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x1EBF;t Galois (v.4.53)} year={2017}, note={Xem url{www.milne.org/math/}} pages={178} }

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x1ED9;ng si&

xEA;u vi&

x1EC7;t 152 9.1. &

x110;&

x1ED9;c l&

x1EAD;p &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 9.2. C&

x1A1; s&

x1EDF; si&

xEA;u vi&

x1EC7;t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 9.3. &

x110;&

x1ECB;nh l&

xFD; L&

xA8;uroth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 9.4. C&

x1A1; s&

x1EDF; si&

xEA;u vi&

x1EC7;t t&

xE1;ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 9.5. L&

xFD; thuy&

x1EBF;t Galois si&

xEA;u vi&

x1EC7;t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 9.6. B&

xE0;i t&

x1EAD;p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Ph&

x1EE5; l&

x1EE5;c A 165

x1EE5;c B 172 T&

xE0;i li&

x1EC7;u tham kh&

x1EA3;o 174 Danh m&

x1EE5;c t&

x1EEB; kh&

xF3;a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

x1EC7;m v&

xE0; k&

x1EBF;t qu&

x1EA3; c&

x1A1; b&

x1EA3;n 1.1. V&

xE0;nh M&

x1ED9;t v&

xE0;nh l&

xE0; m&

x1ED9;t t&

x1EAD;p h&

x1EE3;p R &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c trang b&

x1ECB; hai ph&

xE9;p to&

xE1;n hai ng&

xF4;i + v&

xE0; &

xB7; th&

x1ECF;a m&

xE3;n: &

x2022; (R, +) l&

xE0; m&

x1ED9;t nh&

xF3;m giao ho&

xE1;n; &

x2022; &

xB7; c&

xF3; t&

xED;nh k&

x1EBF;t h&

x1EE3;p, v&

xE0; t&

x1ED3;n t&

x1EA1;i 1 m&

x1ED9;t ph&

x1EA7;n t&

x1EED; 1R th&

x1ECF;a m&

xE3;n a&

xB7;1R = a = 1R &

xB7; a v&

x1EDB;i m&

x1ECD;i a &

x2208; R; &

x2022; Lu&

x1EAD;t ph&

xE2;n ph&

x1ED1;i: v&

x1EDB;i m&

x1ECD;i a, b, c &

x2208; R, (a + b) &

xB7; c = a &

xB7; c + b &

xB7; c a &

xB7; (b + c) = a &

xB7; b + a &

xB7; c. Ta th&

x1B0;&

x1EDD;ng b&

x1ECF; &

x111;i &

x201D; &

xB7; &

x201D; v&

xE0; vi&

x1EBF;t 1 thay cho 1R khi kh&

xF4;ng c&

xF3; s&

x1EF1; l&

x1EAB;n l&

x1ED9;n. N&

x1EBF;u 1R = 0 th&

xEC; R = {0}. M&

x1ED9;t v&

xE0;nh con S c&

x1EE7;a v&

xE0;nh R l&

xE0; m&

x1ED9;t t&

x1EAD;p con ch&

x1EE9;a 1R v&

xE0; &

x111;&

xF3;ng d&

x1B0;&

x1EDB;i ph&

xE9;p c&

x1ED9;ng v&

xE0; ph&

xE9;p nh&

xE2;n. N&

xF3; th&

x1EEB;a h&

x1B0;&

x1EDF;ng c&

x1EA5;u tr&

xFA;c v&

xE0;nh c&

x1EE7;a R. M&

x1ED9;t &

x111;&

x1ED3;ng c&

x1EA5;u v&

xE0;nh &

x3B1; : R &

x2192; R l&

xE0; m&

x1ED9;t &

xE1;nh x&

x1EA1; th&

x1ECF;a m&

xE3;n: &

x3B1;(a + b) = &

x3B1;(a) + &

x3B1;(b), &

x3B1;(ab) = &

x3B1;(a)&

x3B1;(b), &

x3B1;(1R) = 1R v&

x1EDB;i m&

x1ECD;i a, b &

x2208; R. V&

xE0;nh R &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c g&

x1ECD;i l&

xE0; giao ho&

xE1;n n&

x1EBF;u ph&

xE9;p nh&

xE2;n c&

xF3; t&

xED;nh ch&

x1EA5;t giao ho&

xE1;n: ab = ba v&

x1EDB;i m&

x1ECD;i a, b &

x2208; R. 1 Ch&

xFA;ng ta s&

x1EBD; theo quy &

x1B0;&

x1EDB;c c&

x1EE7;a Bourbaki, y&

xEA;u c&

x1EA7;u m&

x1ED9;t v&

xE0;nh ph&

x1EA3;i c&

xF3; 1, v&

xEC; th&

x1EBF; c&

xE1;c &

x111;&

x1ED3;ng c&

x1EA5;u c&

x169;ng c&

x1EA7;n b&

x1EA3;o to&

xE0;n ph&

x1EA7;n t&

x1EED; 1.

xE0;nh giao ho&

xE1;n &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c g&

x1ECD;i l&

xE0; m&

x1ED9;t mi&

x1EC1;n nguy&

xEA;n n&

x1EBF;u 1R = 0 v&

xE0; ph&

xE9;p nh&

xE2;n tu&

xE2;n theo lu&

x1EAD;t gi&

x1EA3;n &

x1B0;&

x1EDB;c: ab = ac, a = 0, suy ra b = c. M&

x1ED9;t i&

x111;&

xEA;an I c&

x1EE7;a m&

x1ED9;t v&

xE0;nh giao ho&

xE1;n R l&

xE0; m&

x1ED9;t nh&

xF3;m con c&

x1EE7;a (R, +) c&

xF3; t&

xED;nh ch&

x1EA5;t &

x111;&

xF3;ng &

x111;&

x1ED1;i v&

x1EDB;i ph&

xE9;p nh&

xE2;n b&

x1EDF;i c&

xE1;c ph&

x1EA7;n t&

x1EED; c&

x1EE7;a R: r &

x2208; R, a &

x2208; I, suy ra ra &

x2208; I. I&

x111;&

xEA;an sinh b&

x1EDF;i c&

xE1;c ph&

x1EA7;n t&

x1EED; a1, . . . , an &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c k&

xFD; hi&

x1EC7;u b&

x1EDF;i (a1, . . . , an). V&

xED; d&

x1EE5;, (a) l&

xE0; i&

x111;&

xEA;an ch&

xED;nh aR. Ch&

xFA;ng ta s&

x1EBD; coi nh&

x1B0; &

x111;&

x1ED9;c gi&

x1EA3; &

x111;&

xE3; l&

xE0;m quen v&

x1EDB;i l&

xFD; thuy&

x1EBF;t c&

x1A1; b&

x1EA3;n v&

x1EC1; v&

xE0;nh. V&

xED; d&

x1EE5;, trong Z (hay n&

xF3;i chung, trong b&

x1EA5;t k&

x1EF3; m&

x1ED9;t mi&

x1EC1;n Euclid n&

xE0;o) m&

x1ED9;t i&

x111;&

xEA;an I s&

x1EBD; &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c sinh b&

x1EDF;i m&

x1ED9;t ph&

x1EA7;n t&

x1EED; kh&

xE1;c kh&

xF4;ng "nh&

x1ECF; nh&

x1EA5;t" c&

x1EE7;a I. 1.2. Tr&

x1B0;&

x1EDD;ng &

x110;&

x1ECB;nh ngh&

x129;a 1.1. M&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng l&

xE0; m&

x1ED9;t t&

x1EAD;p h&

x1EE3;p F &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c trang b&

x1ECB; hai lu&

x1EAD;t h&

x1EE3;p th&

xE0;nh + v&

xE0; &

xB7; th&

x1ECF;a m&

xE3;n: (a) (F, +) l&

xE0; m&

x1ED9;t nh&

xF3;m giao ho&

xE1;n; (b) (F&

xD7;, &

xB7;), v&

x1EDB;i F&

xD7; = F {0}, l&

xE0; m&

x1ED9;t nh&

xF3;m giao ho&

xE1;n; (c) C&

xF3; lu&

x1EAD;t ph&

xE2;n ph&

x1ED1;i. Nh&

x1B0; v&

x1EAD;y, m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng l&

xE0; m&

x1ED9;t v&

xE0;nh giao ho&

xE1;n kh&

xE1;c kh&

xF4;ng m&

xE0; m&

x1ECD;i ph&

x1EA7;n t&

x1EED; kh&

xE1;c 0 &

x111;&

x1EC1;u c&

xF3; ngh&

x1ECB;ch &

x111;&

x1EA3;o. N&

xF3;i ri&

xEA;ng, n&

xF3; l&

xE0; m&

x1ED9;t mi&

x1EC1;n nguy&

xEA;n. M&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng ph&

x1EA3;i ch&

x1EE9;a &

xED;t nh&

x1EA5;t hai ph&

x1EA7;n t&

x1EED; kh&

xE1;c nhau, 0 v&

xE0; 1. Tr&

x1B0;&

x1EDD;ng b&

xE9; nh&

x1EA5;t, nh&

x1B0;ng l&

xE0; m&

x1ED9;t trong nh&

x1EEF;ng tr&

x1B0;&

x1EDD;ng quan tr&

x1ECD;ng nh&

x1EA5;t l&

xE0; F2 = Z/2Z = {0, 1}. M&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng con S c&

x1EE7;a tr&

x1B0;&

x1EDD;ng F l&

xE0; m&

x1ED9;t v&

xE0;nh con &

x111;&

xF3;ng &

x111;&

x1ED1;i v&

x1EDB;i ph&

xE9;p l&

x1EA5;y ngh&

x1ECB;ch &

x111;&

x1EA3;o. N&

xF3; th&

x1EEB;a h&

x1B0;&

x1EDF;ng c&

x1EA5;u tr&

xFA;c c&

x1EE7;a m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng t&

x1EEB; F. B&

x1ED5; &

x111;&

x1EC1; 1.2. M&

x1ED9;t v&

xE0;nh giao ho&

xE1;n kh&

xE1;c kh&

xF4;ng R l&

xE0; m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng n&

x1EBF;u v&

xE0; ch&

x1EC9; n&

x1EBF;u n&

xF3; kh&

xF4;ng ch&

x1EE9;a m&

x1ED9;t i&

x111;&

xEA;an n&

xE0;o kh&

xE1;c ngo&

xE0;i (0) v&

xE0; R. Ch&

x1EE9;ng minh. Gi&

x1EA3; s&

x1EED; R l&

xE0; m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng, v&

xE0; I l&

xE0; m&

x1ED9;t i&

x111;&

xEA;an kh&

xE1;c (0) trong R. N&

x1EBF;u a l&

xE0; m&

x1ED9;t ph&

x1EA7;n t&

x1EED; kh&

xE1;c 0 c&

x1EE7;a I, th&

xEC; 1 = a&

x2212;1a &

x2208; I, v&

xE0; do v&

x1EAD;y I = R. Ng&

x1B0;&

x1EE3;c l&

x1EA1;i, gi&

x1EA3; s&

x1EED; R l&

xE0; m&

x1ED9;t v&

xE0;nh giao ho&

xE1;n kh&

xF4;ng c&

xF3; i&

x111;&

xEA;an con th&

x1EF1;c s&

x1EF1; n&

xE0;o kh&

xE1;c (0). N&

x1EBF;u a = 0, th&

xEC; (a) = R, v&

xE0; ph&

x1EA3;i t&

x1ED3;n t&

x1EA1;i m&

x1ED9;t ph&

x1EA7;n t&

x1EED; b trong R th&

x1ECF;a m&

xE3;n ab = 1.

x1EC7;m v&

xE0; k&

x1EBF;t qu&

x1EA3; c&

x1A1; b&

x1EA3;n V&

xED; d&

x1EE5; 1.3. C&

xE1;c t&

x1EAD;p h&

x1EE3;p sau &

x111;&

xE2;y l&

xE0; c&

xE1;c tr&

x1B0;&

x1EDD;ng: Q, R, C, Fp = Z/pZ (p l&

xE0; s&

x1ED1; nguy&

xEA;n t&

x1ED1;). M&

x1ED9;t &

x111;&

x1ED3;ng c&

x1EA5;u tr&

x1B0;&

x1EDD;ng &

x3B1;: F &

x2192; F &

x111;&

x1A1;n thu&

x1EA7;n l&

xE0; m&

x1ED9;t &

x111;&

x1ED3;ng c&

x1EA5;u v&

xE0;nh. &

x110;&

x1ED3;ng c&

x1EA5;u &

x111;&

xF3; l&

xE0; m&

x1ED9;t &

x111;&

x1A1;n &

xE1;nh v&

xEC; ker &

x3B1; l&

xE0; m&

x1ED9;t i&

x111;&

xEA;an th&

x1EF1;c s&

x1EF1; (n&

xF3; kh&

xF4;ng ch&

x1EE9;a 1), v&

xE0; v&

xEC; th&

x1EBF; ph&

x1EA3;i b&

x1EB1;ng (0). 1.3. &

x110;&

x1EB7;c s&

x1ED1; c&

x1EE7;a Tr&

x1B0;&

x1EDD;ng D&

x1EC5; th&

x1EA5;y r&

x1EB1;ng &

xE1;nh x&

x1EA1; Z &

x2192; F, n &

x2192; 1F + &

xB7; &

xB7; &

xB7; + 1F (n l&

x1EA7;n), l&

xE0; m&

x1ED9;t &

x111;&

x1ED3;ng c&

x1EA5;u v&

xE0;nh. V&

xED; d&

x1EE5;, (1F + &

xB7; &

xB7; &

xB7; + 1F m ) + (1F + &

xB7; &

xB7; &

xB7; + 1F n ) = 1F + &

xB7; &

xB7; &

xB7; + 1F m+n nh&

x1EDD; t&

xED;nh ch&

x1EA5;t k&

x1EBF;t h&

x1EE3;p c&

x1EE7;a ph&

xE9;p c&

x1ED9;ng. B&

x1EDF;i v&

x1EAD;y, h&

x1EA1;t nh&

xE2;n c&

x1EE7;a n&

xF3; l&

xE0; m&

x1ED9;t i&

x111;&

xEA;an trong Z. Tr&

x1B0;&

x1EDD;ng h&

x1A1;p 1: N&

x1EBF;u h&

x1EA1;t nh&

xE2;n c&

x1EE7;a &

xE1;nh x&

x1EA1; l&

xE0; (0), khi &

x111;&

xF3; n.1F = 0 &

x21D2; n = 0 (trong Z). C&

xE1;c s&

x1ED1; nguy&

xEA;n kh&

xE1;c 0 &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c &

xE1;nh x&

x1EA1; th&

xE0;nh c&

xE1;c ph&

x1EA7;n t&

x1EED; kh&

x1EA3; ngh&

x1ECB;ch c&

x1EE7;a F b&

x1EDF;i n &

x2192; n &

xB7; 1F : Z &

x2192; F, v&

xE0; do v&

x1EAD;y &

xE1;nh x&

x1EA1; n&

xE0;y m&

x1EDF; r&

x1ED9;ng &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c th&

xE0;nh m&

x1ED9;t &

x111;&

x1ED3;ng c&

x1EA5;u m n &

x2192; (m &

xB7; 1F )(n &

xB7; 1F )&

x2212;1 : Q &

x2192; F. Trong tr&

x1B0;&

x1EDD;ng h&

x1EE3;p n&

xE0;y, F ch&

x1EE9;a m&

x1ED9;t b&

x1EA3;n sao c&

x1EE7;a Q, v&

xE0; ta n&

xF3;i r&

x1EB1;ng n&

xF3; c&

xF3; &

x111;&

x1EB7;c s&

x1ED1; 0. Tr&

x1B0;&

x1EDD;ng h&

x1EE3;p 2: N&

x1EBF;u h&

x1EA1;t nh&

xE2;n c&

x1EE7;a &

xE1;nh x&

x1EA1; kh&

xE1;c (0), th&

xEC; n &

xB7; 1F = 0 v&

x1EDB;i n = 0 n&

xE0;o &

x111;&

xF3;. S&

x1ED1; nguy&

xEA;n d&

x1B0;&

x1A1;ng n nh&

x1ECF; nh&

x1EA5;t nh&

x1B0; th&

x1EBF; s&

x1EBD; ph&

x1EA3;i l&

xE0; m&

x1ED9;t s&

x1ED1; nguy&

xEA;n t&

x1ED1; p (n&

x1EBF;u kh&

xF4;ng s&

x1EBD; t&

x1ED3;n t&

x1EA1;i hai ph&

x1EA7;n t&

x1EED; kh&

xE1;c 0 trong F m&

xE0; t&

xED;ch c&

x1EE7;a ch&

xFA;ng b&

x1EB1;ng 0), v&

xE0; p sinh ra i&

x111;&

xEA;an h&

x1EA1;t nh&

xE2;n. Do &

x111;&

xF3;, &

xE1;nh x&

x1EA1; n &

x2192; n &

xB7; 1F : Z &

x2192; F x&

xE1;c &

x111;&

x1ECB;nh m&

x1ED9;t &

x111;&

x1EB3;ng c&

x1EA5;u t&

x1EEB; Z/pZ l&

xEA;n v&

xE0;nh con {m &

xB7; 1F | m &

x2208; Z} c&

x1EE7;a F. Trong tr&

x1B0;&

x1EDD;ng h&

x1EE3;p n&

xE0;y, F ch&

x1EE9;a m&

x1ED9;t b&

x1EA3;n sao c&

x1EE7;a Fp, v&

xE0; ta n&

xF3;i r&

x1EB1;ng n&

xF3; c&

xF3; &

x111;&

x1EB7;c s&

x1ED1; p.

