Các dạng toán đường tròn lớp 9 trong sbt năm 2024
Với cách giải Các dạng bài toán về tiếp tuyến của đường tròn môn Toán lớp 9 Hình học gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Các dạng bài toán về tiếp tuyến của đường tròn. Mời các bạn đón xem: Các dạng bài toán về tiếp tuyến của đường tròn và cách giải - Toán lớp 9
1. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn Dấu hiệu 1: Theo định nghĩa tiếp tuyến: Đường thẳng chỉ có duy nhất một điểm chung với đường tròn là tiếp tuyến của đường tròn đó. Đường thẳng d có duy nhất một điểm chung với đường tròn (O) là A nên d là tiếp tuyến của đường tròn và A là tiếp điểm. Dấu hiệu 2: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn. Trên hình ta có, đường thẳng ∆ đi qua điểm H của đường tròn (O) và vuông góc với bán kính OH nên đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (O). 2. Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau Nếu hai tuyến tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì - Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. - Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. - Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai tiếp điểm. Cho đường tròn (O;R) có AB; AC là hai tiếp tuyến của đường tròn Khi đó ta có: AB = AC. AO là tia phân giác BAC^. OA là tia phân giác BOC^. 3. Đường tròn nội tiếp tam giác - Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn. - Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao của ba đường phân giác các góc trong tam giác. Cho tam giác ABC có D là giao của ba đường phân giác nên D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Khi đó D cách đều ba cạnh tam giác. 4. Đường tròn bàng tiếp tam giác - Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh tam giác còn lại thì gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác. - Với mỗi tam giác, ta xác định được ba đường tròn bàng tiếp. - Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác được xác định bởi giao của hai đường phân giác góc ngoài của hai đỉnh tạo thành cạnh mà đường tròn tiếp xúc. Cho tam giác ABC có I là giao của hai đường phân giác ngoài góc B và góc C nên I là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác. II. Bài tập vận dụng Dạng 1: Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn Phương pháp giải: Để chứng minh một đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại điểm C ta làm như sau: Cách 1: Chứng minh điểm C thuộc (O) và a vuông góc với OC tại C. Cách 2: Kẻ OH vuông góc với a tại H. Chứng minh OH = OC = R. Cách 3: Vẽ tiếp tuyến a’ của (O;R) tại C. Chứng minh a trùng a’. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh:
Lời giải:
mà I ∈BK nên AKI^=90° Tam giác AKI là tam giác vuông tại K ⇒A, K, I nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AKI với đường kính là AI (định lí) ⇒Đường tròn đường kính AI đi qua K
Ta có: + OK = OA = AI2 \=> Tam giác AKO cân tại O ⇒ OKA^=OAK^ (tính chất) (1) Do tam giác AHC vuông tại H nên OAK^+ACB^=90° Do tam giác BCK vuông tại K nên HBK^+ACB^=90° Ta có: OAK^+ACB^=90°HBK^+ACB^=90° ⇒ OAK^=HBK^ (do cùng phụ với góc ACB^) (2) Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A nên AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến. ⇒H là trung điểm của BC ⇒KH là đường trung tuyến của tam giác BKC Tam giác BKC vuông tại K ⇒KH = HB (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) ⇒Tam giác BHK là tam giác cân tại H ⇒ HBK^=HKB^(3) Từ (1) (2) (3) ⇒OKA^=HKB^ Mà OKA^+OKB^=90° Do đó: HKB^+OKB^=90° ⇒HKO^=90°⇒HK⊥KO tại K ⇒HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI. Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Ax và By là hai tia tiếp tuyến của (O) (Ax, By cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB). Trên tia Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho COD^=90°. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (O). Lời giải: Vẽ OH vuông góc với CD, H thuộc CD. Tia CO cắt tia đối của tia By tại E. Vì Ax và By là tiếp tuyến ⇒CAO^=EBO^=90° Xét tam giác ACO và tam giác BEO có: OA=OB=R AOC^=BOE^ (hai góc đối đỉnh) CAO^=EBO^=90° Do đó: ΔACO=ΔBEO(g – c – g) ⇒OC=OE nên O là trung điểm của EC Tam giác CDE có OD vừa là đường cao (do COD^=90°) vừa là đường trung tuyến nên tam giác DEC cân tại D ⇒OD là tia phân giác góc D Xét tam giác OHD và tam giác OBD có: HDO^=BDO^ (do DO là tia phân giác) OHD^=OBD^=90° OD chung Do đó: ΔOHD=ΔOBD (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒OH = OB = R Ta có: OH ⊥CD và OH = OB = R Nên CD là tiếp tuyến của đường tròn (O). Dạng 2: Tính độ dài Phương pháp giải: Nối tâm với tiếp điểm rồi vận dụng tính chất của tiếp tuyến và sử dụng các công thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông. Ví dụ 1: Cho (O;R) đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho CAB^=30°. Trên tia đối của tia BA lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh:
Lời giải:
⇒ΔABCvuông tại C Xét ΔABCvuông tại C ta có: CAB^+ABC^+BCA^=180°(định lý tổng ba góc trong một tam giác) ⇔30°+ABC^+90°=180° ⇔ABC^=180°−90°−30° ⇒ABC^=60° Xét tam giác OBC có: OB = OC = R OBC^=60° Do đó: Tam giác OBC là tam giác đều ⇒OB = CB (1) Lại có: M nằm trên tia đối tia BA và BM = R ⇒B là trung điểm của OM OB = BM (2) Từ (1) và (2) ⇒OB = CB = BM Xét tam giác OCM có: CB là đường trung tuyến OB = BM = CB ⇒Tam giác OCM vuông tại C ⇒CO ⊥CM Ta có : CO ⊥CM CO = R Do đó: CM tiếp tuyến của đường tròn (O).
