Biện luận theo m số nghiệm của phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp thực hiện
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng: Thí dụ 1. Cho phương trình: |x$^2$-2mx-2m| = |x$^2$ + 2x|. (1) 1. Giải phương trình với m = 1. 2. Tìm m để phương trình: a. Vô nghiệm. b. Có nghiệm. c. Có nghiệm duy nhất. d. Có hai nghiệm phân biệt. e. Có ba nghiệm phân biệt.Phương trình tương đương với: $\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2mx - 2m = {x^2} + 2x\\{x^2} - 2mx - 2m = - {x^2} - 2x\end{array} \right.$ <=> $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {(m + 1)x = - m}\\ {{x^2} - (m - 1)x - m = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {(m + 1)x = - m{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (*)}\\ {x = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,hoac\,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = - m} \end{array}} \right.$(I) 1. Với m = 1, ta thấy ngay phương trình có ba nghiệm phân biệt x = -$\frac{1}{2}$, x = ±1. 2. Ta lần lượt:
Thí dụ 2. Giải và biện luận phương trình |mx + 1| = |3x + m-2|. Phương trình được chuyển thành dạng: $\left[ \begin{array}{l}mx + 1 = 3x + m - 2\\mx + 1 = - 3x - m + 2\end{array} \right.$<=> $\left[ \begin{array}{l}(m - 3)x = m - 3\,\,\,\,\,\,(2)\$m + 3)x = 1 - m\,\,\,\,\,\,(3)\end{array} \right.$.
Giải và biện luận phương trình (2): Xét hai trường hợp: Trường hợp 2: Nếu m - 3 ≠ 0 <=> m ≠ 3. (2) <=> x = 1: phương trình có nghiệm duy nhất.
Giải và biện luận phương trình (3): Xét hai trường hợp: Trường hợp 2: Nếu m + 3 ≠ 0 <=> m ≠ -3. (3) <=> x = $\frac{{1 - m}}{{m + 3}}$: là nghiệm duy nhất.Kết luận:
Bước 1: Lựa chọn hướng biến đổi về (I) hoặc (II), rồi thực hiện việc giải và biện luận nó. Bước 2: Kết luận. * Chú ý:
Thí dụ 1. Giải các phương trình sau: a. |2x + 5| = x$^2$ + 5x + 1. b. $\frac{{x - 1}}{{2x - 3}} = \frac{{ - 3x + 1}}{{\left| {x + 1} \right|}}.$a. Điều kiện x$^2$ + 5x + 1 + 3 ≥ 0. (*) Biến đổi phương trình tương đương với: $\left[ \begin{array}{l}2x + 5 = {x^2} + 5x + 1\,\\ - 2x - 5 = {x^2} + 5x + 1\end{array} \right.$ <=> $\left[ \begin{array}{l}{x^2} + 3x - 4 = 0\\{x^2} + 7x + 6 = 0\end{array} \right.$ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{(*)} \,\,\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 6\end{array} \right..$ Vậy,phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = -6. b. Tập xác định D = R\{-1; $\frac{3}{2}$} Biến đổi phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{{2x - 3}} = \frac{{ - 3x + 1}}{{x + 1}}\,\,\,khi\,\,x \ge - 1\\\,\frac{{x - 1}}{{2x - 3}} = \frac{{ - 3x + 1}}{{ - x - 1}}\,\,\,khi\,\,x < - 1\end{array} \right.$<=>$\left\{ \begin{array}{l}7{x^2} - 11x + 2 = 0\,\,\,khi\,\,x \ge - 1\\5{x^2} - 11x + 2 = 0\,\,\,\,khi\,\,x < - 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,x = \frac{{11 \pm \sqrt {65} }}{{14}}.$ Vậy, phương trình có hai nghiệm x = $\frac{{11 \pm \sqrt {65} }}{{14}}$. Thí dụ 2. Giải và biện luận các phương trình |x-1| = mx + 2m-1. Ta biến đổi phương trình về dạng: |x-1| = mx + 2m-1 <=> $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x - 1 = mx + 2m - 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I)\\\left\{ \begin{array}{l}x - 1 < 0\\x - 1 = - (mx + 2m - 1)\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(II)\end{array} \right.$. Ta đi giải và biện luận (I) (I) <=> $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\$1 - m)x = 2m\,\,\,\,\,\,(*)\end{array} \right.$. Trường hợp 1: Nếu 1 – m = 0 <=> m = 1. (*) <=> 0.x = 2 (mâu thuẫn) => (*) vô nghiệm.Trường hợp 2: Nếu 1 – m ≠ 0 <=> m ≠ 1. (*) <=> x = $\frac{{2m}}{{1 - m}}$. Nếu $\frac{{2m}}{{1 - m}}$ < 1 <=> $\frac{{3m - 1}}{{1 - m}}$ < 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}m < \frac{1}{3}\\m > 1\end{array} \right.$ => (I) vô nghiệm. Nếu $\frac{{2m}}{{1 - m}}$ ≥ 1 <=> $\frac{{3m - 1}}{{1 - m}}$ ≥ 0 <=> $\frac{1}{3}$ ≤ m < 1 => (I) có nghiệm x = $\frac{{2m}}{{1 - m}}$. Giải và biện luận (II) – Học sinh tự làm.
Thí dụ 1. Giải phương trình |x$^2$-4x + 3| + |x$^2$-4x| = 3. Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Viết lại phương trình dưới dạng: |x$^2$-4x + 3| + |4x-x$^2$| = ( x$^2$-4x + 3) + (4x-x$^2$) $ \leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 \ge 0\\4x - {x^2} \ge 0\end{array} \right.$ <=> $\left[ \begin{array}{l}0 \le x \le 1\\3 \le x \le 4\end{array} \right.$. Vậy, nghiệm của phương trình là [0; 1] ∪ [3; 4]. Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng: |x$^2$-4x + 3| + |x$^2$-4x| = ( x$^2$-4x + 3)-( x$^2$-4x) $ \leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 \ge 0\\{x^2} - 4x \le 0\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le 1\end{array} \right.\\0 \le x \le 4\end{array} \right.$<=> $\left[ \begin{array}{l}0 \le x \le 1\\3 \le x \le 4\end{array} \right.$. Vậy, nghiệm của phương trình là [0; 1] ∪ [3; 4].
Dạng 4: Sử dụng ẩn phụ
Viết lại phương trình dưới dạng: (x$^3$-3x)$^2$-(x + 2)|x$^3$-3x| + 2x = 0. (1) Đặt t = |x$^3$-3x|, điều kiện t ≥ 0. Khi đó, phương trình (1) được biến đổi về dạng: t$^2$-(x + 2)t + 2x = 0 (3) ta có Δ$_t$ = (x + 2)$^2$-8x = (x-2)$^2$, do đó: (3) <=> $\left[ \begin{array}{l}t = x\\t = 2\end{array} \right.$ <=> $\left[ \begin{array}{l}|{x^3} - 3x| = x\\|{x^3} - 3x| = 2\end{array} \right.$ <=> $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^3} - 3x = \pm x\end{array} \right.\\{x^3} - 3x = \pm 2\end{array} \right.$ <=> $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}{x^3} - 4x = 0\\{x^3} - 2x = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\{x^3} - 3x \pm 2 = 0\end{array} \right.$ <=> $\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \sqrt 2 \\x = \pm 1,\,\,x = \pm 2\end{array} \right.$. Vây, phương trình có 6 nghiệm phân biệt x = 0, x = ± 1, x = $\sqrt 2 $, x = ± 2. |