MAR 22222 ==+=+== Vậy có 2 đường tròn [C'] thỏa ycbt là: [ ] [ ]2 25 1 13x y- + - = hay [ ] [ ]2 25 1 43x y- + - = . 22] [ĐH A-2009] Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn [ ] 2 2: 4 4 6 0C x y x y+ + + + = và đường thẳng Δ : 2 3 0x my m+ - + = . Gọi I là tâm đường tròn [C], tìm m để Δ cắt [C] tại hai điểm phân biệt A, B sao cho IAB có diện tích lớn nhất. Gợi ý: Đường tròn [ ]C có [ ]2; 2 2 I R ì - -ï í =ïî T©m B¸n kÝnh . * Ta có: [ ]2 3 0 2 3+ - + = Û = - - +x my m x my m thay vào phương trình [ ]C , ta được: [ ] [ ]2 22 3 4 2 3 4 6 0 [*]- + + - - + + + =my m y my m y và chỉ rõ lúc đó, phương trình [*] có 2 nghiệm phân biệt. Hai giao điểm [ ]2 3;- + -A AA my m y và [ ]2 3;- + -B BB my m y , với Ay , By là nghiệm của phương trình [*]. * Để ý rằng, 21 1. .sin sin 2sin 2 2IAB S IA IB AIB R AIB AIB= = = Lập luận [ ] 02sin sin 1 90IABS AIB AIB AIB IA IBÛ Û = Û = Û ^ max max [**] Ta có: [ ] [ ]2 1; 2 , 2 1; 2A A B BIA my m y IB my m y= - + - + = - + - + www.VNMATH.com www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Từ [**] suy ra: [ ] [ ] [ ] [ ]. 0 2 1 2 1 2 . 2 0A B A BIA IB my m my m y y= Û - + - - + - + + + = Sử dụng định lí Vi-et đối với phương trình [*], suy ra kết quả. 23] [ĐH B-2009] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn [ ] [ ]2 2 4: 2 5 C x y- + = và hai đường thẳng 1 2Δ : 0, Δ : 7 0 x y x y- = - = . Xác định tâm K và bán kính của đường tròn [ ]1C , biết đường tròn [ ]1C tiếp xúc với 1 2Δ , Δ và tâm K thuộc đường tròn [C]. Gợi ý: Gọi tâm của [ ]1C là [ ] [ ] 2 2 4[ ; ] 2 5 K a b C a bÎ Û - + = [1] Theo giả thiết, đường tròn [ ]1C tiếp xúc với 1 2Δ , Δ [ ] [ ] [ ]1 2 1; ;d K d K RÛ D = D = 15 5 77 5 7 2 5 5 72 50 2 a b a ba b a b a b a b a b a b b a a b é- = -- - = -é êÛ = Û - = - Û Ûê ê- = -ë =ë Thay vào [1], giải ra kết quả. 24] [ĐH D-2009] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn [ ] [ ]2 2: 1 1C x y- + = . Gọi I là tâm của [C]. Xác định điểm M thuộc [C] sao cho 030IMO = . Gợi ý: Cách 1: Gọi [ ] [ ] [ ]2 2; : 1 1M x y C x yÎ - + = [1] Xét tam giác IAB : 2 2 2 2 22 . . 1 1 2OM IM OI IM OI MIO x y= + - Û + = + - 0cos cos120 2 2 3x yÛ + = [2] Giải hệ [1] và [2], đưa ra kết quả bài toán. Cách 2: Để ý rằng, với các giả thiết đã cho của bài toán, thấy được 030MOI = . Lúc đó, điểm M là giao điểm của 2 đường thẳng 1D , 2D qua O và có các hệ số góc tương ứng 0 1 1tan30 3 k = = và 01 1tan150 3 k = = - . Ta có 1D : 1 3 y x= và 1D : 1 3 y x= - Kết hợp với giả thiết [ ] [ ] [ ]2 2; : 1 1M x y C x yÎ - + = [1] , giải hệ và đưa ra kết quả. 25] [ĐH A-2010] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng 1 : 3 0d x y+ = và 2 : 3 0d x y- = . Gọi [T] là đường tròn tiếp xúc với 1d tại A, cắt 2d tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của [T] biết tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 và điểm A có hoành độ dương. Gợi ý: Để ý rằng: 1 3. 2 2ABC S AB BC= = [*] www.VNMATH.com www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Do [ ]1 : 3 0 ; 3Î + = Þ -A d x y A a a . Mặt khác, [T] cắt 2d tại hai điểm B, C nên gọi [ ] [ ]; 3 , ; 3B b b C c c . Ta có: [ ]; 3 3AC c a c a= - + và 1d có 1 vectơ chỉ phương [ ]1 1; 3da = - . Do ABCD vuông tại B nên tâm I của [T] là trung điểm AC. Và [T] là đường tròn tiếp xúc với 1d tại A nên suy ra: [ ] [ ]1. 