Có bao nhiêu tứ giác nội tiếp đường tròn trong hình vẽ sau
Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp). Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối bằng \(180^{\circ}\). Định lý đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng \(180^{\circ}\) thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn.Phương pháp: Để chứng minh một tứ giác (tứ giác lồi) nội tiếp một đường tròn chúng ta có thể sử dụng một trong các cách sau: Xem thêm tại https://hocbaionha.com/mod/wiki/view.php?id=1465 Cách 1.Dựa vào định nghĩa, chứng minh bốn đỉnh của tứ giác
cùng cách đều một điểm. Cách 2. Sử dụng định lý đảo, chứng minh tổng hai góc đối diện bằng . Tức là, nếu ta có: \(\widehat {BAD} + \widehat {BCD} = 180^{\circ}\) hoặc \(\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = 180^{\circ}\) thì tứ giác \(ABCD\) nội tiếp một đường tròn. Cách 3.Dùng cung chứa góc \(\alpha \). Xem thêm tại Cung chứa góc Tức là, nếu ta có: \(\widehat{ACB}=\widehat{ADB}\) và \(C,D\) cùng phía với \(AB\) thì tứ giác \(ABCD\) nội tiếp. Ví dụ: Cho tam giác\(ABC\), các đường cao \(BE\) và \(CF\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(D\) là điểm đối xứng của \(H\) qua trung điểm \(M\) của \(BC\). Chứng minh rằng: a) Tứ giác \(ABDC\) nội tiếp được trong đường tròn. b) Xác định tâm \(O\) của đường tròn nội tiếp \(ABDC\) c) Đường thẳng \(DH\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm thứ hai là \(I\). Chứng minh rằng \(5\) điểm \(A,I,F,H,E\) cùng nằm trên một đường tròn.Giải Ta có hình vẽ: Nhận xét rằng: tứ giác \(CDBH\) có hai đường chéo \(CB\) và \(DH\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình bình hành, suy ra: \(CD||BH\) và \(BH \bot AC \Rightarrow CD\bot AC \Leftrightarrow \widehat{ACD}=90^{\circ}\); \(BD||CH\) và \(CH \bot AB \Rightarrow BD\bot AB \Leftrightarrow \widehat{ABD}=90^{\circ}\); Do đó \(\widehat{ACB}+\widehat{ABD}=90^{\circ}\), hay tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn. b) Gọi \(O\) là trung điểm \(AD\) khi đó, do tam giác \(\Delta ABD\) vuông tại \(B\) nên \(OA=OD=OB\). Tương tự, \(OA=OD=OC\). Do vậy \(O\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. c) Để chứng minh năm điểm thuộc cùng một đường tròn, ta có thể làm theo một trong hai cách sau Cách 1. Chứng minh năm điểm cùng cách đều một điểm, thường sử dụng trong các bài toán xuất hiện nhiều góc vuông. Cách 2. Để chứng minh năm điểm \(A,\,B,\,C,\,D,\,E\) cùng thuộc một đường tròn ta có thể chỉ ra hai cặp \(4\) trong \(5\) điểm trên (Giả sử là \(A,\,B,\,C,\,D\) và \(A,\,B,\,D,\,E\)) cùng thuộc một đường tròn. Khi đó \(5\) điểm \(A,\,B,\,C,\,D,\,E\) cùng thuộc một đường tròn. Trong tam giác \(\Delta ABC\) có \(BE\) và \(CF\) là đường cao cắt nhau tại \(H\). Do đó \(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^{\circ}\). Xét \((O)\) có \(\widehat{AID}\) là góc chắn nửa đường tròn nên \(\widehat{AID}=90^{\circ}\). Vậy \(E,I,F\) cùng nhìn \(AH\) dưới một góc \(90^{\circ}\), do đó \(5\) điểm \(A,I,E,F,H\) cùng nắm trên đường tròn đường kính \(AH\).
Tứ giác \(ABCD\) trong hình trên nội tiếp đường tròn \(\left(O\right)\). Ví dụ: Các tứ giác dưới đây không là tứ giác nội tiếp: 2. Định lí
Cụ thể: Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left(O\right)\). Khi đó ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180^0\\\widehat{BAC}+\widehat{BDC}=180^0\end{matrix}\right.\) Ta dễ dàng chứng minh định lí trên như sau: Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BAD}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{BAD}\\\widehat{BCD}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{BCD}\end{matrix}\right.\) (tính chất góc nội tiếp) \(\Rightarrow\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{BAD}+sđ\stackrel\frown{BCD}\right)=\dfrac{1}{2}.360^0=180^0\). Hoàn toàn tương tự ta cũng có \(\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180^0\). @59819@@59820@
Chứng minh: Giả sử tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat{B}+\widehat{D}=180^0\). Vẽ đường tròn tâm \(O\) đi qua 3 điểm \(A,B,C\) (ta luôn vẽ được đường tròn này vì 3 điểm \(A,B,C\) không thẳng hàng). Hai điểm \(A\) và \(C\) chia đường tròn \(\left(O\right)\) thành hai cung \(\stackrel\frown{ABC},\stackrel\frown{AmC}\); trong đó cung \(AmC\) là cung chứa góc \(180^0-\widehat{B}\) dựng trên đoạn thẳng \(AC\). Mặt khác: từ giả thiết suy ra \(\widehat{D}=180^0-\widehat{B}\) \(\Rightarrow D\) nằm trên cung \(AmC\). Vậy 4 điểm \(A,B,C,D\) cùng thuộc đường tròn \(\left(O\right)\) nên tứ giác \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp. @59821@
Trên thực tế, dấu hiệu 1 và dấu hiệu 4 là hai dấu hiệu được sử dụng nhiều hơn cả. @59822@@59823@ |