x1EC1; v&

xE0;nh &

x111;a th&

x1EE9;c 11 C&

xE1;c tr&

x1B0;&

x1EDD;ng F2, F3, F5, . . . , Q &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c g&

x1ECD;i l&

xE0; c&

xE1;c tr&

x1B0;&

x1EDD;ng nguy&

xEA;n t&

x1ED1;. M&

x1ECD;i tr&

x1B0;&

x1EDD;ng &

x111;&

x1EC1;u ch&

x1EE9;a &

x111;&

xFA;ng m&

x1ED9;t b&

x1EA3;n sao c&

x1EE7;a &

x111;&

xFA;ng m&

x1ED9;t trong c&

xE1;c tr&

x1B0;&

x1EDD;ng nguy&

xEA;n t&

x1ED1; &

x111;&

xF3;. Nh&

x1EAD;n x&

xE9;t 1.4. &

x110;&

x1ECB;nh l&

xFD; nh&

x1ECB; th&

x1EE9;c (a + b)m = am + m 1 am&

x2212;1 b + m 2 am&

x2212;2 b2 + &

xB7; &

xB7; &

xB7; + bm v&

x1EAB;n &

x111;&

xFA;ng trong m&

x1ECD;i v&

xE0;nh giao ho&

xE1;n. N&

x1EBF;u p l&

xE0; s&

x1ED1; nguy&

xEA;n t&

x1ED1;, th&

xEC; p chia h&

x1EBF;t pn r v&

x1EDB;i m&

x1ECD;i r m&

xE0; 1 &

x2264; r &

x2264; pn &

x2212; 1. Do &

x111;&

xF3;, n&

x1EBF;u F c&

xF3; &

x111;&

x1EB7;c s&

x1ED1; p, th&

xEC; (a + b)pn = apn + bpn v&

x1EDB;i m&

x1ECD;i n &

x2265; 1. Do v&

x1EAD;y, &

xE1;nh x&

x1EA1; a &

x2192; ap : F &

x2192; F l&

xE0; m&

x1ED9;t &

x111;&

x1ED3;ng c&

x1EA5;u. N&

xF3; &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c g&

x1ECD;i l&

xE0; t&

x1EF1; &

x111;&

x1ED3;ng c&

x1EA5;u Frobenius c&

x1EE7;a F. N&

x1EBF;u F c&

xF3; h&

x1EEF;u h&

x1EA1;n ph&

x1EA7;n t&

x1EED;, t&

x1EF1; &

x111;&

x1ED3;ng c&

x1EA5;u Frobenius l&

xE0; m&

x1ED9;t t&

x1EF1; &

x111;&

x1EB3;ng c&

x1EA5;u. 1.4. Nh&

x1EAF;c l&

x1EA1;i v&

x1EC1; v&

xE0;nh &

x111;a th&

x1EE9;c Cho F l&

xE0; m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng. 1.5. V&

xE0;nh F[X] c&

xE1;c &

x111;a th&

x1EE9;c theo k&

xFD; hi&

x1EC7;u (ho&

x1EB7;c "bi&

x1EBF;n") X v&

x1EDB;i h&

x1EC7; s&

x1ED1; trong F l&

xE0; m&

x1ED9;t F-kh&

xF4;ng gian v&

xE9;c t&

x1A1; c&

xF3; c&

x1A1; s&

x1EDF; 1, X, . . . , Xn, . . . v&

xE0; ph&

xE9;p nh&

xE2;n &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c x&

xE1;c &

x111;&

x1ECB;nh b&

x1EDF;i i aiXi j bjXj = k &

xF8EB; &

xF8ED; i+j=k aibj &

xF8F6; &

xF8F8; Xk . V&

x1EDB;i m&

x1ECD;i v&

xE0;nh R ch&

x1EE9;a F nh&

x1B0; l&

xE0; m&

x1ED9;t v&

xE0;nh con v&

xE0; ph&

x1EA7;n t&

x1EED; r &

x2208; R, t&

x1ED3;n t&

x1EA1;i duy nh&

x1EA5;t m&

x1ED9;t &

x111;&

x1ED3;ng c&

x1EA5;u &

x3B1;: F[X] &

x2192; R th&

x1ECF;a m&

xE3;n &

x3B1;(X) = r v&

xE0; &

x3B1;(a) = a v&

x1EDB;i m&

x1ECD;i a &

x2208; F. 1.6. Thu&

x1EAD;t to&

xE1;n chia: cho f(X) v&

xE0; g(X) &

x2208; F[X] v&

x1EDB;i g = 0, t&

x1ED3;n t&

x1EA1;i q(X), r(X) &

x2208; F[X], &

x1EDF; &

x111;&

xF3; r = 0 ho&

x1EB7;c deg(r) < deg(g) sao cho f = gq + r; h&

x1A1;n n&

x1EEF;a, q(X) v&

xE0; r(X) &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c x&

xE1;c &

x111;&

x1ECB;nh duy nh&

x1EA5;t. Do &

x111;&

xF3;, F[X] l&

xE0; m&

x1ED9;t mi&

x1EC1;n Euclid c&

xF3; &

xE1;nh x&

x1EA1; chu&

x1EA9;n l&

xE0; b&

x1EAD;c, v&

xE0; do v&

x1EAD;y n&

xF3; l&

xE0; m&

x1ED9;t mi&

x1EC1;n nh&

xE2;n t&

x1EED; h&

xF3;a.

x1EC7;m v&

xE0; k&

x1EBF;t qu&

x1EA3; c&

x1A1; b&

x1EA3;n 1.7. Cho f &

x2208; F[X] v&

xE0; a &

x2208; F. Khi &

x111;&

xF3; f = (X &

x2212; a)q + c v&

x1EDB;i q &

x2208; F[X] v&

xE0; c &

x2208; F. N&

x1EBF;u a l&

xE0; m&

x1ED9;t nghi&

x1EC7;m c&

x1EE7;a f (t&

x1EE9;c l&

xE0; f(a) = 0), th&

xEC; X &

x2212; a chia h&

x1EBF;t f. Do t&

xED;nh ph&

xE2;n t&

xED;ch duy nh&

x1EA5;t, f c&

xF3; nhi&

x1EC1;u nh&

x1EA5;t deg(f) nghi&

x1EC7;m (xem B&

xE0;i t&

x1EAD;p 1-3). 1.8. Thu&

x1EAD;t to&

xE1;n Euclid: Cho f v&

xE0; g &

x2208; F[X] c&

xF3; &

x1B0;&

x1EDB;c chung l&

x1EDB;n nh&

x1EA5;t l&

xE0; d(X). Thu&

x1EAD;t to&

xE1;n Euclid x&

xE2;y d&

x1EF1;ng c&

xE1;c &

x111;a th&

x1EE9;c a(X) v&

xE0; b(X) th&

x1ECF;a m&

xE3;n a(X) &

xB7; f(X) + b(X) &

xB7; g(X) = d(X), deg(a) < deg(g), deg(b) < deg(f). Th&

x1EAD;t v&

x1EAD;y, kh&

xF4;ng m&

x1EA5;t t&

xED;nh t&

x1ED5;ng qu&

xE1;t, c&

xF3; th&

x1EC3; gi&

x1EA3; s&

x1EED; r&

x1EB1;ng deg(f) &

x2265; deg(g). S&

x1EED; d&

x1EE5;ng thu&

x1EAD;t to&

xE1;n chia, ta x&

xE2;y d&

x1EF1;ng m&

x1ED9;t d&

xE3;y c&

xE1;c th&

x1B0;&

x1A1;ng v&

xE0; ph&

x1EA7;n d&

x1B0; nh&

x1B0; sau f = q0g + r0 g = q1gr0 + r1 r0 = q2r1 + r2 . . . rn&

x2212;2 = qnrn&

x2212;1 + rn rn&

x2212;1 = qn+1rn &

x1EDF; &

x111;&

xF3; rn l&

xE0; ph&

x1EA7;n d&

x1B0; cu&

x1ED1;i c&

xF9;ng kh&

xE1;c 0. V&

x1EAD;y th&

xEC;, rn chia h&

x1EBF;t rn&

x2212;1, do &

x111;&

xF3; chia h&

x1EBF;t rn&

x2212;2, ..., g v&

xE0; cu&

x1ED1;i c&

xF9;ng l&

xE0; f. H&

x1A1;n n&

x1EEF;a, rn = rn&

x2212;2 &

x2212; qnrn&

x2212;1 = rn&

x2212;2 &

x2212; qn(rn&

x2212;3 &

x2212; qn&

x2212;1rn&

x2212;2) = &

xB7; &

xB7; &

xB7; = af + bg v&

xE0; do v&

x1EAD;y m&

x1ECD;i &

x1B0;&

x1EDB;c chung c&

x1EE7;a f v&

xE0; g chia h&

x1EBF;t rn: ta v&

x1EEB;a ch&

x1EE9;ng minh r&

x1EB1;ng rn = gcd(f, g). Gi&

x1EA3; s&

x1EED; af + bg = d. N&

x1EBF;u deg(a) &

x2265; deg(g), vi&

x1EBF;t a = gq + r v&

x1EDB;i deg(r) < deg(g); khi &

x111;&

xF3; rf + (b + qf)g = d, v&

xE0; b + qf hi&

x1EC3;n nhi&

xEA;n c&

xF3; b&

x1EAD;c nh&

x1ECF; h&

x1A1;n deg(f). PARI c&

xF3; th&

x1EC3; th&

x1EF1;c hi&

x1EC7;n thu&

x1EAD;t chia Euclid: g&

xF5; divrem(13,5) trong PARI s&

x1EBD; tr&

x1EA3; v&

x1EC1; [2, 3], t&

x1EE9;c l&

xE0; 13 = 2 &

xD7; 5 + 4, v&

xE0; gcd(m, n) tr&

x1EA3; v&

x1EC1; &

x1B0;&

x1EDB;c chung l&

x1EDB;n nh&

x1EA5;t c&

x1EE7;a m v&

xE0; n.

