Đề bài
Cho khoảng \[K,{x_0} \in K\]và hàm số \[y = f\left[ x \right]\]xác định trên \[K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\]
Chứng minh rằng nếu \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = + \infty \]thì luôn tồn tại ít nhất một sốcthuộc \[K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\]sao cho \[f\left[ c \right] > 0\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xem lại định nghĩa giới hạn hàm sốtại đây.
Lời giải chi tiết
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = + \infty \]nênvới dãy số \[\left[ {{x_n}} \right]\] bất kì, \[{x_n} \in K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\]và \[{x_n} \to {x_0}\]ta luôn có \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left[ {{x_n}} \right] = + \infty \]
Từ định nghĩa suy ra \[f\left[ {{x_n}} \right]\]có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu số dương này là 1 thì \[f\left[ {{x_n}} \right] > 1\]kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nói cách khác, luôn tồn tại ít nhất một số \[{x_k} \in K\backslash \left\{ {{x_o}} \right\}\]sao cho \[f\left[ {{x_k}} \right] > 1>0\].
Đặt \[c = {x_k}\]ta có \[f\left[ c \right] > 0\].