Cho số phức z m^3 3m 2 m 2 i Tìm tất cả các giá trị thực của m để số phức z là số thuần ảo

Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi \[m \in S\] có đúng một số phức thỏa mãn \[\left| {z – m} \right| = 4\] và \[\frac{z}{{z – 6}}\] là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S.

A. 0

B. 12

C. 6

D. 14

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

Gọi \[z = a + bi\,\,\left[ {a;b \in R} \right]\], tìm điều kiện để \[\frac{z}{{z – 6}}\] là số thuần ảo.

Suy ra các đường biểu diễn z thỏa mãn yêu cầu bài toán, tìm điều kiện để các đường biểu diễn đó có 1 điểm chung duy nhất.

Lời giải chi tiết:

Giả sử \[z = a + bi\left[ {a,b \in R} \right],z \ne 6.\] M[a; b] là điểm biểu diễn z. Khi đó ta có

\[\frac{z}{{z – 6}} = \frac{{a + bi}}{{\left[ {a + bi} \right] – 6}} = \frac{{\left[ {a + bi} \right]\left[ {a – 6 – bi} \right]}}{{\left[ {a – 6 + bi} \right]\left[ {a – 6 – bi} \right]}} = \frac{{a\left[ {a – 6} \right] + {b^2} + i\left[ {b\left[ {a – 6} \right] – ab} \right]}}{{{{\left[ {a – 6} \right]}^2} + {b^2}}}\]

Để \[\frac{z}{{z – 6}}\] là số thuần ảo thì ta phải có \[a\left[ {a – 6} \right] + {b^2} = 0 \Leftrightarrow {a^2} – 6a + {b^2} = 0\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]

Và \[{\left[ {a – 6} \right]^2} + {b^2} \ne 0\]. Suy ra điểm M thuộc đường tròn tâm \[I\left[ {3;0} \right]\] bán kính \[R = 3\].

Từ \[\left| {z – m} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| {\left[ {a + bi} \right] – m} \right| = 4 \Leftrightarrow {\left[ {a – m} \right]^2} + {b^2} = 16\,\,\left[ 2 \right]\]

Suy ra M thuộc đường tròn tâm \[I’\left[ {m;0} \right];\] bán kính \[R’ = 4\].

Để có đúng 1 điểm M thỏa mãn thì hai đường tròn \[\left[ {I;R} \right];\,\,\left[ {I’;R’} \right]\] có 1 điểm chung duy nhất \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}II’ = R + R’\\II’ = \left| {R – R’} \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {m – 3} \right| = 7\\\left| {m – 3} \right| = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 10\\m = – 4\\m = 4\\m = 2\end{array} \right.\]

Với \[m = 2;m = 10\] loại do hai đường tròn tiếp xúc tại điểm \[\left[ {6;0} \right]\].

Vậy \[S = \left\{ { – 4;4} \right\}\]

Tổng các phần tử của S là \[4 – 4 = 0\]

Chọn A.