x111;a th&

x1EE9;c 13 1.9. Gi&

x1EA3; s&

x1EED; I l&

xE0; m&

x1ED9;t i&

x111;&

xEA;an kh&

xE1;c (0) trong F[X], v&

xE0; f l&

xE0; m&

x1ED9;t &

x111;a th&

x1EE9;c kh&

xE1;c 0 c&

xF3; b&

x1EAD;c nh&

x1ECF; nh&

x1EA5;t trong I; khi &

x111;&

xF3; I = (f) (v&

xEC; F[X] l&

xE0; m&

x1ED9;t mi&

x1EC1;n Euclid). N&

x1EBF;u ch&

x1ECD;n f l&

xE0; m&

x1ED9;t &

x111;a th&

x1EE9;c &

x111;&

x1A1;n kh&

x1EDF;i2, t&

x1EE9;c l&

xE0; c&

xF3; h&

x1EC7; s&

x1ED1; &

x111;&

x1EA7;u b&

x1EB1;ng 1 , th&

xEC; n&

xF3; s&

x1EBD; &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c x&

xE1;c &

x111;&

x1ECB;nh duy nh&

x1EA5;t b&

x1EDF;i I. Do &

x111;&

xF3;, c&

xF3; m&

x1ED9;t t&

x1B0;&

x1A1;ng &

x1EE9;ng 1 &

x2212; 1 gi&

x1EEF;a c&

xE1;c i&

x111;&

xEA;an kh&

xE1;c (0) c&

x1EE7;a F[X] v&

x1EDB;i c&

xE1;c &

x111;a th&

x1EE9;c &

x111;&

x1A1;n kh&

x1EDF;i trong F[X]. C&

xE1;c i&

x111;&

xEA;an nguy&

xEA;n t&

x1ED1; t&

x1B0;&

x1A1;ng &

x1EE9;ng v&

x1EDB;i c&

xE1;c &

x111;a th&

x1EE9;c &

x111;&

x1A1;n kh&

x1EDF;i b&

x1EA5;t kh&

x1EA3; quy. 1.10. V&

xEC; F[X] l&

xE0; m&

x1ED9;t mi&

x1EC1;n nguy&

xEA;n ch&

xED;nh, ta c&

xF3; th&

x1EC3; x&

xE2;y d&

x1EF1;ng tr&

x1B0;&

x1EDD;ng c&

xE1;c th&

x1B0;&

x1A1;ng F(X). C&

xE1;c ph&

x1EA7;n t&

x1EED; c&

x1EE7;a n&

xF3; l&

xE0; c&

xE1;c th&

x1B0;&

x1A1;ng f/g v&

x1EDB;i f v&

xE0; g l&

xE0; c&

xE1;c &

x111;a th&

x1EE9;c, g = 0. 1.5. Ph&

xE2;n t&

xED;ch &

x111;a th&

x1EE9;c C&

xE1;c k&

x1EBF;t qu&

x1EA3; sau &

x111;&

xE2;y gi&

xFA;p ta x&

xE1;c &

x111;&

x1ECB;nh xem m&

x1ED9;t &

x111;a th&

x1EE9;c c&

xF3; kh&

x1EA3; quy hay kh&

xF4;ng, v&

xE0; n&

x1EBF;u c&

xF3; th&

xEC; t&

xEC;m c&

xE1;c nh&

xE2;n t&

x1EED; c&

x1EE7;a n&

xF3;. M&

x1EC7;nh &

x111;&

x1EC1; 1.11. Gi&

x1EA3; s&

x1EED; r &

x2208; Q l&

xE0; m&

x1ED9;t nghi&

x1EC7;m c&

x1EE7;a &

x111;a th&

x1EE9;c amXm + am&

x2212;1Xm&

x2212;1 + &

xB7; &

xB7; &

xB7; + a0, ai &

x2208; Z, v&

xE0; r = c/d v&

x1EDB;i c, d &

x2208; Z, gcd(c, d) = 1. Khi &

x111;&

xF3; c|a0 v&

xE0; d|am. Ch&

x1EE9;ng minh. T&

x1EEB; ph&

x1B0;&

x1A1;ng tr&

xEC;nh amcm + am&

x2212;1cm&

x2212;1 d + &

xB7; &

xB7; &

xB7; + a0dm = 0 ta c&

xF3; ngay d|amcm, v&

xE0; do &

x111;&

xF3; d|am. T&

x1B0;&

x1A1;ng t&

x1EF1;, c|a0. V&

xED; d&

x1EE5; 1.12. &

x110;a th&

x1EE9;c f(X) = X3 &

x2212; 3X &

x2212; 1 b&

x1EA5;t kh&

x1EA3; quy trong Q[X] b&

x1EDF;i nghi&

x1EC7;m c&

xF3; th&

x1EC3; c&

xF3; c&

x1EE7;a n&

xF3; l&

xE0; &

xB1;1, nh&

x1B0;ng f(1) = 0 = f(&

x2212;1). M&

x1EC7;nh &

x111;&

x1EC1; 1.13 (B&

x1ED5; &

x111;&

x1EC1; Gauss). Cho f(X) &

x2208; Z[X]. N&

x1EBF;u f(X) ph&

xE2;n t&

xED;ch kh&

xF4;ng t&

x1EA7;m th&

x1B0;&

x1EDD;ng trong Q[X], th&

xEC; n&

xF3; ph&

xE2;n t&

xED;ch kh&

xF4;ng t&

x1EA7;m th&

x1B0;&

x1EDD;ng trong Z[X]. Ch&

x1EE9;ng minh. Gi&

x1EA3; s&

x1EED; f = gh trong Q[X] v&

x1EDB;i g, h &

x2208; Q. V&

x1EDB;i c&

xE1;c s&

x1ED1; nguy&

xEA;n m, n th&

xED;ch h&

x1EE3;p, g1 def = mg v&

xE0; h1 def = nh c&

xF3; h&

x1EC7; s&

x1ED1; trong Z, v&

xE0; ta c&

xF3; ph&

xE2;n t&

xED;ch mnf = g1 &

xB7; h1 trong Z[X]. 2 monic = &

x111;&

x1A1;n kh&

x1EDF;i

x1EC7;m v&

xE0; k&

x1EBF;t qu&

x1EA3; c&

x1A1; b&

x1EA3;n N&

x1EBF;u p m&

x1ED9;t s&

x1ED1; nguy&

xEA;n t&

x1ED1; chia h&

x1EBF;t mn, l&

x1EA5;y modulo p, ta c&

xF3; 0 = g1 &

xB7; h1 trong Fp[X]. V&

xEC; Fp[X] l&

xE0; m&

x1ED9;t mi&

x1EC1;n nguy&

xEA;n n&

xEA;n p chia h&

x1EBF;t t&

x1EA5;t c&

x1EA3; c&

xE1;c h&

x1EC7; s&

x1ED1; c&

x1EE7;a &

xED;t nh&

x1EA5;t m&

x1ED9;t trong hai &

x111;a th&

x1EE9;c g1, h1, gi&

x1EA3; s&

x1EED; &

x111;&

xF3; l&

xE0; g1, th&

xEC; g1 = pg2 v&

x1EDB;i g2 &

x2208; Z[X] n&

xE0;o d&

xF3;. Khi &

x111;&

xF3; ta c&

xF3; ph&

xE2;n t&

xED;ch (mn/p)f = g2.h1 trong Z[X]. C&

x1EE9; ti&

x1EBF;p t&

x1EE5;c l&

xE0;m nh&

x1B0; v&

x1EAD;y, cu&

x1ED1;i c&

xF9;ng ta s&

x1EBD; l&

x1B0;&

x1EE3;c b&

x1ECF; &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c h&

x1EBF;t t&

x1EA5;t c&

x1EA3; c&

xE1;c &

x1B0;&

x1EDB;c nguy&

xEA;n t&

x1ED1; c&

x1EE7;a mn, v&

xE0; thu &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c m&

x1ED9;t ph&

xE2;n t&

xED;ch kh&

xF4;ng t&

x1EA7;m th&

x1B0;&

x1EDD;ng c&

x1EE7;a f trong Z[X]. M&

x1EC7;nh &

x111;&

x1EC1; 1.14. N&

x1EBF;u f &

x2208; Z[X] &

x111;&

x1A1;n kh&

x1EDF;i, th&

xEC; m&

x1ECD;i nh&

xE2;n t&

x1EED; &

x111;&

x1A1;n kh&

x1EDF;i c&

x1EE7;a f trong Q[X] &

x111;&

x1EC1;u n&

x1EB1;m trong Z[X]. Ch&

x1EE9;ng minh. Gi&

x1EA3; s&

x1EED; g l&

xE0; m&

x1ED9;t nh&

xE2;n t&

x1EED; &

x111;&

x1A1;n kh&

x1EDF;i c&

x1EE7;a f trong Q[X], khi &

x111;&

xF3; f = gh v&

x1EDB;i h &

x2208; Q[X] c&

x169;ng l&

xE0; m&

x1ED9;t &

x111;a th&

x1EE9;c &

x111;&

x1A1;n kh&

x1EDF;i. Ch&

x1ECD;n m, n l&

xE0; hai s&

x1ED1; nguy&

xEA;n d&

x1B0;&

x1A1;ng c&

xF3; &

xED;t &

x1B0;&

x1EDB;c nguy&

xEA;n t&

x1ED1; nh&

x1EA5;t sao cho mg, nh &

x2208; Z[X]. Nh&

x1B0; trong ch&

x1EE9;ng minh B&

x1ED5; &

x111;&

x1EC1; Gauss, n&

x1EBF;u m&

x1ED9;t s&

x1ED1; nguy&

xEA;n t&

x1ED1; p chia h&

x1EBF;t mn, th&

xEC; n&

xF3; chia h&

x1EBF;t t&

x1EA5;t c&

x1EA3; h&

x1EC7; s&

x1ED1; c&

x1EE7;a &

xED;t nh&

x1EA5;t m&

x1ED9;t trong c&

xE1;c &

x111;a th&

x1EE9;c mg, nh, gi&

x1EA3; s&

x1EED; l&

xE0; mg, th&

xEC; khi &

x111;&

xF3; n&

xF3; chia h&

x1EBF;t m v&

xEC; g &

x111;&

x1A1;n kh&

x1EDF;i. B&

xE2;y gi&

x1EDD; m p g &

x2208; Z[X], &

x111;i&

x1EC1;u n&

xE0;y m&

xE2;u thu&

x1EAB;n v&

x1EDB;i &

x111;&

x1ECB;nh ngh&

x129;a c&

x1EE7;a m. Ghi ch&

xFA; 1.15. Ta ph&

xE1;c th&

x1EA3;o m&

x1ED9;t ch&

x1EE9;ng minh kh&

xE1;c c&

x1EE7;a M&

x1EC7;nh &

x111;&

x1EC1; 1.14. M&

x1ED9;t s&

x1ED1; ph&

x1EE9;c &

x3B1; &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c g&

x1ECD;i l&

xE0; m&

x1ED9;t s&

x1ED1; nguy&

xEA;n &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1; n&

x1EBF;u n&

xF3; l&

xE0; nghi&

x1EC7;m c&

x1EE7;a m&

x1ED9;t &

x111;a th&

x1EE9;c &

x111;&

x1A1;n kh&

x1EDF;i trong Z[X]. M&

x1EC7;nh &

x111;&

x1EC1; 1.11 ch&

x1EC9; ra r&

x1EB1;ng m&

x1ECD;i s&

x1ED1; nguy&

xEA;n &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1; trong Q &

x111;&

x1EC1;u n&

x1EB1;m trong Z. C&

xE1;c s&

x1ED1; nguy&

xEA;n &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1; l&

x1EAD;p th&

xE0;nh m&

x1ED9;t v&

xE0;nh con c&

x1EE7;a C - Xem &

x110;&

x1ECB;nh l&

xFD; 6.5 trong gi&

xE1;o tr&

xEC;nh c&

x1EE7;a t&

xF4;i v&

x1EC1; &

x110;&

x1EA1;i s&

x1ED1; giao ho&

xE1;n. B&

xE2;y gi&

x1EDD; gi&

x1EA3; s&

x1EED; &

x3B1;1, . . . , &

x3B1;m l&

xE0; c&

xE1;c nghi&

x1EC7;m ph&

x1EE9;c c&

x1EE7;a f. Theo &

x111;&

x1ECB;nh ngh&

x129;a, ch&

xFA;ng l&

xE0; c&

xE1;c s&

x1ED1; nguy&

xEA;n &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1;, v&

xE0; c&

xE1;c h&

x1EC7; s&

x1ED1; c&

x1EE7;a c&

xE1;c nh&

xE2;n t&

x1EED; &

x111;&

x1A1;n kh&

x1EDF;i c&

x1EE7;a f l&

xE0; c&

xE1;c &

x111;a th&

x1EE9;c theo c&

xE1;c &

x3B1;i n&

xE0;o d&

xF3;, v&

xE0; do v&

x1EAD;y ch&

xFA;ng c&

x169;ng l&

xE0; c&

xE1;c s&

x1ED1; nguy&

xEA;n &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1;. N&

x1EBF;u ch&

xFA;ng n&

x1EB1;m trong Q, th&

xEC; ch&

xFA;ng n&

x1EB1;m trong Z. M&

x1EC7;nh &

x111;&

x1EC1; 1.16 (Ti&

xEA;u chu&

x1EA9;n Eisenstein). Cho f = amxm + am&

x2212;1xm&

x2212;1 + &

xB7; &

xB7; &

xB7; + a0, ai &

x2208; Z; gi&

x1EA3; s&

x1EED; c&

xF3; m&

x1ED9;t s&

x1ED1; nguy&

xEA;n t&

x1ED1; p th&

x1ECF;a m&

xE3;n:

x111;a th&

x1EE9;c 15 &

x2022; p kh&

xF4;ng chia h&

x1EBF;t am; &

x2022; p chia h&

x1EBF;t am&

x2212;1, . . . , a0; &

x2022; p2 kh&

xF4;ng chia h&

x1EBF;t a0; th&

xEC; f b&

x1EA5;t kh&

x1EA3; quy trong Q[X]. Ch&

x1EE9;ng minh. N&

x1EBF;u f(X) ph&

xE2;n t&

xED;ch &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c trong Q[X], th&

xEC; n&

xF3; ph&

xE2;n t&

xED;ch &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c trong Z[X], amXm + am&

x2212;1Xm&

x2212;1 + &

xB7; &

xB7; &

xB7; + a + 0 = (brXr + &

xB7; &

xB7; &

xB7; + b0)(csXs + &

xB7; &

xB7; &

xB7; + c0) v&

x1EDB;i bi, ci &

x2208; Z v&

xE0; r, s < m. V&

xEC; p chia h&

x1EBF;t a0 = b0c0 c&

xF2;n p2 th&

xEC; kh&

xF4;ng n&

xEA;n p ph&

x1EA3;i chia h&

x1EBF;t &

x111;&

xFA;ng m&

x1ED9;t trong hai s&

x1ED1; b0, c0, gi&

x1EA3; s&

x1EED; l&

xE0; b0. T&

x1EEB; &

x111;&

x1EB3;ng th&

x1EE9;c a1 = b0c1 + b1c0 ta th&

x1EA5;y r&

x1EB1;ng p|b1, v&

xE0; t&

x1EEB; &

x111;&

x1EB3;ng th&

x1EE9;c a2 = b0c2 + b1c1 + b2c0, ta th&

x1EA5;y r&

x1EB1;ng p|b2. Ti&

x1EBF;p t&

x1EE5;c l&

x1EAD;p lu&

x1EAD;n nh&

x1B0; v&

x1EAD;y, suy ra p chia h&

x1EBF;t b0, b1, . . . , br, &

x111;i&

x1EC1;u n&

xE0;y m&

xE2;u thu&

x1EAB;n v&

x1EDB;i vi&

x1EC7;c p kh&

xF4;ng chia h&

x1EBF;t am. Ba m&

x1EC7;nh &

x111;&

x1EC1; d&

x1B0;&

x1EDB;i &

x111;&

xE2;y v&

x1EAB;n &

x111;&

xFA;ng khi thay Z b&

x1EDF;i m&

x1ED9;t mi&

x1EC1;n nh&

xE2;n t&

x1EED; h&

xF3;a b&

x1EA5;t k&

x1EF3;. Nh&

x1EAD;n x&

xE9;t 1.17. T&

x1ED3;n t&

x1EA1;i m&

x1ED9;t thu&

x1EAD;t to&

xE1;n ph&

xE2;n t&

xED;ch m&

x1ED9;t &

x111;a th&

x1EE9;c trong Q[X]. X&

xE9;t m&

x1ED9;t &

x111;a th&

x1EE9;c f &

x2208; Q[X]. Nh&

xE2;n f(X) v&

x1EDB;i m&

x1ED9;t s&

x1ED1; h&

x1EEF;u t&

x1EF7; &

x111;&

x1EC3; &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c m&

x1ED9;t &

x111;a th&

x1EE9;c &

x111;&

x1A1;n kh&

x1EDF;i v&

xE0; sau &

x111;&

xF3; thay n&

xF3; b&

x1EDF;i Ddeg(f)f(X D ), &

x1EDF; &

x111;&

xF3; D l&

xE0; m&

x1EAB;u s&

x1ED1; chung c&

x1EE7;a t&

x1EA5;t c&

x1EA3; c&

xE1;c h&

x1EC7; s&

x1ED1; c&

x1EE7;a f &

x111;&

x1EC3; thu &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c m&

x1ED9;t &

x111;a th&

x1EE9;c &

x111;&

x1A1;n kh&

x1EDF;i v&

x1EDB;i h&

x1EC7; s&

x1ED1; nguy&

xEA;n. Do v&

x1EAD;y, ta ch&

x1EC9; c&

x1EA7;n l&

xE0;m vi&

x1EC7;c v&

x1EDB;i c&

xE1;c &

x111;a th&

x1EE9;c c&

xF3; d&

x1EA1;ng f(X) = Xm + a1Xm&

x2212;1 + &

xB7; &

xB7; &

xB7; + am, ai &

x2208; Z. T&

x1EEB; &

x111;&

x1ECB;nh l&

xFD; c&

x1A1; b&

x1EA3;n c&

x1EE7;a &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1; (xem 5.6 ph&

xED;a d&

x1B0;&

x1EDB;i), ta bi&

x1EBF;t r&

x1EB1;ng f ph&

xE2;n t&

xED;ch ho&

xE0;n to&

xE0;n trong C[X] th&

xE0;nh: f(X) = m i=1 (X &

x2212; &

x3B1;i), &

x3B1;i &

x2208; C.