Xét tam giác OCM vuông tại C ta có: OM2=OC2+MC2(định lý Py – ta – go) ⇔2R2=R2+MC2 ⇔4R2=R2+MC2 ⇔MC2=4R2−R2 ⇔MC=3R2 ⇒MC=3R(điều phải chứng minh). Ví dụ 2: Cho đường tròn tâm O bán kính OA = R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA.
Lời giải:
⇒M là trung điểm của BC Xét tứ giác OCAB có: M là trung điểm của OA (giả thuyết) M là trung điểm của BC Do đó tứ giác OCAB là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) Lại có OC = OB = R Nên tứ giác OCAB là hình thoi.
Xét tam giác OAB có: OA = OB = AB = R ⇒Tam giác OAB là tam giác đều ⇒BOA^=60° Lại có BD là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O) Nên BD ⊥OB ⇒Tam giác OBD vuông tại B Xét tam giác OBD có: tanBOD^=BDOB ⇔tan60°=BDR ⇒BD=3R. Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng bằng nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc Phương pháp giải: Dùng tính chất tiếp tuyến, hai tiếp tuyến cắt nhau. Ví dụ 1: Cho đường tròn (O), hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại A
Lời giải:
⇒AB=ACBOA^=COA^BAO^=CAO^ Gọi giao điểm của BC và AO là F Xét tam giác OFB và tam giác OFC có: OF chung OB = OC = R BOA^=COA^(chứng minh trên) Do đó ΔOFB=ΔOFC (c – g – c) ⇒BF=FCOFB^=OFC^(các cặp cạnh và góc tương ứng) Ta có: OFB^+OFC^=180° Mà OFB^=OFC^ ⇒OFB^=OFC^=90° Vì BF = CF và OFB^=OFC^=90° nên OA là đường trung trực của BC.
⇒OF // BD Mà A, O, F thẳng hàng Do đó OA // BD (điều phải chứng minh). Ví dụ 2: Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M. Đường thẳng vuông góc với OA tại O cắt MB tại C. Chứng minh CM = CO. Lời giải: Vì MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A ⇒MA ⊥OA Ta có: MA⊥OA(cmt)OC⊥OA(gt) ⇒MA // OC ⇒COM^=AMO^ (hai góc so le trong) (1) Do MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau ⇒OM là tia phân giác AMB^ ⇒AMO^=BMO^(tính chất) (2) Từ (1) và (2) ⇒COM^=AMO^=BMO^ Xét tam giác OCM có: COM^=CMO^ ⇒ΔOCMlà tam giác cân tại C ⇒OC = CM. Dạng 4: Chứng minh tiếp tuyến, tính độ dài, số đo góc dựa vào tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau Phương pháp giải: Chúng ta sử dụng các nội dung kiến thức sau - Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau - Khái niệm đường tròn nội tiếp, đường tròn bàng tiếp tam giác - Các hệ thức lượng trong tam giác vuông Ví dụ 1: Cho đường tròn (O;R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC (B, C là các tiếp điểm). Chứng minh BAC^=60° khi và chỉ khi OA = 2R. Lời giải: Để góc BAC^=60° thì OAB^=30° (Vì theo tính chất hai tiếp cắt nhau thì tia nối điểm đó với tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến). Ta có: AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B nên AB ⊥ OB tại B. Xét tam giác OAB vuông tại B ta có: sinOAB^=OBOA=sin30° ⇔ROA=12 ⇒OA=2R (điều phải chứng minh) Chiều ngược lại: Nếu OA = 2R, ta chứng minh BAC^=60° Do AB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm nên tam giác OAB vuông tại B Ta có: sinOAB^=OBAB=R2R=12 (tỉ số lượng giác trong tam giác vuông) ⇒OAB^=30° Mà AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau nen OA là tia phân giác của góc BAC^ ⇒BAC^=2.OAB^=2.30°=60° (điều phải chứng minh). Ví dụ 2: Cho đường tròn (O). Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến ME và MF (E, F là hai tiếp điểm) sao cho EMO^=30°. Biết chu vi tam giác MEF là 30cm
Lời giải:
Vì MF và ME là hai tiếp tuyến cắt nhau nên OM là tia phân giác EOF^ Gọi giao điểm của EF và MO là I Xét tam giác OFI và tam giác OEI có: OI chung OE = OF = R EOI^=FOI^ (do OM là tia phân giác của EOF^ ) Do đó ΔOFI=ΔOEI (c – g – c) ⇒OIF^=OIE^ (hai góc tương ứng) Ta có: OIF^+OIE^=180° Mà OIF^=OIE^ ⇒OIF^=OIE^=90° Lại có: IF = IE (hai cạnh tưng ứng) nên I là trung điểm của EF Chu vi tam giác MEF là : c = ME + MF + EF Mà ME = MF, EF = 2EI nên ta có Chu vi tam giác MEF là: c = 2ME + 2EI (*) Ta lại có tam giác IME vuông và EMI^=30° sinEMI^=IEEM ⇔sin30°=IEEM=12 ⇒2IE=EM thay vào (*) ta có: c = 2ME + 2IE = 2ME + ME = 3ME = 30cm ⇒ME =10cm ⇒IE = 5cm ⇒EF = 2IE = 10cm.
