Công thức ĐKM tính khoảng cách

Đường thẳng $d_1$ có vector chỉ phương là ${\vec u_1}$, đi qua điểm $M_1$;

Đường thẳng $d_2$ có vector chỉ phương là ${\vec u_2}$, đi qua điểm $M_2$.

Khoảng cách giữa $d_1$ và $d_2$, ký hiệu $d\left[ {{d_1},{d_2}} \right]$, được tính theo công thức $$d\left[ {{d_1},{d_2}} \right] = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \cdot \left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}.$$

Cách khác: Bước 1. Viết phương trình mặt phẳng $\left[ P \right]$ chứa $d_1$ và song song với $d_2$. Cặp vector chỉ phương của $\left[ P \right]$ là ${{\vec u}_1},{{\vec u}_2}$. Suy ra ${\vec n_P} = \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right].$

Bước 2. $d\left[ {{d_1},{d_2}} \right] = d\left[ {{d_2},\left[ P \right]} \right] = d\left[ {{M_2},\left[ P \right]} \right].$

Ví dụ. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $\left[ {{d_1}} \right]:\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 5 - 2t\\
z = 14 - 3t
\end{array} \right.$ và $\left[ {{d_2}} \right]:\left\{ \begin{array}{l}
x = 9 - 4\lambda \\
y = 3 + \lambda \\
z = - 1 + 5\lambda
\end{array} \right..$

Giải. Ta có ${\vec u_1} = \left[ {1; - 2; - 3} \right],\;\;{\vec u_1} = \left[ { - 4;1;5} \right] \Rightarrow \left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left[ { - 7;7; - 7} \right] \Rightarrow \left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right| = \sqrt {{{\left[ { - 7} \right]}^2} + {7^2} + {{\left[ { - 7} \right]}^2}} = 7\sqrt 3 .$
Ta cũng có ${M_1}\left[ {0;5;14} \right] \in {d_1},{M_2}\left[ {9;3; - 1} \right] \in {d_2} \Rightarrow \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left[ {9; - 2; - 15} \right].$
Suy ra $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \cdot \left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = - 7 \cdot 9 + 7 \cdot \left[ { - 2} \right] - 7 \cdot \left[ { - 15} \right] = 28.$
Như vậy $d\left[ {{d_1},{d_2}} \right] = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \cdot \left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = \frac{{28}}{{7\sqrt 3 }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}.$