x1EC7;m v&

xE0; k&

x1EBF;t qu&

x1EA3; c&

x1A1; b&

x1EA3;n T&

x1EEB; ph&

x1B0;&

x1A1;ng tr&

xEC;nh 0 = f(&

x3B1;i) = &

x3B1;m i + a1&

x3B1;m&

x2212;1 i + &

xB7; &

xB7; &

xB7; + am, suy ra |&

x3B1;i| nh&

x1ECF; h&

x1A1;n m&

x1ED9;t ch&

x1EB7;n tr&

xEA;n, ph&

x1EE5; thu&

x1ED9;c duy nh&

x1EA5;t v&

xE0;o b&

x1EAD;c v&

xE0; c&

xE1;c h&

x1EC7; s&

x1ED1; c&

x1EE7;a f; c&

x1EE5; th&

x1EC3; l&

xE0;, |&

x3B1;i| &

x2264; max{1, mB}, B = max|ai|. B&

xE2;y gi&

x1EDD;, n&

x1EBF;u g(X) l&

xE0; m&

x1ED9;t nh&

xE2;n t&

x1EED; &

x111;&

x1A1;n kh&

x1EDF;i c&

x1EE7;a f(X), th&

xEC; nghi&

x1EC7;m ph&

x1EE9;c c&

x1EE7;a n&

xF3; l&

xE0; c&

xE1;c gi&

xE1; tr&

x1ECB; &

x3B1;i, v&

xE0; h&

x1EC7; s&

x1ED1; c&

x1EE7;a n&

xF3; l&

xE0; c&

xE1;c &

x111;a th&

x1EE9;c &

x111;&

x1ED1;i x&

x1EE9;ng c&

x1EE7;a c&

xE1;c nghi&

x1EC7;m c&

x1EE7;a n&

xF3; (xem trang ???). Do v&

x1EAD;y, gi&

xE1; tr&

x1ECB; tuy&

x1EC7;t &

x111;&

x1ED1;i c&

x1EE7;a c&

xE1;c h&

x1EC7; s&

x1ED1; c&

x1EE7;a g(X) b&

x1ECB; ch&

x1EB7;n b&

x1EDF;i m&

x1ED9;t gi&

xE1; tr&

x1ECB; ph&

x1EE5; thu&

x1ED9;c v&

xE0;o b&

x1EAD;c v&

xE0; c&

xE1;c h&

x1EC7; s&

x1ED1; c&

x1EE7;a f. V&

xEC; ch&

xFA;ng l&

xE0; c&

xE1;c s&

x1ED1; nguy&

xEA;n (b&

x1EDF;i 1.14), ta th&

x1EA5;y r&

x1EB1;ng c&

xF3; m&

x1ED9;t s&

x1ED1; h&

x1EEF;u h&

x1EA1;n c&

xE1;c gi&

xE1; tr&

x1ECB; c&

xF3; th&

x1EC3; c&

xF3; c&

x1EE7;a g(X). Nh&

x1B0; v&

x1EAD;y, &

x111;&

x1EC3; t&

xEC;m c&

xE1;c nh&

xE2;n t&

x1EED; c&

x1EE7;a f(X), ta (t&

x1ED1;t h&

x1A1;n l&

xE0; d&

xF9;ng PARI) ch&

x1EC9; c&

x1EA7;n th&

x1EF1;c hi&

x1EC7;n m&

x1ED9;t s&

x1ED1; h&

x1EEF;u h&

x1EA1;n c&

xE1;c ph&

xE9;p ki&

x1EC3;m tra 3. Nh&

x1B0; v&

x1EAD;y, ta kh&

xF4;ng c&

x1EA7;n b&

x1EAD;n t&

xE2;m t&

x1EDB;i b&

xE0;i to&

xE1;n ph&

xE2;n t&

xED;ch &

x111;a th&

x1EE9;c trong c&

xE1;c v&

xE0;nh Q[X] hay Fp[X] v&

xEC; PARI l&

xE0;m &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c t&

xED;nh to&

xE1;n n&

xE0;y. V&

xED; d&

x1EE5;, g&

xF5; content(6*X^2 +18*X-24) trong PARI tr&

x1EA3; v&

x1EC1; 6, v&

xE0; factor(6*X^2 +18*X-24) tr&

x1EA3; v&

x1EC1; X &

x2212; 1 v&

xE0; X + 4, do &

x111;&

xF3; 6X2 + 18X &

x2212; 24 = 6(X &

x2212; 1)(X + 4) trong Q[X]. G&

xF5; factormod(X^2+3*X+3,7) tr&

x1EA3; v&

x1EC1; X + 4 v&

xE0; X + 6, ch&

x1EC9; ra r&

x1EB1;ng X2 + 3X + 3 = (X + 4)(X + 6) trong F7[X]. Nh&

x1EAD;n x&

xE9;t 1.18. C&

xF3; m&

x1ED9;t quan s&

xE1;t kh&

xE1;c kh&

xE1; h&

x1EEF;u d&

x1EE5;ng nh&

x1B0; sau. Cho f &

x2208; Z[X], n&

x1EBF;u h&

x1EC7; s&

x1ED1; &

x111;&

x1EA7;u c&

x1EE7;a f kh&

xF4;ng chia h&

x1EBF;t cho m&

x1ED9;t s&

x1ED1; nguy&

xEA;n t&

x1ED1; p, th&

xEC; m&

x1ED9;t ph&

xE2;n t&

xED;ch kh&

xF4;ng t&

x1EA7;m th&

x1B0;&

x1EDD;ng f = gh trong Z[X] s&

x1EBD; cho m&

x1ED9;t ph&

xE2;n t&

xED;ch kh&

xF4;ng t&

x1EA7;m th&

x1B0;&

x1EDD;ng f = g &

xB7; h trong Fp[X]. Do &

x111;&

xF3;, n&

x1EBF;u f(X) b&

x1EA5;t kh&

x1EA3; quy trong Fp[X], &

x1EDF; &

x111;&

xF3; p l&

xE0; m&

x1ED9;t s&

x1ED1; nguy&

xEA;n t&

x1ED1; n&

xE0;o &

x111;&

xF3; kh&

xF4;ng chia h&

x1EBF;t h&

x1EC7; s&

x1ED1; &

x111;&

x1EA7;u, th&

xEC; n&

xF3; b&

x1EA5;t kh&

x1EA3; quy trong Z[X]. Ti&

xEA;u chu&

x1EA9;n n&

xE0;y kh&

xE1; h&

x1EEF;u &

xED;ch, nh&

x1B0;ng kh&

xF4;ng ph&

x1EA3;i l&

xFA;c n&

xE0;o c&

x169;ng hi&

x1EC7;u qu&

x1EA3;. V&

xED; d&

x1EE5;, X4 &

x2212;10X2 +1 b&

x1EA5;t kh&

x1EA3; quy trong Z[X] nh&

x1B0;ng n&

xF3; kh&

x1EA3; quy 4 modulo m&

x1ECD;i p nguy&

xEA;n t&

x1ED1;. 3 T&

x1EA5;t nhi&

xEA;n, c&

xF3; c&

xE1;c ph&

x1B0;&

x1A1;ng ph&

xE1;p nhanh h&

x1A1;n c&

xE1;ch n&

xE0;y. Thu&

x1EAD;t to&

xE1;n Berlekamp - Zassenhaus ph&

xE2;n t&

xED;ch &

x111;a th&

x1EE9;c tr&

xEA;n m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng h&

x1EEF;u h&

x1EA1;n ph&

xF9; h&

x1EE3;p Fp, n&

xE2;ng c&

xE1;c nh&

xE2;n t&

x1EED; n&

xE0;y l&

xEA;n c&

xE1;c v&

xE0;nh Z/pm Z v&

x1EDB;i m n&

xE0;o &

x111;&

xF3;, v&

xE0; sau &

x111;&

xF3; t&

xEC;m ki&

x1EBF;m c&

xE1;c nh&

xE2;n t&

x1EED; trong Z[X] v&

x1EDB;i d&

x1EA1;ng &

x111;&

xFA;ng modulo pm . 4 Sau &

x111;&

xE2;y l&

xE0; m&

x1ED9;t ch&

x1EE9;ng minh ch&

x1EC9; s&

x1EED; d&

x1EE5;ng nh&

x1EAD;n x&

xE9;t t&

xED;ch c&

x1EE7;a hai ph&

x1EA7;n t&

x1EED; kh&

xF4;ng l&

xE0; b&

xEC;nh ph&

x1B0;&

x1A1;ng

x1B0;&

x1EDD;ng 17 1.6. M&

x1EDF; r&

x1ED9;ng tr&

x1B0;&

x1EDD;ng M&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng E ch&

x1EE9;a m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng F &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c g&

