Đề bài - bài 12 trang 93 sgk hình học 12

Đề bài

Trong hệ toạ độ \[Oxyz\], tìm toạ độ điểm \[A'\] đối xứng với điểm \[A[1 ; -2 ; -5]\] qua đường thẳng \[\] có phương trình \[\left\{ \matrix{x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr z = 2t. \hfill \cr} \right.\]

Lời giải chi tiết

Gọi \[H\left[ {1 + 2t; - 1 - t;2t} \right] \in \Delta \] là hình chiếu của \[A\] trên \[\Delta \].

Có \[\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {2; - 1;2} \right]\] , \[\overrightarrow {AH} = \left[ {2t;1 - t;2t + 5} \right]\]

\[\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\] \[ \Leftrightarrow 2.2t - 1.\left[ {1 - t} \right] + 2.\left[ {2t + 5} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow 4t - 1 + t + 4t + 10 = 0\] \[ \Leftrightarrow 9t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\] \[ \Rightarrow H\left[ { - 1;0; - 2} \right]\]

Vì A' đối xứng với A qua \[\Delta\] nên H là trung điểm của AA'. Ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = - 3\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = 2\\{z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A} = 1\end{array} \right. \] \[\Rightarrow A'\left[ { - 3;2;1} \right]\]

Cách khác:

Ta có thể tìm tọa độ điểm \[H\] như sau:

Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[A\] lên đường thẳng \[\]. Khi đó \[H\] là trung điểm của \[AA'\].

Xét mặt phẳng \[[P]\] qua \[A\] và \[[P] \]. Khi đó \[H = [P] \].

Vì \[\overrightarrow u [2; -1; 2]\] là vectơ chỉ phương của \[\] nên \[\overrightarrow u \]là vectơ pháp tuyến của \[[P]\].

Phương trình mặt phẳng \[[P]\] có dạng: \[2[x - 1] - [y + 2] + 2[z + 5] = 0\] hay \[2x - y + 2z + 6 = 0\] [1]

\[H = \Delta \cap \left[ P \right] \Rightarrow H \in \Delta \Rightarrow H\left[ {1 + 2t; - 1 - t;2t} \right]\], thay tọa độ điểm H vào phương trình mặt phẳng [P] ta có: \[2[1 + 2t] + [1 + t] + 4t + 6 = 0\]

\[ \Rightarrow 9t + 9 = 0\Rightarrow t = -1\] \[ \Rightarrow H[-1; 0; -2]\].