0 3 3 3 0 2dAC a c a c a c a= Û - - + = Û = - . Lúc đó: [ ]2 ; 2 3C a a- - . Từ [*] giải ra được tọa độ A, chọn hoành độ dương. XEM LẠI TÍ!!!! 26] [ĐH B-2010] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm [ ]2; 3A và elip [ ] 2 2 : 1 3 2 x yE + = . Gọi 1 2, F F là các tiêu điểm của [E] [ 1F có hoành độ âm]; M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng 1AF với [E], N là điểm đối xứng của 2F qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác 2ANF . Gợi ý: NhËn thÊy vµ §êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh: lµ giao ®iÓm cã tung ®é d¬ng cña víi [E], suy ra: Do N lµ ®iÓm ®èi xøng cña qua M nªn 1 2 1 1 2 2 2 1[ 1;0] [1;0]. 3 3 2 3 2 31; 3 3 , x yF F AF M AF M MA MF F MF MN + - = æ ö Þ = =ç ÷ è ø = [ ] suy ra: Ph¬ng tr×nh [T]: 2 2 2 . 2 3 41 3 3 MA MF MN x y = = æ ö - + - =ç ÷ è ø 27] [ĐH D-2010] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh [3; 7]A - , trực tâm [3; 1]H - , tâm đường tròn ngoại tiếp [ 2;0]I - . Xác định tọa độ đỉnh C biết đỉnh C có hoành độ dương. Gợi ý: Lấy điểm A’ đối xứng với điểm A qua I. Gọi [ ] /; : . 0C x y AC A C = [1] . Để ý rằng, BHCA’ là hình bình hành nên IA IC= [2] Từ [1] và [2] suy ra, kết luận bài toán. 28] [ĐHDLHV] Cho điểm [ ]8; 1A - và đường tròn [ ] 2 2: 6 4 4 0C x y x y+ - - + = a. Viết các phương trình các tiếp tuyến của [ ]C kẻ từ A. b. Gọi M, N là các tiếp điểm. Tính độ dài MN. 29] [CĐMGTW3-2004] Cho đường tròn [ ] 2 2: 2 4 0C x y x y+ + - = và đường thẳng : 1 0d x y- + = a. Viết phương trình đường thẳng vuông góc với d và tiếp xúc [ ]C . www.VNMATH.com www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền b. Viết phương trình đuờng thẳng song song với d và cắt đường tròn tại hai điểm M, N sao cho độ dài MN bằng 2. c. Tìm toạ độ điểm T trên d sao cho qua T kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với [ ]C tại hai điểm A, Bvà góc ATB bằng 060 . 30] [CĐCNHN 2004] Cho tam giác ABC, hai cạnh AB, AC theo thứ tự có phương trình 2 0x y+ - = và 2 6 3 0x y+ + = , cạnh BC có trung điểm [ 1;1]M - . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 31] [CĐCNHN 2005] Cho tam giác ABC, biết phương trình các cạnh AB, BC, CA lần lượt là 2 5 0, 2 2 0, 2 9 0x y x y x y+ - = + + = - + = . Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 32][CĐSPQB 2005] Viết phương trình đường tròn [ ]C qua 3 điểm [2;3], [4;5], [4;1]A B C Chứng tỏ điểm [5;2]K thuộc miền trong của [ ]C . Viết phương trình đường thẳng d qua điểm K sao cho d cắt [ ]C theo dây cung AB nhận K làm trung điểm. 33] Cho đường tròn [ ] 2 2: 2 8 8 0C x y x y+ - - - = a. Viết phương trình tiếp tuyến của [ ]C đi qua điểm [4;0]M . b. Viết phương trình tiếp tuyến của [ ]C đi qua điểm [4;6]N . 34] Cho đường tròn [ ] [ ] [ ]2 2: 2 4 9C x y- + - = và điểm [3;4]M a. Viết phương trình tiếp tuyến của [ ]C đi qua điểm M . b. Viết phương trình tiếp tuyến của [ ]C , biết tiếp tuyến đó hợp với chiều dương của trục Ox một góc 045 . 35] [ĐHGTVT] Cho đường tròn [ ] 2 2: 2 4 4 0C x y x y+ - - - = và điểm [2;2]A . Viết phương trình tiếp tuyến của [ ]C đi qua điểm A . Giả sử hai tiếp điểm là MN, tính AMNS . Gợi ý: Cách 1: Viết phương trình tiếp tuyến 1 2 ,D D của [C] qua A như trên. Xác định tọa độ M, N tương ứng là các tiếp điểm của 1 2 ,D D và [C]. Tính AMNS . Cách 2: Dùng công thức phân đôi tọa độ, suy ra phương trình MN là: 4 0+ =x . Xét [ ] 22 : ;IMH MH IM d I MNé ùD = - ë û [ ] 22 2;R d I MN MN MHé ù= - Þ =ë û Từ đó suy ra: [ ]1 ; . 