x1ECD;i l&

xE0; m&

x1ED9;t m&

x1EDF; r&

x1ED9;ng tr&

x1B0;&

x1EDD;ng c&

x1EE7;a F (ho&

x1EB7;c &

x111;&

x1A1;n gi&

x1EA3;n l&

xE0; m&

x1ED9;t m&

x1EDF; r&

x1ED9;ng c&

x1EE7;a F, v&

xE0; ta n&

xF3;i m&

x1EDF; r&

x1ED9;ng E/F). S&

x1ED1; chi&

x1EC1;u c&

x1EE7;a E, xem nh&

x1B0; l&

xE0; m&

x1ED9;t F-kh&

xF4;ng gian v&

xE9;ct&

x1A1;, v&

xE0; ta vi&

x1EBF;t [E : F] cho s&

x1ED1; chi&

x1EC1;u c&

x1EE7;a E, c&

xF3; th&

x1EC3; v&

xF4; h&

x1EA1;n, xem nh&

x1B0; l&

xE0; m&

x1ED9;t F&

x2212;kh&

xF4;ng gian v&

xE9;ct&

x1A1; &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c g&

x1ECD;i l&

xE0; b&

x1EAD;c c&

x1EE7;a E tr&

xEA;n F v&

xE0; &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c k&

xFD; hi&

x1EC7;u l&

xE0; [E : F]. Ta n&

xF3;i E h&

x1EEF;u h&

x1EA1;n tr&

xEA;n F n&

x1EBF;u n&

xF3; c&

xF3; b&

x1EAD;c h&

x1EEF;u h&

x1EA1;n tr&

xEA;n F. N&

x1EBF;u E v&

xE0; E l&

xE0; c&

xE1;c m&

x1EDF; r&

x1ED9;ng tr&

x1B0;&

x1EDD;ng c&

x1EE7;a F, m&

x1ED9;t F-&

x111;&

x1ED3;ng c&

x1EA5;u E &

x2192; E l&

xE0; m&

x1ED9;t &

x111;&

x1ED3;ng c&

x1EA5;u &

x3C6; : E &

x2192; E th&

x1ECF;a m&

xE3;n &

x3C6;(c) = c v&

x1EDB;i m&

x1ECD;i c &

x2208; F. V&

xED; d&

x1EE5; 1.19. &

x2022; Tr&

x1B0;&

x1EDD;ng s&

x1ED1; ph&

x1EE9;c C c&

xF3; b&

x1EAD;c 2 tr&

xEA;n R (c&

x1A1; s&

x1EDF; {1, i}). &

x2022; Tr&

x1B0;&

x1EDD;ng s&

x1ED1; th&

x1EF1;c R c&

xF3; b&

x1EAD;c v&

xF4; h&

x1EA1;n tr&

xEA;n Q: tr&

x1B0;&

x1EDD;ng Q &

x111;&

x1EBF;m &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c v&

xE0; do v&

x1EAD;y m&

x1ECD;i Q-kh&

xF4;ng gian v&

xE9;ct&

x1A1; h&

x1EEF;u h&

x1EA1;n chi&

x1EC1;u c&

x169;ng &

x111;&

x1EBF;m &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c. Tuy nhi&

xEA;n, m&

x1ED9;t l&

x1EAD;p lu&

x1EAD;n n&

x1ED5;i ti&

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x1EE7;a Cantor ch&

x1EC9; ra r&

x1EB1;ng R kh&

xF4;ng &

x111;&

x1EBF;m &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c. &

x2022; Tr&

x1B0;&

x1EDD;ng c&

xE1;c s&

x1ED1; h&

x1EEF;u t&

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xF3; b&

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xEA;n Q (c&

x1A1; s&

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x2022; Tr&

x1B0;&

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xF3; b&

x1EAD;c v&

xF4; h&

x1EA1;n tr&

xEA;n F; th&

x1EF1;c ra, ngay c&

x1EA3; kh&

xF4;ng gian con F[X] c&

x1EE7;a n&

xF3; c&

x169;ng c&

xF3; b&

x1EAD;c v&

xF4; h&

x1EA1;n tr&

xEA;n F (c&

x1A1; s&

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xD7; p l&

xE0; m&

x1ED9;t b&

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x1B0;&

x1A1;ng, &

x111;i&

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x1EC7;n F&

xD7; p l&

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xE0; m&

x1ED9;t b&

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xD7; p , th&

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x2212; 2 &

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x2212; 1)(X2 + 2 &

x221A; 2X &

x2212; 1). N&

x1EBF;u 3 l&

xE0; m&

x1ED9;t b&

xEC;nh ph&

x1B0;&

x1A1;ng trong Fp, th&

xEC; X4 &

x2212; 10X2 + 1 = (X2 &

x2212; 2 &

x221A; 3X + 1)(X2 + 2 &

x221A; 3X + 1). N&

x1EBF;u c&

x1EA3; 2 v&

xE0; 3 &

x111;&

x1EC1;u kh&

xF4;ng l&

xE0; b&

xEC;nh ph&

x1B0;&

x1A1;ng trong, 6 s&

x1EBD; l&

xE0; m&

x1ED9;t b&

xEC;nh ph&

x1B0;&

x1A1;ng trong Fp, v&

xE0; X4 &

x2212; 10X2 + 1 = (X2 &

x2212; (5 + 2 &

x221A; 6))(X2 &

x2212; (5 &

x2212; 2 &

x221A; 6)). Nghi&

xEA;n c&

x1EE9;u v&

x1EC1; c&

xE1;c &

x111;a th&

x1EE9;c nh&

x1B0; v&

x1EAD;y s&

x1EED; d&

x1EE5;ng c&

xE1;c ph&

x1B0;&

x1A1;ng ph&

xE1;p kh&

xF4;ng s&

x1A1; c&

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x1EB3;ng h&

x1EA1;n b&

xE0;i b&

xE1;o Brandl, R., Amer. Math. Monthly, 93 (1986), pp 286 &

x2013; 288, &

x1EDF; &

x111;&

xF3; ch&

x1EE9;ng minh r&

x1EB1;ng m&

x1ECD;i s&

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xEA;n kh&

xF4;ng nguy&

xEA;n t&

x1ED1; n &

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x1EA5;t hi&

x1EC7;n nh&

x1B0; l&

xE0; b&

x1EAD;c c&

x1EE7;a m&

x1ED9;t &

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xE0; n&

xF3; b&

x1EA5;t kh&

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x1B0;ng kh&

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xE0; k&

x1EBF;t qu&

x1EA3; c&

x1A1; b&

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x111;&

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x1EEF;u h&

x1EA1;n n&

x1EBF;u v&

xE0; ch&

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xE0; E/F &

x111;&

x1EC1;u c&

xF3; b&

x1EAD;c h&

x1EEF;u h&

x1EA1;n, v&

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x111;&

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x1EE9;ng minh. N&

x1EBF;u L c&

xF3; b&

x1EAD;c h&

x1EEF;u h&

x1EA1;n tr&

xEA;n F, th&

xEC; n&

xF3; ch&

x1EAF;c ch&

x1EAF;n c&

xF3; b&

x1EAD;c h&

x1EEF;u h&

x1EA1;n tr&

xEA;n E. H&

x1A1;n n&

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xE0; m&

x1ED9;t kh&

xF4;ng gian con c&

x1EE7;a m&

x1ED9;t F-kh&

xF4;ng gian v&

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x1A1;, c&

x169;ng c&

xF3; b&

x1EAD;c h&

x1EEF;u h&

x1EA1;n. Do v&

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x1EA3; s&

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xE0; E/F c&

xF3; b&

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x1EEF;u h&

x1EA1;n, v&

xE0; &

x111;&

x1EB7;t (ei)1&

x2264;i&

x2264;m l&

xE0; m&

x1ED9;t c&

x1A1; s&

x1EDF; c&

x1EE7;a E nh&

x1B0; l&

xE0; m&

x1ED9;t F-kh&

xF4;ng gian vec t&

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x111;&

x1EB7;t (lj)1&

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x2264;n l&

xE0; m&

x1ED9;t c&

x1A1; s&

x1EDF; c&

x1EE7;a L nh&

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x1ED9;t E-kh&

xF4;ng gian vec t&

x1A1;. &

x110;&

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xE0;n t&

x1EA5;t ch&

x1EE9;ng minh, ta c&

x1EA7;n ch&

x1EC9; ra r&

x1EB1;ng (eilj)1&

x2264;i&

x2264;m,1&

x2264;j&

x2264;n l&

xE0; m&

x1ED9;t c&

x1A1; s&

x1EDF; c&

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xEA;n F, b&

x1EDF;i v&

xEC; sau &

x111;&

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x1EEF;u h&

x1EA1;n tr&

xEA;n F v&

x1EDB;i b&

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x1B0;&

x1EDB;c h&

x1EBF;t, (eilj)i,j sinh ra L. Cho &

x3B3; &

x2208; L. Khi &

x111;&

xF3;, do (lj)j sinh ra L nh&

x1B0; l&

xE0; m&

x1ED9;t E-kh&

xF4;ng gian vec t&

x1A1;, &

x3B3; = j &

x3B1;jlj v&

x1EDB;i &

x3B1;j &

x2208; E, v&

xE0; b&

x1EDF;i v&

xEC; (ei)i sinh ra E nh&

x1B0; l&

xE0; m&

x1ED9;t F-kh&

xF4;ng gian vec t&

x1A1;, &

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x1EDB;i aij &

x2208; F. T&

x1EEB; hai &

x111;&

x1EB3;ng th&

x1EE9;c tr&

xEA;n ta c&

xF3; &

x3B3; = i,j aijeilj. Th&

x1EE9; hai, (eilj)i,j &

x111;&

x1ED9;c l&

x1EAD;p tuy&

x1EBF;n t&

xED;nh. Quan h&

x1EC7; tuy&

x1EBF;n t&

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x2208; F c&

xF3; th&

x1EC3; &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c vi&

x1EBF;t l&

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xED;nh &

x111;&

x1ED9;c l&

x1EAD;p tuy&

x1EBF;n t&

xED;nh c&

x1EE7;a (lj)j ch&

x1EC9; ra r&

x1EB1;ng i aijei = 0 v&

x1EDB;i m&

x1ED7;i j, v&

xE0; t&

xED;nh &

x111;&

x1ED9;c l&

x1EAD;p tuy&

x1EBF;n t&

xED;nh c&

x1EE7;a (ei)i ch&

x1EC9; ra r&

x1EB1;ng aij = 0. 1.7. V&

xE0;nh con sinh b&

x1EDF;i m&

x1ED9;t t&

x1EAD;p con Giao c&

x1EE7;a c&

xE1;c v&

xE0;nh con c&

x1EE7;a m&

x1ED9;t v&

xE0;nh l&

x1EA1;i l&

xE0; m&

x1ED9;t v&

xE0;nh. Cho F l&

xE0; m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng con c&

x1EE7;a tr&

x1B0;&

x1EDD;ng E v&

xE0; S l&

xE0; m&

x1ED9;t t&

x1EAD;p con c&

x1EE7;a E. Giao c&

x1EE7;a t&

x1EA5;t c&

x1EA3; c&

xE1;c v&

xE0;nh con c&

x1EE7;a E ch&

x1EE9;a F v&

xE0; S r&

xF5; r&

xE0;ng l&

xE0; v&

xE0;nh con nh&

x1ECF; nh&

x1EA5;t c&

x1EE7;a E ch&

x1EE9;a F

x1EDF;i m&

x1ED9;t t&

x1EAD;p con 19 v&

xE0; S. Ta g&

x1ECD;i n&

xF3; l&

xE0; v&

xE0;nh con c&

x1EE7;a E sinh b&

x1EDF;i F v&

xE0; S (hay l&

xE0; sinh b&

x1EDF;i F tr&

xEA;n S), k&

xFD; hi&

x1EC7;u l&

xE0; F[S]. N&

x1EBF;u S = {&

x3B1;1, . . . , &

x3B1;n}, ta vi&

x1EBF;t F[&

x3B1;1, . . . , &

x3B1;n] thay cho F[S]. V&

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x1EE5;, C = R[ &

x221A; &

x2212;1]. B&

x1ED5; &

x111;&

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x1ED3;m t&

x1EA5;t c&

x1EA3; c&

xE1;c ph&

x1EA7;n t&

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x1EC5;n &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c d&

x1B0;&

x1EDB;i d&

x1EA1;ng t&

x1ED5;ng h&

x1EEF;u h&

x1EA1;n ai1...in &

x3B1;i1 1 . . . &

x3B1;in n , ai1...in &

x2208; F, &

x3B1;i &

x2208; S. (&

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xE0; m&

x1ED9;t t&

x1EAD;p t&

x1EA5;t c&

x1EA3; c&

xE1;c ph&

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x1EC3;n nhi&

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x1ED9;t v&

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xB7; &

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x1EE9;a m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng con F (nh&

x1B0; l&

xE0; m&

x1ED9;t v&

xE0;nh con). N&

x1EBF;u R c&

xF3; h&

x1EEF;u h&

x1EA1;n chi&

x1EC1;u, xem nh&

x1B0; l&

xE0; m&

x1ED9;t F-kh&

xF4;ng gian v&

xE9;ct&

x1A1;, th&

xEC; n&

xF3; l&

xE0; m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng. Ch&

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x3B1; l&

xE0; m&

x1ED9;t ph&

x1EA7;n t&

x1EED; kh&

xE1;c 0 c&

x1EE7;a R - ta ph&

x1EA3;i ch&

x1EE9;ng t&

x1ECF; r&

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x3B1; c&

xF3; m&

x1ED9;t ngh&

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xC1;nh x&

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x3B1;x : R &

x2192; R l&

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x111;&

x1A1;n c&

x1EA5;u c&

x1EE7;a F-kh&

xF4;ng gian vec t&

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x1EEF;u h&

x1EA1;n chi&

x1EC1;u, v&

xE0; do v&

x1EAD;y n&

xF3; l&

xE0; to&

xE0;n c&

x1EA5;u. N&

xF3;i ri&

xEA;ng, t&

x1ED3;n t&

x1EA1;i m&

x1ED9;t ph&

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x3B2; &

x2208; R m&

xE0; &

x3B1;&

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xFA; &

xFD; r&

x1EB1;ng b&

x1ED5; &

x111;&

x1EC1; &

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x1EE5;ng cho c&

xE1;c v&

xE0;nh con (ch&

x1EE9;a F) c&

x1EE7;a m&

x1ED9;t m&

x1EDF; r&

x1ED9;ng tr&

x1B0;&

x1EDD;ng E c&

x1EE7;a F v&

x1EDB;i b&

x1EAD;c h&

x1EEF;u h&

x1EA1;n. 1.8. Tr&

x1B0;&

x1EDD;ng con sinh b&

x1EDF;i m&

x1ED9;t t&

x1EAD;p con Giao c&

x1EE7;a c&

xE1;c tr&

x1B0;&

x1EDD;ng con c&

x1EE7;a m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng l&

x1EA1;i l&

xE0; m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng. Cho F l&

xE0; m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng con c&

x1EE7;a tr&

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xE0; S l&

xE0; m&

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x1EE7;a E. Giao c&

x1EE7;a t&

x1EA5;t c&

x1EA3; c&

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x1EE9;a F v&

xE0; S l&

xE0; tr&

x1B0;&

x1EDD;ng con nh&

x1ECF; nh&

x1EA5;t c&

x1EE7;a E ch&

x1EE9;a F v&

xE0; S. Ta g&

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xE0; tr&

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x1EDF;i F v&

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x1EDF;i F

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xEA;n S), v&

xE0; k&

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x3B1;n) ch&

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xFA;ng c&

xF3; th&

x1EC3; bi&

x1EC3;u di&

x1EC5;n d&

x1B0;&

x1EDB;i d&

x1EA1;ng th&

x1B0;&

x1A1;ng c&

x1EE7;a hai &

x111;a th&

x1EE9;c nh&

x1B0; v&

x1EAD;y. B&

x1ED5; &

x111;&

x1EC1; 1.23 ch&

x1EC9; ra r&

x1EB1;ng F[S] l&

xE0; m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng n&

x1EBF;u n&

xF3; h&

x1EEF;u h&

x1EA1;n chi&

x1EC1;u tr&

xEA;n F, trong tr&

x1B0;&

x1EDD;ng h&

x1ECD;p &

x111;&

xF3; F(S) = F[S]. V&

xED; d&

x1EE5; 1.24. Tr&

x1B0;&

x1EDD;ng Q(&

x3C0;), &

x3C0; = 3.14 . . . , ch&

x1EE9;a t&

x1EA5;t c&

x1EA3; c&

xE1;c s&

x1ED1; ph&

x1EE9;c m&

xE0; ch&

xFA;ng bi&

x1EC3;u di&

x1EC5;n d&

x1B0;&

x1EDB;i d&

x1EA1;ng th&

x1B0;&

x1A1;ng g(&

x3C0;)/h(&

x3C0;), g(X), h(X) &

x2208; Q[X], h(X) = 0. V&

xE0;nh Q[i] hi&

x1EC3;n nhi&

xEA;n l&

xE0; m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng. M&

x1ED9;t m&

x1EDF; r&

x1ED9;ng E c&

x1EE7;a F &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c g&

x1ECD;i l&

xE0; &

x111;&

x1A1;n n&

x1EBF;u E = F(&

x3B1;) v&

x1EDB;i &

x3B1; &

x2208; E n&

xE0;o &

x111;&

xF3;. V&

xED; d&

x1EE5;, Q(&

x3C0;) v&

xE0; Q[i] l&

xE0; c&

xE1;c m&

x1EDF; r&

x1ED9;ng &

x111;&

x1A1;n c&

x1EE7;a Q. Cho F v&

xE0; F l&

xE0; c&

xE1;c tr&

x1B0;&

x1EDD;ng con c&

x1EE7;a tr&

x1B0;&

x1EDD;ng E. Giao c&

x1EE7;a c&

xE1;c tr&

x1B0;&

x1EDD;ng con c&

x1EE7;a E ch&

x1EE9;a F v&

xE0; F l&

xE0; tr&

x1B0;&

x1EDD;ng con b&

xE9; nh&

x1EA5;t c&

x1EE7;a E ch&

x1EE9;a c&

x1EA3; F v&

xE0; F . Ta g&

x1ECD;i n&

xF3; l&

xE0; h&

x1EE3;p c&

x1EE7;a F v&

xE0; F trong E, v&

xE0; k&

xFD; hi&

x1EC7;u l&

xE0; F &

xB7; F . N&

xF3; c&

x169;ng c&

xF3; th&

x1EC3; &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c mi&

xEA;u t&

x1EA3; nh&

x1B0; l&

xE0; tr&

x1B0;&

x1EDD;ng con c&

x1EE7;a E sinh b&

x1EDF;i F tr&

xEA;n F, hay tr&

x1B0;&

x1EDD;ng con tr&

xEA;n F sinh b&

x1EDF;i F : F(F ) = F &

xB7; F = F (F). 1.9. X&

xE2;y d&

x1EF1;ng m&

x1ED9;t s&

x1ED1; m&

x1EDF; r&

x1ED9;ng tr&

x1B0;&

x1EDD;ng Cho f(X) &

x2208; F[X] l&

xE0; m&

x1ED9;t &

x111;a th&

x1EE9;c &

x111;&

x1A1;n kh&

x1EDF;i b&

x1EAD;c m, v&

xE0; (f) l&

xE0; i&

x111;&

xEA;an sinh b&

x1EDF;i f. X&

xE9;t v&

xE0;nh th&

x1B0;&

x1A1;ng F[X]/(f), g&

x1ECD;i x l&

xE0; &

x1EA3;nh c&

x1EE7;a X trong F[X]/(f), t&

x1EE9;c l&

xE0;, x l&

xE0; l&

x1EDB;p k&

x1EC1; X + (f). Khi &

x111;&

xF3;: (a) &

xC1;nh x&

x1EA1; P(X) &

x2192; P(x) : F[X] &

x2192; F[x] l&

xE0; m&

x1ED9;t to&

xE0;n c&

x1EA5;u trong &

x111;&

xF3; &

x1EA3;nh c&

x1EE7;a f(X) l&

xE0; 0. Do v&

x1EAD;y, f(x) = 0. (b) T&

x1EEB; thu&

x1EAD;t to&

xE1;n chia, ta bi&

x1EBF;t r&

x1EB1;ng m&

x1ED7;i ph&

x1EA7;n t&

x1EED; g c&

x1EE7;a F[X]/(f) &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c bi&

x1EC3;u di&

x1EC5;n m&

x1ED9;t c&

xE1;ch duy nh&

x1EA5;t b&

x1EDF;i m&

x1ED9;t &

x111;a th&

x1EE9;c r c&

xF3; b&

x1EAD;c < m. Do &

x111;&

xF3; m&

x1ED7;i ph&

x1EA7;n t&

x1EED; c&

x1EE7;a F[X] c&

xF3; th&

x1EC3; bi&

x1EC3;u di&

x1EC5;n duy nh&

x1EA5;t d&

x1B0;&

x1EDB;i d&

x1EA1;ng t&

x1ED5;ng a0 + a1x + &

xB7; &

xB7; &

xB7; + am&

x2212;1xm&

x2212;1 , ai &

x2208; F. (&

x2217;)

x1ED9;t s&

x1ED1; m&

x1EDF; r&

x1ED9;ng tr&

x1B0;&

x1EDD;ng 21 (c) &

x110;&

x1EC3; c&

x1ED9;ng hai ph&

x1EA7;n t&

x1EED; bi&

x1EC3;u di&

x1EC5;n d&

x1B0;&

x1EDB;i d&

x1EA1;ng (&

x2217;), ch&

x1EC9; c&

x1EA7;n c&

x1ED9;ng c&

xE1;c h&

x1EC7; s&

x1ED1; t&

x1B0;&

x1A1;ng &

x1EE9;ng. (d) &

x110;&

x1EC3; nh&

xE2;n hai ph&

x1EA7;n t&

x1EED; bi&

x1EC3;u di&

x1EC5;n d&

x1B0;&

x1EDB;i d&

x1EA1;ng (&

x2217;), ta nh&

xE2;n theo c&

xE1;ch th&

xF4;ng th&

x1B0;&

x1EDD;ng, v&

xE0; d&

xF9;ng quan h&

x1EC7; f(x) = 0 &

x111;&

x1EC3; bi&

x1EC3;u th&

x1ECB; c&

xE1;c &

x111;&

x1A1;n th&

x1EE9;c c&

xF3; b&

x1EAD;c &

x2265; m theo x d&

x1B0;&

x1EDB;i d&

x1EA1;ng c&

xE1;c &

x111;&

x1A1;n th&

x1EE9;c v&

x1EDB;i b&

x1EAD;c nh&

x1ECF; h&

x1A1;n. (e) B&

xE2;y gi&

x1EDD; gi&

x1EA3; s&

x1EED; r&

x1EB1;ng f(X) l&

xE0; b&

x1EA5;t kh&

x1EA3; quy. Khi &

x111;&

xF3; m&

x1ECD;i ph&

x1EA7;n t&

x1EED; &

x3B1; kh&

xE1;c 0 trong F[X]&

x111;&

x1EC1;u c&

xF3; ngh&

x1ECB;ch &

x111;&

x1EA3;o, c&

xF3; th&

x1EC3; t&

xEC;m &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c nh&

x1B0; sau: D&

xF9;ng (b) &

x111;&

x1EC3; vi&

x1EBF;t &

x3B1; = g(x) v&

x1EDB;i g(X) l&

xE0; m&

x1ED9;t &

x111;a th&

x1EE9;c c&

xF3; b&

x1EAD;c &

x2264; m &

x2212; 1, v&

xE0; d&

xF9;ng thu&

x1EAD;t to&

xE1;n Euclid trong F[X] &

x111;&

x1EC3; t&

xEC;m &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c c&

xE1;c &

x111;a th&

x1EE9;c a(X) v&

xE0; b(X) th&

x1ECF;a m&

xE3;n a(X)f(X) + b(X)g(X) = d(X) &

x1EDF; &

x111;&

xF3; d(X) l&

xE0; &

x1B0;&

x1EDB;c chung l&

x1EDB;n nh&

x1EA5;t c&

x1EE7;a f v&

xE0; g. Trong tr&

x1B0;&

x1EDD;ng h&

x1EE3;p &

x111;ang x&

xE9;t, d(X) l&

xE0; 1 v&

xEC; f(X) b&

x1EA5;t kh&

x1EA3; quy v&

xE0; deg g(X) < deg f(X). Khi thay X b&

x1EDF;i x, &

x111;&

x1EB3;ng th&

x1EE9;c tr&

x1EDF; th&

xE0;nh b(x)g(x) = 1. Do v&

x1EAD;y b(x) l&

xE0; ngh&

x1ECB;ch &

x111;&

x1EA3;o c&

x1EE7;a g(x). T&

x1EEB; c&

xE1;c quan s&

xE1;t tr&

xEA;n ta &

x111;i &

x111;&

x1EBF;n k&

x1EBF;t lu&

x1EAD;n: 1.25. V&

x1EDB;i m&

x1ED7;i &

x111;a th&

x1EE9;c &

x111;&

x1A1;n kh&

x1EDF;i b&

x1EA5;t kh&

x1EA3; quy f(X) b&

x1EAD;c m trong F[X], F[x] &

x111;n = F[X]/(f) l&

xE0; m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng b&

x1EAD;c m tr&

xEA;n F. H&

x1A1;n n&

x1EEF;a, c&

xE1;c t&

xED;nh to&

xE1;n trong F[x] &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c quy v&

x1EC1; c&

xE1;c t&

xED;nh to&

xE1;n trong F. V&

xED; d&

x1EE5; 1.26. Cho f(X) = X2 + 1 &

x2208; R[X]. Khi &

x111;&

xF3; R[X] c&

xF3;: &

x2022; C&

xE1;c ph&

x1EA7;n t&

x1EED;: a + bx, a, b &

x2208; R; &

x2022; Ph&

xE9;p c&

x1ED9;ng: (a + bx) + (a + b x) = (a + a ) + (b + b )x; &

x2022; Ph&

xE9;p nh&

xE2;n: (a + bx)(a + b x) = (aa &

x2212; bb ) + (ab + a b)x. Ta th&

x1B0;&

x1EDD;ng vi&

x1EBF;t i thay cho x v&

xE0; C thay cho R[x].

