Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A có \[\widehat B = 2\widehat A.\] Phân giác của góc B cắt AC tại D.
a] Tính số đo các góc của tam giác ABC.
b] Chứng minh rằng DA = DB.
c] Chứng minh rằng DA = BC.
Lời giải chi tiết
a]Ta có:
\[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}[\Delta ABC\] cân tại A]
\[\widehat {ABC} = 2\widehat {BAC}[gt]\]
Nên \[\widehat {ACB} = 2\widehat {BAC}\]
Mà tam giác ABC có: \[\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {180^0}.\]
Do đó: \[\eqalign{ & \widehat {BAC} + 2\widehat {BAC} + 2\widehat {BAC} = {180^0} \cr & \Rightarrow 5\widehat {BAC} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BAC} = {{{{180}^0}} \over 5} = {36^0} \cr} \]
Do đó: \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = {2.36^0} = {72^0}.\]
b] Ta có: \[\widehat {BAD} = {{\widehat {ABC}} \over 2}[gt]\]
\[\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = {{\widehat {ABC}} \over 2}\] [BD là tia phân giác của ABC]
Do đó: \[\widehat {BAD} = \widehat {ABD} = \widehat {DBC}.\]
Tam giác ADB có: \[\widehat {DAB} = \widehat {ABD} \Rightarrow \Delta ADB\] cân tại D.
Vậy DA = DB.
c] Ta có: \[\widehat {BDC} = \widehat {ABD} + \widehat {DAB}\] [góc ngoài của tam giác ABD]
Mà \[\widehat {ABD} = \widehat {DAB}\] nên \[\widehat {BDC} = 2\widehat {BAD}\]
\[\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 2\widehat {BAD}[\Delta ABC\] cân tại A và \[\widehat B = 2\widehat A]\]
Suy ra: \[\widehat {BDC} = \widehat {DCB} \Rightarrow \Delta BDC\] cân tại B => BD = BC.
Mà AD = BD [chứng minh trên]. Do đó: BC = AD.