2 =AMNS d A MN MN Cách 3: Dùng công thức 21 . .sin sin 2 2AMN RS MA NA MAN MAND = = Với 2MAN MAI= . Tính MAI : sin IMMAI IA = 36] Cho hai đường tròn [ ] 2 21 : 4 8 11 0C x y x y+ - - + = và [ ] 2 22 : 2 2 2 0C x y x y+ - - - = D2 D1 I A N M www.VNMATH.com www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền a. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn b. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn. 37] [Đề thi đề xuất 2010] Cho [ ] [ ] [ ]2 2: 1 3 9C x y- + + = và đường thẳng : 1 0d x y- + = . Trên [C] lấy điểm M và lấy điểm N trên d sao cho O là trung điểm MN. Tìm M, N. Gợi ý: Gọi [ ; 1]N t t d+ Î . Do M, N đối xứng nhau qua O nên [ ; 1]M t t- - - . Mặt khác, [ ] [ ]2 2 2 1 [ ] 1 1 3 9 2 0 2 t M C t t t t t = -éÎ Û - - + - - + = Û - - = Û ê =ë Kết luận: Vậy có hai cặp điểm M, N thỏa yêu cầu bài toán [1;0], [ 1;0] M N - và [ 2; 3], [2;3] M N- - 38] [Đề thi đề xuất 2010] Cho [ ] [ ] [ ]2 2: 1 1 1C x y+ + - = và đường thẳng : 1 0d x y- - = . Trên [C] lấy điểm M và lấy điểm N trên d sao cho M, N đối xứng nhau qua Ox. Tìm M, N. Gợi ý: Gọi [ ; 1]N t t d- Î . Do M, N đối xứng nhau qua Ox nên [ ; 1]M t t- + . Mặt khác, [ ] [ ]2 2 2 1 [ ] 1 1 1 1 0 0 t M C t t t t t = -éÎ Û + + - + - = Û + = Û ê =ë Kết luận: Vậy có hai cặp điểm M, N thỏa yêu cầu bài toán [ 1;2], [ 1; 2] M N- - - và [0;1], [0; 1] M N - 39] [Toán học Tuổi trẻ 2010] Cho tam giác ABC có [1;0]A , hai đường thẳng tương ứng chứa đường cao kẻ từ B, C của tam giác thứ tự có phương trình: 2 1 0x y- + = và 3 1 0x y+ - = . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gợi ý: Phương trình : 3 1 [ 5; 2] AB x y B- = Þ - - . Phương trình : 2 [ 1;4] 2AC x y C+ = Þ - . Sử dụng kỹ năng gọi đường tròn đi qua 3 điểm [1;0]A , [ 5; 2]B - - và [ 1;4]C - ta tìm được phương trình [ ] 2 2 36 10 43: 0 7 7 7 C x y x y+ + - - = . 40] [Toán học Tuổi trẻ 2010] Cho đường tròn [ ] 2 2 3: 2 C x y+ = và parabol 2[ ] :P y x= . Tìm trên [P] điểm M sao cho từ M có thể kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn [C] và hai tiếp tuyến này tạo với nhau một góc 600. Gợi ý: Cách 1: Gọi [ ]20 0; [ ]M x x PÎ và A, B là hai tiếp điểm. Dễ thấy yêu cầu bài toán khi và chỉ khi 060 2 6.AMB OM OA= Û = = Từ đó ta tìm được { }0 2; 2x Î - . Vậy có hai điểm thỏa y.c.b.t là [ ] [ ]1 22; 2 , 2; 2 M M - . Cách 2: Tương tự cũng tính được 060 2 6.AMB OM OA= Û = = www.VNMATH.com www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Suy ra [ ] [ ]/ ; 6M C OÎ º vậy điểm M là giao điểm của hai đường: [ ]/ 2 2: 6C x y+ = và 2[ ] :P y x= . 41] [Toán học Tuổi trẻ 2010] Cho đường tròn [ ] 2 2: 6 4 8 0C x y x y+ - - + = và đường thẳng : 2 6 0d x y- + = . Tìm tọa độ điểm M trên [C] sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d có giá trị nhỏ nhất. Gợi ý: Đường tròn [C] có tâm [3;2]I , bán kính 5R = . Hai tiếp tuyến của [C] song song với d là 1Δ : 2 1 0 x y- + = và 2Δ : 2 9 0 x y- - = . Xác định các tiếp điểm 1 2, M M tương ứng 1Δ và 2Δ với [C]. So sánh [ ]1;d M d và [ ]2;d M d . Đáp số: [ ]1 1;3M www.VNMATH.com www.VNMATH.com