x1EC7;m v&

xE0; k&

x1EBF;t qu&

x1EA3; c&

x1A1; b&

x1EA3;n V&

xED; d&

x1EE5; 1.27. Cho f(X) = X3 &

x2212; 3X &

x2212; 1 &

x2208; Q[X]. Ta &

x111;&

xE3; bi&

x1EBF;t trong V&

xED; d&

x1EE5; 1.12 &

x111;a th&

x1EE9;c n&

xE0;y b&

x1EA5;t kh&

x1EA3; quy tr&

xEA;n Q, v&

xE0; do v&

x1EAD;y Q[x] l&

xE0; m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng. N&

xF3; c&

xF3; c&

x1A1; s&

x1EDF; {1, x, x2} nh&

x1B0; l&

xE0; m&

x1ED9;t Q-kh&

xF4;ng gian vec t&

x1A1;. Cho &

x3B2; = x4 + 2x3 + 3 &

x2208; Q[x]. Sau &

x111;&

xF3; s&

x1EED; d&

x1EE5;ng x3 &

x2212;3x&

x2212;1 = 0, ta c&

xF3; &

x3B2; = 3x2 +7x+5. B&

x1EDF;i v&

xEC; X3 &

x2212;3X &

x2212;1 b&

x1EA5;t kh&

x1EA3; quy, gcd(X3 &

x2212; 3X &

x2212; 1, 3X2 + 7X + 5) = 1. Th&

x1EF1;c t&

x1EBF;, thu&

x1EAD;t to&

xE1;n Euclid cho ta (X3 &

x2212; 3X &

x2212; 1)( &

x2212;7 37 X + 29 111 ) + (3X2 + 7X + 5)( 7 111 X2 &

x2212; 26 111 X + 28 111 ) = 1 Do &

x111;&

xF3; (3x2 + 7x + 5)( 7 111 x2 &

x2212; 26 111 x + 28 111 ) = 1 v&

xE0; ta v&

x1EEB;a t&

xEC;m &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c ph&

x1EA7;n ngh&

x1ECB;ch &

x111;&

x1EA3;o c&

x1EE7;a &

x3B2;. C&

x169;ng c&

xF3; th&

x1EC3; l&

xE0;m &

x111;i&

x1EC1;u n&

xE0;y b&

x1EB1;ng vi&

x1EC7;c s&

x1EED; d&

x1EE5;ng PARI beta=Mod(X^4+2*X^3+3, X^3-3*X-1) s&

x1EBD; cho &

x3B2; = 3x2 + 7x + 5 trong Q[X], v&

xE0; beta^(-1) s&

x1EBD; cho &

x3B2;&

x2212;1 = 7 111x2 &

x2212; 26 111x + 28 111. 1.10. Tr&

x1B0;&

x1EDD;ng m&

x1EA7;m Cho f l&

xE0; m&

x1ED9;t &

x111;a th&

x1EE9;c &

x111;&

x1A1;n kh&

x1EDF;i b&

x1EA5;t kh&

x1EA3; quy trong F[X]. M&

x1ED9;t c&

x1EB7;p (E, &

x3B1;) bao g&

x1ED3;m m&

x1ED9;t m&

x1EDF; r&

x1ED9;ng E c&

x1EE7;a F v&

xE0; m&

x1ED9;t ph&

x1EA7;n t&

x1EED; &

x3B1; &

x2208; E &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c g&

x1ECD;i l&

xE0; tr&

x1B0;&

x1EDD;ng m&

x1EA7;m 5 c&

x1EE7;a f n&

x1EBF;u E = F[&

x3B1;] v&

xE0; f(&

x3B1;) = 0. V&

xED; d&

x1EE5;, c&

x1EB7;p (E, &

x3B1;) v&

x1EDB;i E = F[X]/(f) = F[x] v&

xE0; &

x3B1; = x l&

xE0; m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng m&

x1EA7;m6 c&

x1EE7;a f. Cho (E, &

x3B1;) l&

xE0; m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng m&

x1EA7;m, x&

xE9;t to&

xE0;n c&

x1EA5;u c&

x1EE7;a c&

xE1;c F-&

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1; g(X) &

x2192; g(&

x3B1;): F[X] &

x2192; E. H&

x1EA1;t nh&

xE2;n c&

x1EE7;a n&

xF3; &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c sinh b&

x1EDF;i m&

x1ED9;t &

x111;a th&

x1EE9;c &

x111;&

x1A1;n kh&

x1EDF;i kh&

xE1;c 0, chia h&

x1EBF;t f, v&

xE0; do v&

x1EAD;y ph&

x1EA3;i b&

x1EB1;ng f. Do &

x111;&

xF3;, &

x111;&

x1ED3;ng c&

x1EA5;u n&

xE0;y x&

xE1;c &

x111;&

x1ECB;nh m&

x1ED9;t F-&

x111;&

x1EB3;ng c&

x1EA5;u x &

x2192; &

x3B1;: F[x] &

x2192; E, F[X] &

x111;n = F[X]/(f). 5 Theo A. Albert, Modern Higher Algebra, 1937, ng&

x1B0;&

x1EDD;i g&

x1ECD;i tr&

x1B0;&

x1EDD;ng ph&

xE2;n r&

xE3; c&

x1EE7;a m&

x1ED9;t &

x111;a th&

x1EE9;c l&

xE0; tr&

x1B0;&

x1EDD;ng c&

xE1;c nghi&

x1EC7;m c&

x1EE7;a n&

xF3;. 6 stem field= tr&

x1B0;&

x1EDD;ng m&

x1EA7;m

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1; v&

xE0; ph&

x1EA7;n t&

x1EED; si&

xEA;u vi&

x1EC7;t 23 N&

xF3;i c&

xE1;ch kh&

xE1;c, tr&

x1B0;&

x1EDD;ng m&

x1EA7;m (E, &

x3B1;) c&

x1EE7;a f l&

xE0; F-&

x111;&

x1EB3;ng c&

x1EA5;u v&

x1EDB;i tr&

x1B0;&

x1EDD;ng m&

x1EA7;m ch&

xED;nh t&

x1EAF;c (F[X]/(f), x). N&

xF3;i ri&

xEA;ng, m&

x1ED7;i ph&

x1EA7;n t&

x1EED; c&

x1EE7;a tr&

x1B0;&

x1EDD;ng m&

x1EA7;m (E, &

x3B1;) c&

x1EE7;a f c&

xF3; m&

x1ED9;t bi&

x1EC3;u di&

x1EC5;n duy nh&

x1EA5;t a0 + a1&

x3B1; + &

xB7; &

xB7; &

xB7; + am&

x2212;1&

x3B1;m&

x2212;1 , ai &

x2208; F, m = deg(f), i.e., 1, &

x3B1;, . . . , &

x3B1;m&

x2212;1 l&

xE0; m&

x1ED9;t F-c&

x1A1; s&

x1EDF; cho F[&

x3B1;], v&

xE0; t&

xED;nh to&

xE1;n trong F[&

x3B1;] c&

xF3; th&

x1EC3; th&

x1EF1;c hi&

x1EC7;n b&

x1EB1;ng c&

xF9;ng c&

xE1;c quy t&

x1EAF;c nh&

x1B0; trong F[x]. N&

x1EBF;u (E, &

x3B1; ) l&

xE0; m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng m&

x1EA7;m th&

x1EE9; hai c&

x1EE7;a f, th&

xEC; c&

xF3; duy nh&

x1EA5;t m&

x1ED9;t F-&

x111;&

x1EB3;ng c&

x1EA5;u E &

x2192; E &

xE1;nh x&

x1EA1; &

x3B1; th&

xE0;nh &

x3B1; . Ch&

xFA;ng ta &

x111;&

xF4;i khi vi&

x1EBF;t "tr&

x1B0;&

x1EDD;ng m&

x1EA7;m F[&

x3B1;]" thay cho "tr&

x1B0;&

x1EDD;ng m&

x1EA7;m (F[&

x3B1;], &

x3B1;)". 1.11. Ph&

x1EA7;n t&

x1EED; &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1; v&

xE0; ph&

x1EA7;n t&

x1EED; si&

xEA;u vi&

x1EC7;t &

x110;&

x1ED1;i v&

x1EDB;i m&

x1ED7;i tr&

x1B0;&

x1EDD;ng F v&

xE0; m&

x1ED9;t ph&

x1EA7;n t&

x1EED; &

x3B1; c&

x1EE7;a m&

x1ED9;t m&

x1EDF; r&

xF4;ng tr&

x1B0;&

x1EDD;ng E, ta c&

xF3; m&

x1ED9;t &

x111;&

x1ED3;ng c&

x1EA5;u f(X) &

x2192; f(&

x3B1;): F[X] &

x2192; E. C&

xF3; hai kh&

x1EA3; n&

x103;ng. Tr&

x1B0;&

x1EDD;ng h&

x1EE3;p 1: H&

x1EA1;t nh&

xE2;n c&

x1EE7;a &

xE1;nh x&

x1EA1; l&

xE0; (0), do &

x111;&

xF3; v&

x1EDB;i f &

x2208; F[X], f(&

x3B1;) = 0 &

x21D2; f = 0(trong F[X]). Trong tr&

x1B0;&

x1EDD;ng h&

x1EE3;p n&

xE0;y, ta n&

xF3;i r&

x1EB1;ng &

x3B1; si&

xEA;u vi&

x1EC7;t tr&

xEA;n F. &

x110;&

x1ED3;ng c&

x1EA5;u X &

x2192; &

x3B1;: F[X] &

x2192; F[&

x3B1;] l&

xE0; m&

x1ED9;t &

x111;&

x1EB3;ng c&

x1EA5;u, v&

xE0; n&

xF3; m&

x1EDF; r&

x1ED9;ng th&

xE0;nh m&

x1ED9;t &

x111;&

x1EB3;ng c&

x1EA5;u F[X] &

x2192; F(&

x3B1;). Tr&

x1B0;&

x1EDD;ng h&

x1EE3;p 2: H&

x1EA1;t nh&

xE2;n c&

x1EE7;a &

xE1;nh x&

x1EA1; = (0), ngh&

x129;a l&

xE0; g(&

x3B1;) = 0 v&

x1EDB;i g = 0 n&

xE0;o &

x111;&

xF3; thu&

x1ED9;c F[X]. Trong tr&

x1B0;&

x1EDD;ng h&

x1EE3;p n&

xE0;y, ta n&

xF3;i r&

x1EB1;ng &

x3B1; &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1; tr&

xEA;n F. C&

xE1;c &

x111;a th&

x1EE9;c g th&

x1ECF;a m&

xE3;n g(&

x3B1;) = 0 l&

x1EAD;p th&

xE0;nh m&

x1ED9;t i&

x111;&

xEA;an kh&

xE1;c (0) trong F[X], i&

x111;&

xEA;an &

x111;&

xF3; &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c sinh ra b&

x1EDF;i m&

x1ED9;t &

x111;a th&

x1EE9;c &

x111;&

x1A1;n kh&

x1EDF;i f c&

xF3; b&

x1EAD;c th&

x1EA5;p nh&

x1EA5;t th&

x1ECF;a m&

xE3;n f(&

x3B1;) = 0. Ta g&

x1ECD;i f l&

xE0; &

x111;a th&

x1EE9;c t&

x1ED1;i ti&

x1EC3;u c&

x1EE7;a &

x3B1; tr&

xEA;n F. N&

xF3; l&

xE0; b&

x1EA5;t kh&

x1EA3; qui, b&

x1EDF;i n&

x1EBF;u kh&

xF4;ng s&

x1EBD; c&

xF3; hai ph&

x1EA7;n t&

x1EED; kh&

xE1;c 0 c&

x1EE7;a E m&

xE0; t&

xED;ch c&

x1EE7;a ch&

xFA;ng b&

x1EB1;ng 0. &

x110;a th&

x1EE9;c t&

x1ED1;i ti&

x1EC3;u &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c x&

xE1;c &

x111;&

x1ECB;nh trong F[X] b&

x1EDF;i m&

x1ED9;t trong c&

xE1;c &

x111;i&

x1EC1;u ki&

x1EC7;n sau: - f &

x111;&

x1A1;n kh&

x1EDF;i; f(&

x3B1;) = 0 v&

xE0; chia h&

x1EBF;t cho m&

x1ECD;i &

x111;a th&

x1EE9;c g kh&

xE1;c trong F[X] th&

x1ECF;a m&

xE3;n g(&

x3B1;) = 0. - f l&

xE0; &

x111;a th&

x1EE9;c &

x111;&

x1A1;n kh&

x1EDF;i v&

x1EDB;i b&

x1EAD;c nh&

x1ECF; nh&

x1EA5;t th&

x1ECF;a m&

xE3;n f(&

x3B1;) = 0;