MI2+IE2=ME2 ( định lý Py – ta – go) ⇔MI2+52=102 ⇔MI2=100−25 ⇔MI2=75 ⇔MI=53 cm Diện tích tam giác MEF là S = 12MI.EF=12.53.10=253( cm2). Dạng 5: Chứng minh các đẳng thức hình học Phương pháp giải: Sử dụng các tính chất về tiếp tuyến, hai tiếp tuyến cắt nhau. Ví dụ 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tiếp tuyến Ax và By. Điểm M nằm trên (O) sao cho tiếp tuyến tại M cắt Ax, By tại C và D. Chứng minh:
Lời giải:
Vì Ax và d là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C ⇒AC = CM (tính chất) (1) Vì By và d là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D ⇒BD = DM (tính chất) (2) Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: AC + BD = CM + DM ⇒AC + BD = CD (điều phải chứng minh).
Vì By và d là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D ⇒MOD^=BOD^ Ta có: AOC^+MOC^+MOD^+BOD^=180° Mà AOC^=MOC^ và MOD^=BOD^ ⇒ 2MOC^+2MOD^=180° ⇔2MOC^+MOD^=180° ⇔MOC^+MOD^=90° ⇒COD^=90°.
Do đó: CD⊥OM tại M Xét tam giác COD vuông tại O có OM là đường cao ta có: OM2=CM.DM (hệ thức lượng trong tam giác vuông) Ta có: OM = OA (bán kính) CM = CA (cmt) BM = BD (cmt) Do đó OM2=CM.DM⇔OA2=CA.BD⇒CA.BD=R2 (do OA = R). Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Từ B, C kẻ tiếp tuyến BD, CE với (A) trong đó D, E là các tiếp điểm.
Lời giải:
Vì BD và BC là hai tiếp tuyến cắt nhau nên DAB^=HAB^ Ta có: HAB^+HAC^=90° ⇒2.HAB^+HAC^=180° ⇔2.HAB^+2.HAC^=180° Mà EAC^=HAC^ và DAB^=HAB^ ⇒EAC^+HAC^+DAB^+HAB^=180° ⇒DAE^=180° ⇒ba điểm D, A, E thẳng hàng.
Vì BD và BC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại B nên BD = BH Vì CE và BC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C nên CE = CH Ta có: BD. CE = BH. HC (do BD = BH và CE = HC) Lại có: BH. HC = AH2= DE22(do DE là đường kính) ⇒BD.CE=DE24 (điều phải chứng minh). III. Bài tập vận dụng Bài 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tiếp tuyến Ax và By. M là điểm trên (O) sao cho tiếp tuyến Ax và By cắt tiếp tuyến tại M của đường tròn tại hai điểm B và C. Đường thẳng AD cắt BC tại N.
Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và M là một điểm nằm trên (O). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt tại C và D. Đường thẳng AM cắt OC tại E. Đường thẳng BM cắt OD tại F.
c)Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD. Bài 3: Cho đường tròn (O;6cm) và điểm A nằm trên đường tròn (O). Qua A kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn và lấy điểm B trên tia Ax sao cho AB = 8cm.
Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn cùng phía đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax và By ở C và D.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, AB = 8cm, BC = 16cm. Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD cắt AC ở E.
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 9cm, AC = 12cm. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác. Tính IG. Bài 7: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB. AC với (O) trong đó B, C là các tiếp điểm.
Bài 8: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy M thuộc (O) sao cho MA < MB. Vẽ dây MN vuông góc với AB tại H. Đường thẳng AN cắt BM tại C. Đường thẳng qua C vuông góc với AB tại K và cắt BN tại D.
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm I là tâm đường tròn nội tiếp, điểm K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác.
Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi d và d’ là các tiếp tuyến tại A và B. Lấy C bất kỳ thuộc d, đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt d’ tại D. AD cắt BC tại N.
Bài 11: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Các cạnh AB, BC, AC tiếp xúc với đường tròn (I) lần lượt tại D, E, F. Đặt BC = a, AC = b, AB = c
|