Đề bài
Cho hình nón tròn xoay [H] đỉnh S, đáy là hình tròn bán kính R, chiều cao bằng h.
Gọi [H'] là hình trụ tròn xoay có đáy là hình tròn bán kính r [0 < r < R] nội tiếp [H].
a] Tính tỉ số thể tích của [H'] và [H];
b] Xác định r để [H'] có thể tích lớn nhất.
Lời giải chi tiết
a] Giả sử đường cao SI của hình nón [H] cắt hai đáy của hình trụ [H'] tại I và I'.
Khi đó \[\frac{r}{R} = \frac{{SI'}}{h}\] \[ \Rightarrow \frac{{R - r}}{R} = \frac{{h - SI'}}{h} = \frac{{I'I}}{h}\]
Từ đó suy ra \[I'I = \frac{{h\left[ {R - r} \right]}}{R}\]
\[{V_{\left[ H \right]}} = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\]
\[{V_{\left[ {H'} \right]}} = \frac{1}{3}\pi {r^2}.\frac{{h\left[ {R - r} \right]}}{R}\]
Do đó \[\frac{{{V_{\left[ {H'} \right]}}}}{{{V_{\left[ H \right]}}}} = \frac{{{r^2}\left[ {R - r} \right]}}{{{R^3}}}\]
b] V[H']lớn nhất khi f[r] = r2[R - r] [với 0 < r < R] là lớn nhất.
Khảo sát hàm số f[r], với 0 < r < R.
Ta có f'[r] = 2Rr - 3r2= 0, khi r = 0 [loại], hoặc r = 2R/3.
Lập bảng biến thiên ta thấy f[r] đạt cực đại tại r = 2R/3.
Khi đó\[{V_{\left[ {H'} \right]}} = \frac{4}{{81}}\pi {R^2}h\]