Chuyên de vectơ trong Hình học lớp 10

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

1. Khái niệm vectơ

Quảng cáo

Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểu đầu, điểm B là điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng.

Định nghĩa. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là

và đọc là “ vectơ AB “. Để vẽ được vectơ ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu nút B.

Vectơ còn được kí hiệu là

khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó.

2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

Định nghĩa. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Nhận xét. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ

cùng phương.

3. Hai vectơ bằng nhau

Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của được kí hiệu là || , như vậy || = AB.

Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.

Hai vectơ

được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu

Chú ý. Khi cho trước vectơ

và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho

4. Vectơ – không

Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.

Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều là A. Vectơ này được kí hiệu là

và được gọi là vectơ – không.

Quảng cáo

1. Tổng của hai vectơ

Định nghĩa. Cho hai vectơ

Lấy một điểm A tùy ý, vẽ Vectơ được gọi là tổng của hai vectơ Ta kí hiệu tổng của hai vectơ

Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

2. Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì

3. Tính chất của phép cộng các vectơ

Với ba vectơ

tùy ý ta có

•

[tính chất giao hoán];

•

[tính chất kết hợp];

•

[tính chất của vectơ – không].

4. Hiệu của hai vectơ

a] Vectơ đối

Cho vectơ

Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với được gọi là vectơ đối của vectơ , kí hiệu là -.

Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của

Đặc biệt, vectơ đối của vectơ

là vectơ .

b] Định nghĩa hiệu của hai vectơ

Định nghĩa. Cho hai vectơ

Ta gọi hiệu của hai vectơ là vectơ

Như vậy

Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm O, A, B tùy ý ta có

Chú ý

1] Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.

2] Với ba điểm tùy ý A, B, C ta luôn có

[quy tắc ba điểm];

[quy tắc trừ].

Quảng cáo

5. Áp dụng

a] Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi

b] Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi

1. Định nghĩa

Cho số k ≠ 0 và vectơ

Tích của vectơ với số k là một vectơ, kí hiệu là k , cùng hướng với nếu k > 0, ngược hướng với nếu k < 0 và có độ dài bằng |k|.||

2. Tính chất

Với hai vectơ

bất kì, với mọi số h và k, ta có

3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

a] Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M thì ta có

b] Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M thì ta có

4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ

cùng phương là có một số k để

Nhận xét. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để

5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cho hai vectơ

không cùng phương. Khi đó mọi vectơ đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho

1. Trục và độ dài đại số trên trục

a] Trục tọa độ [hay gọi tắt là trục] là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị

Ta kí hiệu trục đó là [O ; ].

b] Cho M là một điểm tùy ý trên trục [O; ]. Khi đó có duy nhất một số k sao cho

Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.

c] Cho hai điểm A và B trên trục [O; ]. Khi đó có duy nhất số a sao cho

Ta gọi số a là độ dài đại số của vectơ đối với trục đã cho và kí hiệu a =

Nhận xét.

Nếu cùng hướng với thì

= AB, còn nếu ngược hướng với thì = –AB.

Nếu hai điểm A và B trên trục [O; ] có tọa độ lần lượt là a và b thì = b – a .

2. Hệ trục tọa độ

a] Định nghĩa. Hệ trục tọa độ [O;

;] gồm hai trục [O;] và [O;] vuông góc với nhau. Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục [O;] được gọi là trục hoành và kí hiệu là Ox, trục [O; ] được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ và là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và Hệ trục tọa độ [O; ;] còn được kí hiệu là Oxy

Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy.

b] Tọa độ của vectơ

Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ

và gọi A1, A2 lần lượt là hình chiếu của vuông góc của A lên Ox và Oy. Ta có và cặp số duy nhất [x; y] để

Như vậy

Cặp số [x; y] duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ

đối với hệ tọa độ Oxy và viết = [x; y] hoặc [x; y]. Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ

Như vậy

Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

c] Tọa độ của một điểm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ

đối với hệ trục Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó.

Như vậy, cặp số [x; y] là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi Khi đó ta viết M[x; y] hoặc M = [x; y]. Số x được gọi là hoành độ, còn số y được gọi là tung độ của điểm M. Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu là xM, tung độ của điểm M, còn được kí hiệu là yM.

Chú ý rằng, nếu MM1 ⊥ Ox, MM2 ⊥ Oy thì

d] Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng

Cho hai điểm A[xA, yA] và B[xB, yB]. Ta có

3. Tọa độ của các vectơ

Ta có các công thức sau:

Nhận xét. Hai vectơ

cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho u1 = kv1 và u2 = kv2.

4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam giác

a] Cho đoạn thẳng AB có A[xA, yA], B[xB, yB]. Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm I[xI, yI] của đoạn thẳng AB là

b] Cho tam giác ABC có A[xA, yA], B[xB, yB], C[xC, yC]. Khi đó tọa độ của trọng tâm G[xG, yG] của tam giác ABC được tính theo công thức

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

• Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

vecto.jsp