x1EC7;m v&

xE0; k&

x1EBF;t qu&

x1EA3; c&

x1A1; b&

x1EA3;n - f &

x111;&

x1A1;n kh&

x1EDF;i, b&

x1EA5;t kh&

x1EA3; quy v&

xE0; f(&

x3B1;) = 0. Ch&

xFA; &

xFD; r&

x1EB1;ng g(X) &

x2192; g(&

x3B1;) x&

xE1;c &

x111;&

x1ECB;nh m&

x1ED9;t &

x111;&

x1EB3;ng c&

x1EA5;u F[X]/(f) &

x2192; F[&

x3B1;]. V&

xEC; F[X]/(f) l&

xE0; m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng, ta c&

x169;ng c&

xF3; F(&

x3B1;) = F[&

x3B1;]. V&

xEC; v&

x1EAD;y, F[&

x3B1;] l&

xE0; m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng m&

x1EA7;m c&

x1EE7;a f. V&

xED; d&

x1EE5; 1.28. Cho &

x3B1; &

x2208; C th&

x1ECF;a m&

xE3;n &

x3B1;3 &

x2212; 3&

x3B1; &

x2212; 1 = 0. Khi &

x111;&

xF3; X3 &

x2212; 3X &

x2212; 1 &

x111;&

x1A1;n kh&

x1EDF;i, b&

x1EA5;t kh&

x1EA3; quy, v&

xE0; c&

xF3; &

x3B1; l&

xE0; m&

x1ED9;t nghi&

x1EC7;m, v&

xE0; do v&

x1EAD;y n&

xF3; l&

xE0; &

x111;a th&

x1EE9;c t&

x1ED1;i ti&

x1EC3;u c&

x1EE7;a &

x3B1; tr&

xEA;n Q. T&

x1EAD;p h&

x1EE3;p {1, &

x3B1;, &

x3B1;2} l&

xE0; m&

x1ED9;t c&

x1EDF; s&

x1EDF; c&

x1EE7;a Q[&

x3B1;] tr&

xEA;n Q. C&

xE1;c t&

xED;nh to&

xE1;n trong V&

xED; d&

x1EE5; 1.27 ch&

x1EC9; ra r&

x1EB1;ng n&

x1EBF;u &

x3B2; l&

xE0; &

x3B1;4 + 2&

x3B1;3 + 3 trong Q[&

x3B1;], th&

xEC; &

x3B2; = 3&

x3B1;2 + 7&

x3B1; + 5, v&

xE0; &

x3B2;&

x2212;1 = 7 111 &

x3B1;2 &

x2212; 26 111 &

x3B1; + 28 111 . Nh&

x1EAD;n x&

xE9;t 1.29. PARI bi&

x1EBF;t c&

xE1;ch t&

xED;nh trong Q[&

x3B1;]. V&

xED; d&

x1EE5; factor(X^4+4) tr&

x1EA3; v&

x1EC1; ph&

xE2;n t&

xED;ch X4 + 4 = (X2 &

x2212; 2X + 2)(X2 + 2X + 2) trong Q[X]. B&

xE2;y gi&

x1EDD; g&

xF5; nf=nfinit(a^2+2*a+2) &

x111;&

x1EC3; x&

xE1;c &

x111;&

x1ECB;nh m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng s&

x1ED1; "nf" sinh tr&

xEA;n Q b&

x1EDF;i c&

xE1;c nghi&

x1EC7;m a c&

x1EE7;a X2 + 2X + 2. Th&

xEC; nffactor(nf,x^4+4) tr&

x1EA3; v&

x1EC1; ph&

xE2;n t&

xED;ch X4 + 4 = (X &

x2212; a &

x2212; 2)(X &

x2212; a)(X + a)(X + a + 2) trong Q[a]. M&

x1ED9;t m&

x1EDF; r&

x1ED9;ng tr&

x1B0;&

x1EDD;ng E/F &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c g&

x1ECD;i l&

xE0; m&

x1ED9;t m&

x1EDF; r&

x1ED9;ng &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1;, v&

xE0; E &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c g&

x1ECD;i l&

xE0; &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1; tr&

xEA;n F, n&

x1EBF;u t&

x1EA5;t c&

x1EA3; c&

xE1;c ph&

x1EA7;n t&

x1EED; c&

x1EE7;a E &

x111;&

x1EC1;u &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1; tr&

xEA;n F; n&

x1EBF;u kh&

xF4;ng n&

xF3; &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c g&

x1ECD;i l&

xE0; si&

xEA;u vi&

x1EC7;t (hay E &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c g&

x1ECD;i l&

xE0; si&

xEA;u vi&

x1EC7;t tr&

xEA;n F). Nh&

x1B0; v&

x1EAD;y, E/F l&

xE0; m&

x1ED9;t m&

x1EDF; r&

x1ED9;ng si&

xEA;u vi&

x1EC7;t n&

x1EBF;u &

xED;t nh&

x1EA5;t m&

x1ED9;t ph&

x1EA7;n t&

x1EED; c&

x1EE7;a E si&

xEA;u vi&

x1EC7;t tr&

xEA;n F. M&

x1EC7;nh &

x111;&

x1EC1; 1.30. M&

x1EDF; r&

x1ED9;ng tr&

x1B0;&

x1EDD;ng E/F l&

xE0; m&

x1ED9;t m&

x1EDF; r&

x1ED9;ng h&

x1EEF;u h&

x1EA1;n n&

x1EBF;u v&

xE0; ch&

x1EC9; n&

x1EBF;u E l&

xE0; &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1; v&

xE0; h&

x1EEF;u h&

x1EA1;n sinh (nh&

x1B0; l&

xE0; m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng) tr&

xEA;n F. Ch&

x1EE9;ng minh.

x1EC7;t 25 &

x21D2;: S&

x1EF1; ki&

x1EC7;n &

x3B1; si&

xEA;u vi&

x1EC7;t tr&

xEA;n F th&

x1EF1;c ch&

x1EA5;t c&

xF3; ngh&

x129;a l&

xE0; h&

x1EC7; 1, &

x3B1;, &

x3B1;2, . . . &

x111;&

x1ED9;c l&

x1EAD;p tuy&

x1EBF;n t&

xED;nh tr&

xEA;n F. B&

x1EDF;i v&

x1EAD;y, n&

x1EBF;u E h&

x1EEF;u h&

x1EA1;n tr&

xEA;n F, th&

xEC; n&

xF3; &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1; tr&

xEA;n F. Ta ch&

x1EC9; c&

xF2;n ph&

x1EA3;i ch&

x1EE9;ng minh E h&

x1EEF;u h&

x1EA1;n sinh tr&

xEA;n F. N&

x1EBF;u E = F, th&

xEC; n&

xF3; sinh b&

x1EDF;i t&

x1EAD;p r&

x1ED7;ng. N&

x1EBF;u kh&

xF4;ng, t&

x1ED3;n t&

x1EA1;i m&

x1ED9;t ph&

x1EA7;n t&

x1EED; &

x3B1;1 thu&

x1ED9;c E F. N&

x1EBF;u E = F[&

x3B1;1], t&

x1ED3;n t&

x1EA1;i m&

x1ED9;t ph&

x1EA7;n t&

x1EED; &

x3B1;2 &

x2208; E F[&

x3B1;1], ... V&

xEC; [F[&

x3B1;1] : F] < [F[&

x3B1;1, &

x3B1;2] : F] < &

xB7; &

xB7; &

xB7; < [E : F] n&

xEA;n qu&

xE1; tr&

xEC;nh ph&

x1EA3;i ng&

x1EEB;ng sau m&

x1ED9;t s&

x1ED1; h&

x1EEF;u h&

x1EA1;n b&

x1B0;&

x1EDB;c. &

x21D0;: &

x110;&

x1EB7;t E = F(&

x3B1;1, &

x3B1;2, . . . , &

x3B1;n) v&

x1EDB;i &

x3B1;1, . . . , &

x3B1;n &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1; tr&

xEA;n F. M&

x1EDF; r&

x1ED9;ng F(&

x3B1;1)/F l&

xE0; h&

x1EEF;u h&

x1EA1;n b&

x1EDF;i v&

xEC; &

x3B1;1 &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1; tr&

xEA;n F v&

xE0; do &

x111;&

xF3; tr&

xEA;n F(&

x3B1;1). Theo 1.20, F(&

x3B1;1, &

x3B1;2) h&

x1EEF;u h&

x1EA1;n tr&

xEA;n F. L&

x1EAD;p lu&

x1EAD;n tr&

xEA;n l&

x1EA1;i c&

xF3; th&

x1EC3; l&

x1EB7;p l&

x1EA1;i. H&

x1EC7; qu&

x1EA3; 1.31. (a) N&

x1EBF;u E &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1; tr&

xEA;n F th&

xEC; m&

x1ECD;i v&

xE0;nh con R c&

x1EE7;a E ch&

x1EE9;a F l&

xE0; m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng. (b) N&

x1EBF;u trong m&

x1ED9;t chu&

x1ED7;i m&

x1EDF; r&

x1ED9;ng tr&

x1B0;&

x1EDD;ng L &

x2283; E &

x2283; F, L &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1; tr&

xEA;n E v&

xE0; E &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1; tr&

xEA;n F, th&

xEC; L &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1; tr&

xEA;n F. Ch&

x1EE9;ng minh. (a) Ta &

x111;&

xE3; th&

x1EA5;y &

x1EDF; tr&

xEA;n r&

x1EB1;ng n&

x1EBF;u &

x3B1; &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1; tr&

xEA;n F, th&

xEC; F[&

x3B1;] l&

xE0; m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng. N&

x1EBF;u &

x3B1; &

x2208; R, th&

xEC; F[&

x3B1;] &

x2282; R, v&

xE0; do v&

x1EAD;y &

x3B1; c&

xF3; ngh&

x1ECB;ch &

x111;&

x1EA3;o trong R. (b) M&

x1ECD;i &

x3B1; &

x2208; L l&

xE0; nghi&

x1EC7;m c&

x1EE7;a m&

x1ED9;t &

x111;a th&

x1EE9;c &

x111;&

x1A1;n kh&

x1EDF;i f = Xm + am&

x2212;1Xm&

x2212;1 + &

xB7; &

xB7; &

xB7; + a0 &

x2208; E[X]. M&

x1ED7;i m&

x1EDF; r&

x1ED9;ng trong chu&

x1ED7;i F[a0, . . . , am&

x2212;1, &

x3B1;] &

x2283; F[a0, . . . , am&

x2212;1] &

x2283; F l&

xE0; h&

x1EEF;u h&

x1EA1;n (1.20), do &

x111;&

xF3; F[a0, . . . , am&

x2212;1, &

x3B1;] h&

x1EEF;u h&

x1EA1;n (n&

xEA;n &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1;) tr&

xEA;n F. 1.12. S&

x1ED1; si&

xEA;u vi&

x1EC7;t M&

x1ED9;t s&

x1ED1; ph&

x1EE9;c &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c g&

x1ECD;i l&

xE0; &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1; hay si&

xEA;u vi&

x1EC7;t d&

x1EF1;a tr&

xEA;n t&

xED;nh &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1; ho&

x1EB7;c si&

xEA;u vi&

x1EC7;t c&

x1EE7;a n&

xF3; tr&

xEA;n Q. Tr&

x1B0;&

x1EDB;c h&

x1EBF;t ta nh&

x1EAF;c l&

x1EA1;i m&

x1ED9;t s&

x1ED1; m&

x1ED1;c l&

x1ECB;ch s&

x1EED;:

x1EC7;m v&

xE0; k&

x1EBF;t qu&

x1EA3; c&

x1A1; b&

x1EA3;n 1844: Liouville ch&

x1EE9;ng t&

x1ECF; r&

x1EB1;ng c&

xE1;c s&

x1ED1;, sau n&

xE0;y &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c g&

x1ECD;i l&

xE0; c&

xE1;c s&

x1ED1; Liouville, l&

xE0; si&

xEA;u vi&

x1EC7;t. 1873: Hermite ch&

x1EE9;ng minh r&

x1EB1;ng e l&

xE0; s&

x1ED1; si&

xEA;u vi&

x1EC7;t. 1874: Cantor ch&

x1EE9;ng minh r&

x1EB1;ng t&

x1EAD;p h&

x1EE3;p c&

xE1;c s&

x1ED1; &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1; l&

xE0; &

x111;&

x1EBF;m &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c, nh&

x1B0;ng R kh&

xF4;ng &

x111;&

x1EBF;m &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c. Do v&

x1EAD;y, h&

x1EA7;u h&

x1EBF;t c&

xE1;c s&

x1ED1; l&

xE0; si&

xEA;u vi&

x1EC7;t (nh&

x1B0;ng r&

x1EA5;t kh&

xF3; &

x111;&

x1EC3; ch&

x1EE9;ng t&

x1ECF; r&

x1EB1;ng m&

x1ED9;t s&

x1ED1; c&

x1EE5; th&

x1EC3; l&

xE0; s&

x1ED1; si&

xEA;u vi&

x1EC7;t) 7. 1882: Lindemann ch&

x1EE9;ng minh r&

x1EB1;ng &

x3C0; l&

xE0; s&

x1ED1; si&

xEA;u vi&

x1EC7;t. 1934: Gelfond v&

xE0; Schneider, m&

x1ED9;t c&

xE1;ch &

x111;&

x1ED9;c l&

x1EAD;p, c&

xF9;ng ch&

x1EE9;ng minh &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c r&

x1EB1;ng &

x3B1;&

x3B2; l&

xE0; c&

xE1;c s&

x1ED1; si&

xEA;u vi&

x1EC7;t n&

x1EBF;u &

x3B1; v&

xE0; &

x3B2; &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1;, &

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x1EC9; (xem Lagarias, Jeffrey C., Euler&

x2019;s constant: Euler&

x2019;s work and modern developments. Bull. Amer. Math. Soc. 50 (2013), no. 4, 527&

x2013;628; arXiv:1303:1856)) 2013: C&

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x1EAD;y |xN | &

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x1ED9;t g&

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x2212; b)2 = c2 , a, b, c &

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x1EC1; 1.34. Cho L = L l&

xE0; c&

xE1;c F-&

x111;&

x1B0;&

x1EDD;ng th&

x1EB3;ng, v&

xE0; C = C l&

xE0; c&

xE1;c F-&

x111;&

x1B0;&

x1EDD;ng tr&

xF2;n. (a) L &

x2229; L = &

x2205; ho&

x1EB7;c g&

x1ED3;m duy nh&

x1EA5;t m&

x1ED9;t F-&

x111;i&

x1EC3;m. (b) L &

x2229; C = &

x2205; ho&

x1EB7;c g&

x1ED3;m m&

x1ED9;t ho&

x1EB7;c hai &

x111;i&

x1EC3;m trong F[ &

x221A; e]-m&

x1EB7;t, v&

x1EDB;i e &

x2208; F, e > 0. (c) C &

x2229;C = &

x2205; ho&

x1EB7;c g&

x1ED3;m m&

x1ED9;t ho&

x1EB7;c hai &

x111;i&

x1EC3;m trong F[ &

x221A; e]-m&

x1EB7;t, v&

x1EDB;i e &

x2208; F, e > 0. Ch&

x1EE9;ng minh. C&

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x111;i&

x1EC3;m &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c t&

xEC;m b&

x1EB1;ng c&

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x1EA3;i c&

xE1;c ph&

x1B0;&

x1A1;ng tr&

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x111;&

x1ED3;ng th&

x1EDD;i, v&

xE0; do v&

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x1EC7;c gi&

x1EA3;i c&

xE1;c ph&

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x1A1;ng tr&

xEC;nh b&

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xE2;y d&

x1EF1;ng &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c, th&

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x2212;c, cd v&

xE0; c d (d = 0) c&

x169;ng v&

x1EAD;y. (b) N&

x1EBF;u c > 0 x&

xE2;y d&

x1EF1;ng &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c, th&

xEC; &

x221A; c c&

x169;ng x&

xE2;y d&

x1EF1;ng &

x111;&

x1B0;&

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x1EE9;ng minh. (a) Tr&

x1B0;&

x1EDB;c h&

x1EBF;t ch&

x1EE9;ng minh r&

x1EB1;ng c&

xF3; th&

x1EC3; x&

xE2;y d&

x1EF1;ng m&

x1ED9;t &

x111;&

x1B0;&

x1EDD;ng vu&

xF4;ng g&

xF3;c v&

x1EDB;i m&

x1ED9;t &

x111;&

x1B0;&

x1EDD;ng th&

x1EB3;ng cho tr&

x1B0;&

x1EDB;c qua m&

x1ED9;t &

x111;i&

x1EC3;m, v&

xE0; m&

x1ED9;t &

x111;&

x1B0;&

x1EDD;ng th&

x1EB3;ng qua m&

x1ED9;t &

x111;i&

x1EC3;m cho tr&

x1B0;&

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x1EDB;i m&

x1ED9;t &

x111;&

x1B0;&

x1EDD;ng th&

x1EB3;ng. Do v&

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x1EC3; x&

xE2;y d&

x1EF1;ng m&

x1ED9;t tam gi&

xE1;c &

x111;&

x1ED3;ng d&

x1EA1;ng v&

x1EDB;i m&

x1ED9;t tam gi&

xE1;c cho tr&

x1B0;&

x1EDB;c. V&

x1EDB;i l&

x1EF1;a ch&

x1ECD;n ph&

xF9; h&

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xF3; th&

x1EC3; x&

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x1EF1;ng cd v&

xE0; c&

x2212;1. (b) V&

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x1ED9;t &

x111;&

x1B0;&

x1EDD;ng tr&

xF2;n b&

xE1;n k&

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xE0; t&

xE2;m l&

xE0; (c+1 2 , 0), v&

xE0; v&

x1EBD; m&

x1ED9;t &

x111;&

x1B0;&

x1EDD;ng th&

x1EB3;ng &

x111;&

x1EE9;ng qua &

x111;i&

x1EC3;m A = (1, 0) g&

x1EB7;p &

x111;&

x1B0;&

x1EDD;ng tr&

xF2;n t&

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x110;&

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xE0; &

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xF3; th&

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x1EBF;t t&

x1EA1;i Artin, M., 1991, Algebra, Prentice Hall, Chapter 13, Section 4.) &

x110;&

x1ECB;nh l&

xFD; 1.36. (a) T&

x1EAD;p h&

x1EE3;p t&

x1EA5;t c&

x1EA3; c&

xE1;c s&

x1ED1; x&

xE2;y d&

x1EF1;ng &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c l&

x1EAD;p th&

xE0;nh m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng.

x1EC7;m v&

xE0; k&

x1EBF;t qu&

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x1ED9;t s&

x1ED1; &

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xE2;y d&

x1EF1;ng &

x111;&

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x1EE3;c n&

x1EBF;u v&

xE0; ch&

x1EC9; n&

x1EBF;u n&

xF3; n&

x1EB1;m trong m&

x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng con c&

x1EE7;a R c&

xF3; d&

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x221A; a1, . . . , &

x221A; ar], ai &

x2208; Q[ &

x221A; a1, . . . , &

x221A; ai&

x2212;1], ai > 0. Ch&

x1EE9;ng minh. (a) &

x110;&

xE2;y l&

xE0; h&

x1EC7; qu&

x1EA3; tr&

x1EF1;c ti&

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x1EEB; B&

x1ED5; &

x111;&

x1EC1; 1.35. (b) T&

x1EEB; B&

x1ED5; &

x111;&

x1EC1; 1.34 ta suy ra m&

x1ECD;i s&

x1ED1; x&

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x1EF1;ng &

x111;&

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x1ED9;t tr&

x1B0;&

x1EDD;ng d&

x1EA1;ng Q[ &

x221A; a1, . . . , &

x221A; ar]. Ng&

x1B0;&

x1EE3;c l&

x1EA1;i, n&

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x1EA5;t c&

x1EA3; c&

xE1;c ph&

x1EA7;n t&

x1EED; c&

x1EE7;a Q[ &

x221A; a1, . . . , &

x221A; ai&

x2212;1] &

x111;&

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xE2;y d&

x1EF1;ng &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c, th&

xEC; &

x221A; ai x&

xE2;y d&

x1EF1;ng &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c (do 1.35b), v&

xE0; do v&

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x1EA5;t c&

x1EA3; c&

xE1;c ph&

x1EA7;n t&

x1EED; c&

x1EE7;a Q[ &

x221A; a1, . . . , &

x221A; ai] x&

xE2;y d&

x1EF1;ng &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c. D&

xF9;ng l&

x1EAD;p lu&

x1EAD;n n&

xE0;y cho i = 0, 1, . . . ta k&

x1EBF;t lu&

x1EAD;n r&

x1EB1;ng t&

x1EA5;t c&

x1EA3; ph&

x1EA7;n t&

x1EED; c&

x1EE7;a Q[ &

x221A; a1, . . . , &

x221A; ar] x&

xE2;y d&

x1EF1;ng &

x111;&

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x1EE3;c. H&

x1EC7; qu&

x1EA3; 1.37. N&

x1EBF;u &

x3B1; x&

xE2;y d&

x1EF1;ng &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c, th&

xEC; &

x3B1; l&

xE0; &

x111;&

x1EA1;i s&

x1ED1; tr&

xEA;n Q, v&

xE0; [Q[&

x3B1;]: Q] l&

xE0; m&

x1ED9;t l&

x169;y th&

x1EEB;a c&

x1EE7;a 2. Ch&

x1EE9;ng minh. Theo M&

x1EC7;nh &

x111;&

x1EC1; 1.20, [Q[&

x3B1;] : Q] chia h&

x1EBF;t [Q[ &

x221A; a1] . . . [ &

x221A; ar] : Q] v&

xE0; [Q[ &

x221A; a1, . . . , &

x221A; ar] : Q] l&

xE0; m&

x1ED9;t l&

x169;y th&

x1EEB;a c&

x1EE7;a 2. H&

x1EC7; qu&

x1EA3; 1.38. Kh&

xF4;ng th&

x1EC3; g&

x1EA5;p &

x111;&

xF4;i m&

x1ED9;t l&

x1EAD;p ph&

x1B0;&

x1A1;ng b&

x1EB1;ng ph&

xE9;p d&

x1EF1;ng h&

xEC;nh t&

x1EEB; th&

x1B0;&

x1EDB;c th&

x1EB3;ng v&

xE0; compa. Ch&

x1EE9;ng minh. B&

xE0;i to&

xE1;n ch&

xED;nh l&

xE0; vi&

x1EC7;c x&

xE2;y d&

x1EF1;ng m&

x1ED9;t h&

xEC;nh l&

x1EAD;p ph&

x1B0;&

x1A1;ng v&

x1EDB;i th&

x1EC3; t&

xED;ch 2. Vi&

x1EC7;c n&

xE0;y y&

xEA;u c&

x1EA7;u x&

xE2;y d&

x1EF1;ng nghi&

x1EC7;m th&

x1EF1;c c&

x1EE7;a ph&

x1B0;&

x1A1;ng tr&

xEC;nh X3&

x2212;2 = 0. Nh&

x1B0;ng &

x111;a th&

x1EE9;c n&

xE0;y l&

xE0; b&

x1EA5;t kh&

x1EA3; quy (theo ti&

xEA;u chu&

x1EA9;n Eisenstein 1.16) v&

xE0; do &

x111;&

xF3; [Q[ 3 &

x221A; 2] : Q] = 3. H&

x1EC7; qu&

x1EA3; 1.39. N&

xF3;i chung, kh&

xF4;ng th&

x1EC3; chia ba m&

x1ED9;t g&

xF3;c cho tr&

x1B0;&

x1EDB;c b&

x1EB1;ng th&

x1B0;&

x1EDB;c k&

x1EBB; v&

xE0; compa. Ch&

x1EE9;ng minh. Bi&

x1EBF;t m&

x1ED9;t g&

xF3;c c&

xF3; ngh&

x129;a l&

xE0; bi&

x1EBF;t cos c&

x1EE7;a g&

xF3;c &

x111;&

xF3;. Do v&

x1EAD;y, &

x111;&

x1EC3; chia ba 3&

x3B1;, ta ph&

x1EA3;i x&

xE2;y d&

x1EF1;ng m&

x1ED9;t l&

x1EDD;i gi&

x1EA3;i cho cos 3&

x3B1; = 4 cos3 &

x3B1; &

x2212; 3 cos &

x3B1;. V&

xED; d&

x1EE5;, ch&

x1ECD;n 3&

x3B1; = 600. T&

x1EEB; cos 600 = 1 2, &

x111;&

x1EC3; x&

xE2;y d&

x1EF1;ng &

x3B1;, ta ph&

x1EA3;i gi&

x1EA3;i ph&

x1B0;&

x1A1;ng tr&

xEC;nh 8x3 &

x2212; 6x &

x2212; 1 = 0, m&

x1ED9;t &

x111;a th&

x1EE9;c l&

xE0; b&

x1EA5;t kh&

x1EA3; quy (s&

x1EED; d&

x1EE5;ng 1.11).

x1EB1;ng th&

x1B0;&

x1EDB;c k&

x1EBB; v&

xE0; compa 31 H&

x1EC7; qu&

x1EA3; 1.40. Kh&

xF4;ng th&

x1EC3; c&

x1EA7;u ph&

x1B0;&

x1A1;ng h&

xEC;nh tr&

xF2;n b&

x1EB1;ng th&

x1B0;&

x1EDB;c k&

x1EBB; v&

xE0; compa. Ch&

x1EE9;ng minh. M&

x1ED9;t h&

xEC;nh vu&

xF4;ng c&

xF3; c&

xF9;ng di&

x1EC7;n t&

xED;ch v&

x1EDB;i m&

x1ED9;t &

x111;&

x1B0;&

x1EDD;ng tr&

xF2;n b&

xE1;n k&

xED;nh r c&

xF3; c&

x1EA1;nh &

x221A; &

x3C0;r. Do &

x3C0; l&

xE0; s&

x1ED1; si&

xEA;u vi&

x1EC7;t 9 n&

xEA;n &

x221A; &

x3C0; c&

x169;ng v&

x1EAD;y. Ta ti&

x1EBF;p t&

x1EE5;c x&

xE9;t m&

x1ED9;t b&

xE0;i to&

xE1;n kh&

xE1;c t&

x1EEB; th&

x1EDD;i Hy L&

x1EA1;p c&

x1ED5; &

x111;&

x1EA1;i: Li&

x1EC7;t k&

xEA; c&

xE1;c s&

x1ED1; n m&

xE0; c&

xE1;c n-gi&

xE1;c &

x111;&

x1EC1;u c&

xF3; th&

x1EC3; x&

xE2;y d&

x1EF1;ng &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c. &

x1EDE; &

x111;&

xE2;y ta nghi&

xEA;n c&

x1EE9;u c&

xE2;u h&

x1ECF;i &

x111;&

x1ED1;i v&

x1EDB;i c&

xE1;c s&

x1ED1; nguy&

xEA;n t&

x1ED1; p (xem 5.15 cho tr&

x1B0;&

x1EDD;ng h&

x1EE3;p t&

x1ED5;ng qu&

xE1;t). Ch&

xFA; &

xFD; r&

x1EB1;ng Xp &

x2212; 1 kh&

xF4;ng b&

x1EA5;t kh&

x1EA3; quy; c&

x1EE5; th&

x1EC3; l&

xE0; Xp &

x2212; 1 = (X &

x2212; 1)(Xp&

x2212;1 + Xp&

x2212;2 + &

xB7; &

xB7; &

xB7; + 1). B&

x1ED5; &

x111;&

x1EC1; 1.41. N&

x1EBF;u p l&

xE0; m&

x1ED9;t s&

x1ED1; nguy&

xEA;n t&

x1ED1;, th&

xEC; Xp&

x2212;1 + &

xB7; &

xB7; &

xB7; + 1 b&

x1EA5;t kh&

x1EA3; quy; do v&

x1EAD;y Q[e2&

x3C0;i/p] c&

xF3; b&

x1EAD;c p &

x2212; 1 tr&

xEA;n Q. Ch&

x1EE9;ng minh. Cho f(X) = (Xp &

x2212; 1)/(X &

x2212; 1) = Xp&

x2212;1 + &

xB7; &

xB7; &

xB7; + 1; th&

xEC; f(X + 1) = (X + 1)p &

x2212; 1 X = Xp&

x2212;1 + &

xB7; &

xB7; &

xB7; + a2X2 + a1X + p. v&

x1EDB;i ai = i+1 p . B&

xE2;y gi&

x1EDD; p|ai v&

x1EDB;i i = 1, . . . , p&

x2212;2, v&

xE0; do v&

x1EAD;y f(X +1) b&

x1EA5;t kh&

x1EA3; quy theo ti&

xEA;u chu&

x1EA9;n Eisenstein 1.16. Do &

x111;&

xF3;, f(X) l&

xE0; b&

x1EA5;t kh&

x1EA3; quy. &

x110;&

x1EC3; x&

xE2;y d&

x1EF1;ng m&

x1ED9;t p-gi&

xE1;c &

x111;&

x1EC1;u, p l&

xE0; m&

x1ED9;t s&

x1ED1; nguy&

xEA;n t&

x1ED1;, ta c&

x1EA7;n x&

xE2;y d&

x1EF1;ng cos 2&

x3C0; p = (e 2&

x3C0; p + (e 2&

x3C0; p )&

x2212;1 )/2 Nh&

x1B0;ng Q[e 2&

x3C0;i p ] &

x2283; Q[cos 2&

x3C0; p ] &

x2283; Q, v&

xE0; b&

x1EAD;c c&

x1EE7;a Q[e 2&

x3C0;i p ] tr&

xEA;n Q[cos 2&

x3C0; p ] l&

xE0; 2 - ph&

x1B0;&

x1A1;ng tr&

xEC;nh &

x3B1;2 &

x2212; 2 cos 2&

x3C0; p &

x3B1; + 1 = 0, &

x3B1; = e 2&

x3C0;i p , ch&

x1EE9;ng t&

x1ECF; r&

x1EB1;ng n&

xF3; &

x2264; 2, v&

xE0; n&

xF3; kh&

xF4;ng th&

x1EC3; l&

xE0; 1 b&

x1EDF;i v&

xEC; Q[e 2&

x3C0;i p ] kh&

xF4;ng ch&

x1EE9;a trong R. Do v&

x1EAD;y Q[cos 2&

x3C0; p : Q] = p &

x2212; 1 2 . 9 Ch&

x1EE9;ng minh cho &

x111;i&

x1EC1;u n&

xE0;y c&

xF3; th&

x1EC3; &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c t&

xEC;m th&

x1EA5;y trong nhi&

x1EC1;u s&

xE1;ch l&

xFD; thuy&

x1EBF;t s&

x1ED1;, v&

xED; d&

x1EE5;, trong 11.14 c&

x1EE7;a Hardy, G. H., and Wright, E. M., An Introduction to the Theory of Numbers, Fourth Edition, Oxford, 1960.

x1EC7;m v&

xE0; k&

x1EBF;t qu&

x1EA3; c&

x1A1; b&

x1EA3;n V&

x1EAD;y n&

xEA;n, n&

x1EBF;u p-&

x111;a gi&

xE1;c &

x111;&

x1EC1;u x&

xE2;y d&

x1EF1;ng &

x111;&

x1B0;&

x1EE3;c, th&

xEC; (p &

x2212; 1)/2 = 2k v&

x1EDB;i k n&

xE0;o &

x111;&

xF3; (sau n&

xE0;y, xem 5.12, ta s&

x1EBD; th&

x1EA5;y chi&

x1EC1;u ng&

x1B0;&

x1EE3;c l&

x1EA1;i), n&

xF3; ch&

x1EC9; ra r&

x1EB1;ng p = 2k+1 + 1. Nh&

x1B0;ng 2r + 1 l&

xE0; m&

x1ED9;t s&

x1ED1; nguy&

xEA;n t&

x1ED1; n&

x1EBF;u r l&

xE0; m&

x1ED9;t l&

x169;y th&

x1EEB;a c&

x1EE7;a 2, b&

x1EDF;i v&

xEC; n&

x1EBF;u kh&

xF4;ng r c&

xF3; nh&

xE2;n t&

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x1EBB; t v&

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x221A; 17 &

x2212; 2 34 &

x2212; 2 &

x221A; 17 &

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